10--第十章排列、組合、二項(xiàng)式定理

1、2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)分類匯編第十章排列、組合、二項(xiàng)式定理一、選擇題（共24題）1. （北京巻）在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，齊位數(shù)字之和為奇 數(shù)的共有（A） 36 個（B） 24 個（C） 18 個（D） 6 個解：依題總，所選的三位數(shù)字冇兩種情況：（1） 3個數(shù)字都是奇數(shù)，有A；種方法（2） 3個 數(shù)字中有一個是奇數(shù)，有C；A；,故共有A； + C；A；=24種方法，故選B2. （福建卷）從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中 至少有1名女生，則選派方案共有（A） 108 種（B） 186 種（0 216 種（D

2、） 270 種解析：從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有斥-斥=186種，選B.3. （湖北卷）在（X-*）4的展開式中，X的幕的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有A. 3項(xiàng)B. 4項(xiàng)C. 5項(xiàng)D. 6項(xiàng)1亢一缶解：l；ll=C24X24_r（-y= （-l/CX-,當(dāng) r=0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24時，x 的指數(shù)分別是 24, 20, 16, 12, 8, 4, 0, 一4, 一8,其中 16, 8, 4, 0, 一8 均為 2 的解數(shù)次幕，故選C4. （湖南卷某外商計(jì)劃在四個候選城市投資3個不同的項(xiàng)目，且在同一個城市投資的項(xiàng)目不超過2個,則該外商不同的投

3、資方案有（）A 16 種B. 36 種C. 42 種D. 60 種解析：有兩種情況，一是在兩個城市分別投資1個項(xiàng)目、2個項(xiàng)目，此時有-=36種 方案，二是在三個城市各投資1個項(xiàng)目，有程=24種方案，共計(jì)有60種方案，選D5. （湖南卷）若（ax-1）5的展開式中疋的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)a的值是A. -2B. 2ylC. V4D. 2解析：（ax-if的展開式中丘的系數(shù)（說3.（-1）了04嘖=80*3,則實(shí)數(shù)帀的值是2,選D6. （湖南卷在數(shù)字1,2, 3與符號+ , 五個尤素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是A. 6B. 12C. 18D. 24解析：先排列1，3,有 = 6種

4、排法，再將“ +“一”兩個符號插入.有程=2種 方法.共有12種方法，選B.7. （江蘇卷）（仮-2）山的展開式中含x的正整數(shù)折數(shù)幕的項(xiàng)數(shù)是（A） 0（B） 2（C） 4（D） 6【思路點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式的右關(guān)知BL【正確解答】仮一+）的展開式通項(xiàng)為c;2（y（-）10-r = ql）10-1 x-10,因此含x3x11的正整數(shù)次幕的項(xiàng)其右2項(xiàng)選B【解后反思】多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則在求系數(shù)過程中，盡量先化簡，降底數(shù)的運(yùn)算級別，盡最化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令x=0在二項(xiàng)式的展開式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別8.(江西卷在(x-/2

5、 的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次慕的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x=/2時, S等于()A.2W8B. -2s008C. 2咖D.-2*解：設(shè)(x 1 ) 2006=a0x2006+aiX200+ + a2oo5x + a2oo6則當(dāng) x= JT時，有 ao ( JT) 2006+ai (/2 ) 2005+ + a2oo5 ( JT ) +a2oo6=0 (1)當(dāng) x=-s/2 時，有 an (“)2006 a】(運(yùn))(血)+a=23009 (2)(1) - (2)有丸(/7) 2005 + - + a20o5(血)二一嚴(yán)9-* ?3008 故選 B9.（江西卷）在（仮+|）的二項(xiàng)展開式中，若常數(shù)項(xiàng)為60,則

6、n等于（）A. 3B. 6C. 9D. 12n-3x解：fn-3r=0*,由n3r=0解得n=6故選B2rC；=602C：=6010.（遼寧卷）C： + C； + C； + C； + C；的值為（）A. 61D. 64解：原式=2-2 = 62,選B11. （全國卷I）設(shè)集合I = h2,3,4,5。選擇I的兩個非空子集A和B,要使B |ii小的 數(shù)人于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有A. 50種B. 49種C. 48種D. 47種解析：若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數(shù)有C； =10種：若集合A中有一個元素, 集合B中有兩個元素，則選法種數(shù)有C；=10種；若集合A中有一個元素，集合B

7、中有三 個元素，則選法種數(shù)有C； =5種；若集合A中有一個元素，集合B中有四個元素，則選法 種數(shù)有Cf=l種；若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有C/=10 種：若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數(shù)有C；=5種：若集合A 中有兩個元素，集合B中付三個元素，則選法種數(shù)有C；=l種；若集合A中有三個元素， 集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有C；=5種；若集合A中冇三個元素，集合B中有兩個 元素，則選法種數(shù)有C；=l種；若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種 數(shù)有C；=l種：總計(jì)有49種，選B解法二：集合A、B中沒有柑同的元素，且都不是空集，從5個元素中

