古典需求理論

1、古典需求理論 消費(fèi)者行為的研究有兩種方法，一種是偏好理論即古典需求理論，另一 種是顯示偏好理論。本章我們研究古典需求理論，下一章再研究顯示偏好理 論。關(guān)于消費(fèi)者行為，我們所作的一個(gè)基本假設(shè)是：他總是在自己負(fù)擔(dān)得起 的條件下追求最偏好的商品組合。 1.1消費(fèi)者偏好 我們假設(shè)商品個(gè)數(shù)為 n消費(fèi)者所面臨的所有可能的消費(fèi)組合集為X， 即消費(fèi)集，這里一直假設(shè)X是一個(gè)閉凸集。消費(fèi)者在 X上有一個(gè)二元偏好 關(guān)系記為二。記號(hào) R 滿足 x - y = u(x) u(y)，這個(gè)函數(shù)稱為效用函數(shù)。效用函數(shù)完全代表著偏好 關(guān)系，我們要找到最偏好的商品組合，也即是要找到效用最大的商品組合。 效用函數(shù)的任何一個(gè)單調(diào)上升

2、的變換仍然是效用函數(shù)，即如果f:RR 是單調(diào)上升的，那么f (u(x)也滿足效用函數(shù)的性質(zhì)，因?yàn)?f(u(x)f(u(y)= u(x) u( y)。我們能證明如果偏好關(guān)系是理性的和 連續(xù)的，那么一定存在一個(gè)連續(xù)的效用函數(shù)表示這個(gè)偏好關(guān)系。在證明這個(gè) 定理之前，我們先給出偏好關(guān)系的其它常用性質(zhì)。 定義1.1.3：偏好關(guān)系二是弱單調(diào)的，如果 x 一 y，那么x二y。 定義1.1.4：偏好關(guān)系二是強(qiáng)單調(diào)的，如果 x 一 y，x = y，那么x - y o 弱單調(diào)性是說如果組合 x的每一種商品至少和組合 y的相同商品一樣多， 那么x至少和y樣好。強(qiáng)單調(diào)性是說組合 x的每一種商品至少和組合 y的 相同商

3、品一樣多，且x中至少有某一個(gè)商品嚴(yán)格地多于y中相應(yīng)的商品，那 么x嚴(yán)格偏好y。這里簡(jiǎn)單地假設(shè)每一個(gè)商品都是好品，當(dāng)某個(gè)商品是壞品 時(shí)，比如垃圾或污染，強(qiáng)單調(diào)性就不再成立，但是我們可以重新定義這個(gè)商 品為缺乏垃圾或缺乏污染，此時(shí)強(qiáng)單調(diào)性仍然適用。 定義1.1.5:偏好關(guān)系是局部不滿足的，如果任意給定X, EAO，存 在某個(gè)y X滿足x-yvE, yx。 顯然強(qiáng)單調(diào)性蘊(yùn)含局部不滿足性，但反之不成立。 定義1.1.6:偏好關(guān)系二是凸的，如果對(duì)于x, y,zX滿足 x二z, y二z, 一 -1，有 X (1 f；)y二z。 定義1.1.7:偏好關(guān)系 二是嚴(yán)格凸的，如果對(duì)于x,y,z X, x=y滿足

4、x二z, y二z, ： ： 1，有 x (1 - ) y 一 z。 如果所有無差異的商品組合構(gòu)成的集合稱為無差異曲線，即對(duì)于給定的 y X，集合x X: x、y構(gòu)成無差異曲線，或?qū)τ谀硞€(gè)常數(shù)C,集合 X : u(x)二C 也構(gòu)成無差異曲線，那么在一個(gè)只有兩種商品的世界里 凸性假設(shè)蘊(yùn)含無差異曲線是凸向原點(diǎn)但可能有一段直線，而嚴(yán)格凸性假設(shè)蘊(yùn) 含無差異曲線是凸向原點(diǎn)且一定是弧形的。 定理1.1.1:假設(shè)偏好是理性的，連續(xù)的和強(qiáng)單調(diào)的，那么一定存在一個(gè)連 續(xù)的效用函數(shù)u:X R。 證明：不妨設(shè)X二Rn , e是所有分量都為1的n維向量。對(duì)于任意X X， 一定存在tx使得 x tx e。事實(shí)上，記 8

5、- A R: te二x?， -V R:xjte1。偏好的強(qiáng)單調(diào)性蘊(yùn)含 B非空，由于0W，W也非空。 偏好的連續(xù)性蘊(yùn)含 B和W是閉集。顯然B 一 W二R，但是R是連通集，從 而BW = 0，故存在tx使得x - tx e。定義u(x)二tx，那么u(x)是代 表偏好的效用函數(shù)，事實(shí)上，如果 tx ：ty，強(qiáng)單調(diào)性意味著txe tyy，傳 遞性意味著x - txe tyy、y,反過來，如果x y，那么txe tye，從而 tx ；：ty。 連續(xù)性的證明比較復(fù)雜，詳細(xì)的證明大家可參考Theory of Value (Debreu,1959 )中的定理 461。 1.2消費(fèi)者行為 我們對(duì)于消費(fèi)者行為的

6、一個(gè)基本假設(shè)是她總是在她負(fù)擔(dān)得起的商品組 合中選擇最偏好的商品組合，也即是效用最大的商品組合。這里假設(shè)消費(fèi)集 X =， m表示消費(fèi)者的收入，P = Pi, P2,Pn是商品價(jià)格向量，消 費(fèi)者的行為不能影響 p。集合B =x X:px ml稱為消費(fèi)者的預(yù)算集。 從而消費(fèi)者的問題變成如下的約束最優(yōu)化問題： max u(x) x s.t. px _ m 命題1.2.1:如果 pu(x)是連續(xù)的，那么效用最大化問題有解。 證明：如果 p 0，那么集合 B J.x X : px乞ml是有界閉集，從而 是緊集，而u(x)是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)在緊集中總存在最大值。 如果偏好是局部不滿足的，那么最優(yōu)選擇x* 一

7、定滿足px*二m。如果 px : m，由局部不滿足性，總可以在x的小鄰域內(nèi)找到x ， px : m， 但/ x*，這和x*是最優(yōu)解矛盾。因此在局部不滿足假設(shè)下，效用最大化 問題變成： maxu(x) x s.t. px = m 記x(p,m)為在給定價(jià)格和收入條件下的最優(yōu)需求，如果偏好是嚴(yán)格凸 的，那么x(p,m)是唯一的，如果偏好不是嚴(yán)格凸的，那么x(p,m)可能是 多值的，也即最優(yōu)解不只一個(gè)，此時(shí)x(p,m)是一個(gè)對(duì)應(yīng)。x(p, m)稱為普 通需求或馬歇爾需求或瓦爾拉斯需求函數(shù)或?qū)?yīng)。記v( p,m)二u(x( p, m) 為在給定價(jià)格和收入條件下消費(fèi)者所得到的最大效用，v( p, m)稱

8、為間接效 用函數(shù)。顯然x( p, m)和v( p,m)關(guān)于p和m是零次齊次的，由于當(dāng) p和m 同時(shí)乘以某個(gè)大于零的常數(shù)t時(shí)消費(fèi)者的預(yù)算約束并沒有改變，從而最優(yōu)需 求和最大效用也不會(huì)改變。 如果效用函數(shù)u(x)是可微的，那么效用最大化問題可以利用拉格朗日乘 數(shù)法求解，效用最大化問題的拉格朗日函數(shù)為： L = u(x) _，( px - m) 這里是拉格朗日乘子。 一階條件為： .:u(x*) Pi =0, i =1,2, n. 為了解釋這個(gè)條件， 我們將第i個(gè)條件除以第j個(gè)條件得到下式 .:u(x*) *, i, j -12,n. ：u(x )Pj xj 上式左邊稱為商品i和商品j之間的邊際替代