8、選出2個元素，有C；=10種選法，小的給A集合，人的給B集合；從5個元素中選出3個元素，有C/=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較人九索的一組的給B集合，共2x10=20種方法；從5個元素中選出4個元素，有C； =5種選法，再分成1、3； 2、2： 3、1兩組，較小 元素的一組給A集合，較人元素的一組的給B集合，共有3x5=15種方法；從5個元素中選出5個元素，有C；=l種選法，再分成1、4： 2、3： 3、2； 4、1兩組, 較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4x1=4種方法；總計(jì)為10+2015+4=49種方法。選B（1 1012. （全國卷I）在

9、X-丄 的展開式中，X的系數(shù)為I2X丿A. -120B. 120C. -15D. 15解析：在（X- ）10的展開式中，x4項(xiàng)是C（x）7（-）3=-15x4,選C.2x2x13. （全911） 5名七愿者分到了所學(xué)校支教，毎個學(xué)校至少去一名，忐愿者，則不同的分派方 法共有(A) 150種(B) 180 種(0 20C 種(D)280種解:人數(shù)分配上冇1二2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2,則冇 =60種若是1丄3,則仃x&=90種，所以共有150種，選A14.(山東卷)己知集合 2 5 ,B= 1,2 ,C= 1,3,4,從這三個集合中各取一個元素構(gòu) 成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的

10、不同點(diǎn)的個數(shù)為(A)33(B) 34(C) 35QD)36解：不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個數(shù)為C1C=36但集合E、C中有相同元素1,由5. 1, 1三個數(shù)確定的不同點(diǎn)的個數(shù)只有三個，故所求的個數(shù)為36-3 = 33個，選A15(山東卷)己知X2i V的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為一2,其中i2=-i,14則展開式中常數(shù)項(xiàng)是(A)-45i(B) 451(C) -45(D)45解：第三項(xiàng)的系數(shù)為一C第五項(xiàng)的系數(shù)為C：,由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為一右町4O-5ry(X嚴(yán)(一芒=(一i)螢 丁令40-5r=0,解得r=8,故所求的常數(shù)項(xiàng)為(-i)SC=45,選A16.(山東卷)已知(X?

11、-的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為存則展開式中常數(shù)項(xiàng)是(A)-l(B)l(C)-45(p5解：第三項(xiàng)的系數(shù)為C：，第五項(xiàng)的系數(shù)為C：，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為色可得nnn14= 10,則4O-5r= (-l)rCX,令 40-5r=0,解得 r=8,故所求的常數(shù)項(xiàng)為(-1)$(4=45,選D17.(天津卷)將1個顏色互不和同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每 個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有()A. 10種B. 20種C. 36種D52種解析：將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里 的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，

12、分情況討論：1號盒子中放1個球，其余3個放入2號 盒子，有C：=4種方法：1號盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子，有C； = 6種方法；則不同的放球方法有10種，選A.18.(浙江卷)若多項(xiàng)式x2+x10 =a0+a1(x+l) (x+l)2 +a10(x+l)10,則嗎=(A)9(B)10(0-9(D)-10【考點(diǎn)分析】本題考査二項(xiàng)式展開式的特殊值法，基礎(chǔ)題。令x=-2,得a0 -aj +a2a9 4-a10 = 22 +210,令x=0,得a0 + aj + a2+ +a9 + a10 =019.(浙江卷)函數(shù)F:|1,2,3|T|1,2,3|滿足f(F(x)= F(x),則這樣的函數(shù)個

13、數(shù)共有 (A)l 個(B)4 個(C)8 個(D)10 個【考點(diǎn)分析】本題考查抽象函數(shù)的定義，中檔題。解析：f(f(x)= f(x)即 f(X)= X20 (浙江卷)在二項(xiàng)式(X + 1的展開式中，含X3的頂?shù)南禂?shù)是(0)40(A)15(B)20(C)30解析：含X3的項(xiàng)的系數(shù)是 4=20,選B21.(重慶卷)若(3仮一斗的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為(A) -540(B) -162(C) 162(D) 540解析：若3仮-的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2 =64, 11 = 6,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為一540,22.(重慶卷)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個班實(shí)習(xí).每班至少1名，最

14、多2名則 不同的分配方案有(A) 3 0 種(B) 9 0 種(0180 種(D) 2 7 0 種解析：將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名.則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有牢=15種方法,再將3組分到3個班，共有15 = 90種不同的分配方案，選B.23. (M慶卷)(2x-3)的展開式中X2的系數(shù)為(A) -2160(B) -1080(C) 1080(D) 2160解：I；ll=Cj(2x)5_r(-3y=由 5-r=2 解得 r=3,故所求系數(shù)為(一3P x 2? x C； = 1080 故選 B 24. (M慶卷)高三(一)班學(xué)要安排畢業(yè)晚