9、率，它反映了當(dāng)保持效用 不變時(shí)增加一個(gè)單位的第i種商品需要減少多少單位的第 j種商品的消費(fèi)。 這是由于當(dāng)u(x) C時(shí)，C是某個(gè)常數(shù)，對(duì)u(x) C兩邊求微分，我們有 ：U(X)dXi ：u(x) CXj 這里隱含假設(shè)只有商品 將上式整理得到 i和商品j的數(shù)量改變，其他的商品數(shù)量不變。 ：u(x ) dXj議 dXi：u(x ) ：Xj 而右邊稱為經(jīng)濟(jì)替代率，它是商品i和商品j的價(jià)格之比。效用最大化 選擇必須使得兩種替代率相等，如果不是這樣，例如如果 ：u(x ) 乂 J _ 2 二 _p_ ：u(x )11 pj ：Xj 那么如果消費(fèi)者放棄一個(gè)單位的商品i而增加一個(gè)單位的商品 j，她的 效用

10、不會(huì)改變，但是她可以節(jié)約一塊錢，這與效用最大化矛盾。 從圖形上看，效用最大化要求最優(yōu)需求位于無差異曲線和預(yù)算線相切 處。下圖1.2.1是以兩種商品為例畫出了無差異曲線，預(yù)算線和最優(yōu)選擇。 1.3間接效用函數(shù) 給定(p,m)0，消費(fèi)者所能得到的最大效用為v(p,m)，這個(gè) v( p, m)就是間接效用函數(shù)，與此相應(yīng)的我們稱u(x)為直接效用函數(shù)。間 接效用函數(shù)是一個(gè)很有用的分析工具，下面的命題給出了它的性質(zhì)。 命題1.3.1:如果效用函數(shù)u(x)是連續(xù)的，它代表一個(gè)局部不滿足偏好關(guān)系， 那么v(p,m)具有以下性質(zhì)： (1) v( p, m)關(guān)于 p 非增；即如果 p _ p，那么 v(p ,

11、mi v( p, m)。 v( p, m)關(guān)于m非降。 (2) v(p,m)關(guān)于p和m是零次齊次的。 (3) v( p,m)關(guān)于p是擬凸的，即對(duì)于任意的k，集合、p: v(p,m)豈k? 是凸集。 (4) v( p, m)對(duì)于p八0, m 0是連續(xù)的。 證明：(1 )記 B =x: px 豈 m, B -x:pxm。如果 p，_ p，那么 B丄B。從而u(x)在B上的最大值不會(huì)小于 u(x)在B 上的最大值，也即 是v( p ,m) u且px p，這與 x是效用為u 時(shí)花費(fèi)最小矛盾。為證明 e(p,u)關(guān)于p非降，假設(shè)價(jià)格向 量p ”和p滿足p_ Pi , Pk _ Pk, k =丨。記x”為

12、價(jià)格向量為p”時(shí)花 費(fèi)最小的消費(fèi)，那么e(p ；u)二p x _ px _e(p ,u)。最后一個(gè)不等式利 用e( p,u)的定義。 (3) 記p=tp (1-t)p； r 0,11。記x為價(jià)格向量為p 時(shí) 花 費(fèi) 最 小 的 消 費(fèi)， 那 么 e(p ；u) = p x =tpx (1 _t)px _te( p ,u)(1 _t)e(p ,u)最后一個(gè) 不等式是由于u(x”)_u,由 e( p,u) 的定義， e(p,u) 一 px , e(p ,u) 一 p x。 1.5貨幣度量效用函數(shù) 考慮某個(gè)價(jià)格向量 p和某個(gè)給定的商品組合 x，我們問下面的問題： 某個(gè)給定的消費(fèi)者需要花費(fèi)多少錢才能和

13、消費(fèi)商品組合x一樣地得到滿足， 也即是它們的效用水平是一樣的？ 從數(shù)學(xué)上，這個(gè)問題實(shí)際上是如下一個(gè)簡(jiǎn)單的約束最優(yōu)化問題： min p z z s.t. u(z)_u(x) 這個(gè)問題的最小值記為m(p,x)，稱它為貨幣度量效用函數(shù)。事實(shí)上 m( p, x)二e( p,u(x)，從而它具有花費(fèi)函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)它還是一個(gè)效用 函數(shù)，因?yàn)樗聦?shí)上是效用函數(shù)的一個(gè)單調(diào)變換。 商品1 圖 1.5.1 貨幣度量效用函數(shù) 相似地，我們可以定義一個(gè)貨幣度量間接效用函數(shù)，記為(p；q,m), 這個(gè)J( p; q, m)定義為 叫 p;q,m)二 e(p,v(q, m) 叫p;q,m)測(cè)度的是面對(duì)價(jià)格水平p消費(fèi)者要

14、花多少錢才能和面對(duì)價(jià) 格水平q和收入水平m時(shí)生活得一樣好。 從圖形上看， 20 貨幣度量效用函數(shù)在進(jìn)行福利分析時(shí)是非常重要的。 1.6包絡(luò)定理 首先我們考慮無約束條件下的包絡(luò)定理。考慮任意一個(gè)依賴于某個(gè)參數(shù) a (可以是向量)的目標(biāo)函數(shù)的最大化問題： M (a)二 max f (x,a) x 記x(a)為這個(gè)最優(yōu)化問題的解，從而M (a)二f (x(a),a)。我們常常 對(duì)a的變化如何影響 M(a)感興趣，包絡(luò)定理告訴我們： dM (a)汗(x,a) da:a x-x(a) 下面再來看看約束條件下的包絡(luò)定理?？紤]下面的帶有參數(shù)的約束最優(yōu) 化問題： M (a) = max g (x1 , x2

15、,a) X1,X2 st. h(xi, X2 ,a) = 0 這里a是參數(shù)。這個(gè)問題的拉格朗日函數(shù)為: L 二 g(Xi,X2,a) - h(Xi,X2,a) 一階條件為: -:g(Xi,X2,a) :x1 ：g(Xi,X2,a) 玫2 :x1 ；:h(Xi,X2,a) 0 cx2 h(Xi,X2,a) =0 這些條件決定了這個(gè)問題的最優(yōu)解為x(a)=(xi(a), X2(a)，從而 dM (a) 乩(x, a) cg(x1,X2,a) m ch(x1,X2,a) da ca x =x(a)Ea xn( a)Wa M (a)二f(Xi(a),X2(a),a)。約束條件下的包絡(luò)定理告訴我們: x

16、 =x(a) 包絡(luò)定理的證明是非常簡(jiǎn)單的，請(qǐng)讀者自己加以證明。 1.7需求函數(shù)、間接效用函數(shù)、花費(fèi)函數(shù)之間的關(guān)系 在這一節(jié)里我們考察三對(duì)關(guān)系：補(bǔ)償需求函數(shù)和花費(fèi)函數(shù)之間的關(guān)系， 補(bǔ)償需求函數(shù)和普通需求函數(shù)之間的關(guān)系，普通需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之 間的關(guān)系。 我們假設(shè)u(.)是一個(gè)代表局部不滿足偏好關(guān)系二的連續(xù)效用函數(shù)，價(jià) 格向量p -0，并且為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)偏好關(guān)系二是嚴(yán)格凸的，這保證了 補(bǔ)償需求和普通需求是單值的。 命題1.7.1：對(duì)于所有p和u,補(bǔ)償需求函數(shù)h(p,u)是花費(fèi)函數(shù)e(p,u)關(guān)于 價(jià)格的導(dǎo)數(shù)，即h(p,uH Dpe(p,u)。如果寫成分量的形式為： hi(P,u) ：e(

17、p,u) ：:Pi l =1,2，n. 這個(gè)命題表明，如果已知花費(fèi)函數(shù)，那么通過求導(dǎo)就可以計(jì)算出補(bǔ)償需 求函數(shù)。我們提供三種方法證明這個(gè)重要的結(jié)果。 證明一：假設(shè)x*是價(jià)格為p*時(shí)達(dá)到效用水平 u的成本最小的消費(fèi)組合， 定義g (P) =e( p,u) - p x*。由花費(fèi)函數(shù)的定義，我們有 g( p) - 0。并且 當(dāng)P二P時(shí)，g(p)=0,即卩g(p)在p處達(dá)到最小。從而有 I =1,2,n. :g(p*)：:e(P*,u) xl = u :PiB t * * 由x 和 p的任意性即得我們的結(jié)果。 證明二：假設(shè)e(p, u)二p h( p,u)，利用鏈導(dǎo)法則，我們有 Dpe(p,u) =D