15、會的4各音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（A） 1800（B） 3600（C） 4320（D） 5040解：不同排法的種數(shù)為程笛=3600,故選B二、填空題（共21題25. （安徽卷）設(shè)常數(shù)a0, （ax? +去展開式中x3的系數(shù)為扌，則a =。丄-lr31解：Txi = Cr2tx 2 由 Xs21 x 2 =丘,得= 2,由C：a4r =知a二一。巾 “ 2 226. （北京卷）在（/7-）7的展開式中，X2的系數(shù)中（用數(shù)字作答）.X7-3r令號一得円故X2的系數(shù)為(-2)xC = -14（ 2、27（北京巻）在x-_ 的展開式中，

16、2的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）Ix丿解：I；+1 = C；X7-r（-）, = （-2）rC；X7-2r，令 72r = 3,解得 r = 2,故所求的系數(shù)為（-2）篤=84 X28. （福建卷）（x2 -）2展開式中X?的系數(shù)是用數(shù)字作答）X解：（X2 - ）5展開式中，X4項(xiàng)為1=4（疋產(chǎn)（一丄）2=1（,該項(xiàng)的系數(shù)是10. XX29. （廣東卷）在（X-）11的展開式中，X5的系數(shù)為X解：Z+1 =C；x”（一蘭）11 = （-2）11_r C x2r_11 = 2r -11 = 5 = r = 8 X所以x5 的系數(shù)為（-2）n-rC/-r =（-2）3C=-132030. （湖北卷）某工

17、程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安 排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是一（用數(shù)字作答）解：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中，町得有&=20種不同排法。31（湖北卷）安排5名歌于的演出順序時，要求某名歌于不第一個出場，另一名歌于不最后一個出場，不同排法的總數(shù)是（用數(shù)字作答）解：分兩種情況：（1）不最后一個出場的歌手第一個出場，有Y種排法（2）不最后一個出場的歌手不第一個出場，有AA程種排法，故共有78種不同排法32. （湖南卷）若（ax-1）5的展開式中X3的系

18、數(shù)是-80,則實(shí)數(shù)3的值是.解：（ax-1）5的展開式中X3的系數(shù)C；（ax）3 （-1）21033=- 80則實(shí)數(shù)a的值是一233. （江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一 列有種不同的方法（用數(shù)字作答）?！舅悸伏c(diǎn)撥】木題考査排列組介的基木知識.【正確解答】由題意町知，內(nèi)同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個組合問題，共有C沁 C； = 1260【解后反思】分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段也是基礎(chǔ)方 法,在高中數(shù)學(xué)中，只右這兩個原理，尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論令很多相通Z處,當(dāng)遇到 比較復(fù)雜的問題時,用分類的方法可以有效的將之化簡，達(dá)

19、到求解的目的34. （遼寧卷）5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3爼新隊(duì)員現(xiàn)從中選出3爼隊(duì)員排成1、2、3號參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員，且1、2號中至少有1名新隊(duì)員的 排法有種（以數(shù)作答）【解析】兩老-噺時，有QxC；崔=12種排法，兩新一老時，有C；C； x = 36種排法，即共有48種排法【點(diǎn)評】本題考查了有限制條件的排列組合問題以及分類討論思想35（全國卷I）安排7位工作人員在5月1 口到5月7 口值班，每人值班一天，其中甲、 乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有種。（用數(shù)字作答）解析：先安排甲、乙兩人在后5天值班，有& =20種排法，其余5人再進(jìn)行排

20、列，有4=120 種排法，所以共有20x120=2400種安排方法。36 （全國口）在（x4+i）10的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 （用數(shù)字作答）解析：心=C（X4）10_r（i）r =瑤xg要求常數(shù)項(xiàng)，即405i=0,nJ得p=8代入通項(xiàng)公式可得X = =4537. （陜西卷）（3x士尸展開式廠3的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）解析：（3x-）12展開式中，才彳項(xiàng)為C13（3x）2.（-）1O=594X_3, X-3的系數(shù)是594.38. （陜西卷）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有種解析：某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不 同去，甲和丙只能同去或同不去，町以分情況討論，甲.丙同去，則乙不去，有C；=240 種選法；甲、丙同不去，乙去，有C；=240種選法：甲、乙、丙都不去，有=120種選法，共有600種不同的選派方案.39.（陜西卷）（2x-展開式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）13（=）6展開式中常=6042.（天津卷）（2x +卻1的二項(xiàng)展開式中X的系數(shù)是（用數(shù)學(xué)作答）解析:40.（陜西卷）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同