18、pp h( p,u) =h(p,u) pDph(p,u) 利用花費(fèi)最小化冋題的一階條件：p = Du (h(p, u)，這里冷是花費(fèi)最小 化問題的拉格朗日乘子。我們有 Dpe(p,u)二 Dpp h(p,u)二h(p,u) Du(h(p,u)Dph(p,u) 由于約束條件u(h(p,u)二u對(duì)于所有的p都成立，兩邊對(duì) p求導(dǎo)，得到 Du(h( p,u) Dph( p, u) = 0，故結(jié)論成立。 證明三：我們利用約束條件下的包絡(luò)定理。由于 e( p, u)二 min p x x st. u(x)二 u 此問題的拉格朗日函數(shù)為：L(p, x) = p (u-u(x) 由包絡(luò)定理，Dpe(p,u)

19、 = DpL( p,x) 、=x x =h(p,u) HLHLx=fa(p,u)X*(p,U)L 其中 F面的命題1.7.2總結(jié)了補(bǔ)償需求函數(shù)關(guān)于價(jià)格的導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)性質(zhì), 前三條性質(zhì)直接由命題 1.7.1推出。 命題1.7.2 :假設(shè)h(p,u)是連續(xù)可微的，Dph(p,u)是n n矩陣，那么 2 (1) Dph(p,u) = Dpe(p,u)。 (2) Dph(p,u)是一個(gè)負(fù)半定矩陣。 (3) Dph(p,u)是一個(gè)對(duì)稱矩陣。 (4) Dph(p,u)p =0。 證明：性質(zhì)(1)直接由命題1.7.1推出。性質(zhì)(2)和(3)是由e(p,u)是 凹函數(shù)這個(gè)事實(shí)推出。性質(zhì)(4)是由h(p,u)關(guān)于

20、p是一次齊次的和歐拉方 程推出。 Dph(p,u)的負(fù)半定性蘊(yùn)涵了補(bǔ)償需求律成立，即dpdh(p,u)乞0成 立。事實(shí)上，由于Dph(p,u)的負(fù)半定性， 那么 dp Dph(p,u)dp 0，而 dh(p,u) = Dph(p,u)dp。同時(shí)也蘊(yùn)涵h(huán)( p,u)乞0，對(duì)于所有的I。 D ph( p, u)的對(duì)稱性是一個(gè)純粹借助數(shù)學(xué)得到的性質(zhì)，沒有明顯的經(jīng)濟(jì) 上的解釋，它蘊(yùn)涵了對(duì)于兩個(gè)不同的商品 I和k,補(bǔ)償需求函數(shù)必須滿足 ：h(p,u) _ %k(p,u) 8k8i 對(duì)于兩個(gè)不同的商品I和k，如果、h|( p, u) _ 0,稱它們是相互替代的， 如果 山(p,嘰 0,稱它們是相互補(bǔ)償?shù)摹?/p>

21、由于 山(p,嘰 0,由性質(zhì)(4)， GkEpi 必定存在某個(gè)k ,使得m(p,u)_ o,這蘊(yùn)涵每一種商品至少有一個(gè)替代品。 dpk 命題1.7.3:(斯勒茨基方程)對(duì)于所有的(p, m) ,u=v(p, m),我們有 _：h|(p,u)：X|(p,m)：X|(p,m) 111Xk(p,m),對(duì)于所有的l, k。 Pk:pk:m 或等價(jià)地，用矩陣記號(hào)， Dph(p,u)二 DpX(p,m) DmX(p,m)x( p,m)T。 證明：由重要恒等式h|(p,u) =X|(p,e(p,u)，兩邊對(duì)pk求導(dǎo)，得到 m(P,u) _ q,m) =e(p,v(q,m)二 Kp： p 異 v q, m)二

22、 Piap2“qqam 同時(shí)我們還可以通過這個(gè)例子驗(yàn)證其它重要恒等式和性質(zhì)：羅伊恒等 式、斯勒茨基方程、補(bǔ)償需求函數(shù)的性質(zhì)和替代矩陣的性質(zhì)。 1.8 可積性問題 我們知道通過求解效用最大化問題可以得到普通需求函數(shù)，但是在實(shí)際 中，普通需求函數(shù)是可觀察到的，而偏好是觀察不到的， 一個(gè)自然的問題是： 能否通過可觀察到的普通需求函數(shù)得到觀察不到的效用函數(shù)？這就是可積 性問題。對(duì)這個(gè)問題的回答是肯定的。 通過效用最大化由直接效用函數(shù)得到間接效用函數(shù)，由重要恒等式，間 接效用函數(shù)可以解得花費(fèi)函數(shù)，反過來，花費(fèi)函數(shù)可以解得間接效用函數(shù)， 事實(shí)上，我們也可以由間接效用函數(shù)解出直接效用函數(shù)，從而這三者包含的

23、消息是一樣多。為了解決可積性問題， 只要能夠由可觀察到的普通需求函數(shù) 得到這三者中任一個(gè)即可。 由間接效用函數(shù)解出直接效用函數(shù)可以通過解下列最小化問題： u(x) = min v( p) p st. px = 1 這個(gè)問題的證明并不難。假設(shè)價(jià)格為p時(shí)最優(yōu)需求為X,那么由定義 v( p) u(x)，假設(shè)價(jià)格p 是滿足預(yù)算約束 px=1的另一價(jià)格向量，由于 在價(jià)格p下x是可行的消費(fèi)向量，那么在價(jià)格p下得到的最大效用水平至 少和x的效用水平一樣多，也即v(p) _u(x) v(p)。因此這就證明了在 給定x條件下滿足px二1的所有價(jià)格向量中使間接效用函數(shù)達(dá)到最小的價(jià) 格對(duì)應(yīng)的效用便是 x的效用。 下

24、面我們具體看一看如何從普通需求函數(shù)出發(fā)求解出間接效用函數(shù)。 由花費(fèi)函數(shù)的性質(zhì)我們有： = 1,2, n. e(p,U)二h,p,u)二Xi(p,e(p,u), i Pi 把u = v(q, m)代入上式可得: e(p,v(q,m)二Xi(p,e(p,v(q,m), i Pi 1,2, n. 或者 W(P；q,m) pi 二 Xi(p j(p;q, m) ), i =1,2 n. 這是一個(gè)關(guān)于 丄(p;q,m)的偏微分方程組，初始條件為 丄(q;q,m)=m。由 斯勒茨基替代矩陣的對(duì)稱性，這個(gè)偏微分方程組滿足局部解存在的可積性條 件，即 珂p；q,m)關(guān)于p的交叉偏導(dǎo)數(shù)相等。我們稱此方程系統(tǒng)為可

25、積性 方程組，由可積性方程組便可解出間接效用函數(shù)，從而得到直接效用函數(shù)。 例子1.8.1 :兩種商品情形下的可積性問題 由于間接效用函數(shù)是零次齊次的，在只要兩種商品的情形下，可以規(guī)范 化商品2的價(jià)格為1，從而只有一個(gè)獨(dú)立的相對(duì)價(jià)格向量，可積性方程也只 有一個(gè)。假設(shè)商品1的價(jià)格為p，需求函數(shù)為x(p,m)，那么可積性方程和 邊界條件為： =x(pj(p;q,m) dp (q;q,m) =m 這實(shí)際上是一個(gè)常微分方程。如果需求函數(shù)是對(duì)稱線性的，即 In x=a Inpblnmc a b c 或 x 二 p m e 可積性方程和邊界條件為： d%p;q,m)aec 3 dp 叫q;q,m) =m 重

26、新排列一下可積性方程，我們有: j -b d(p;q,m) dp 兩邊求定積分得, q .i 上 d(t;q,m)dt pdt q f taecdt p 解這個(gè)方程可得, 1 _b (p;q,m)二 m -( 1.9 福利分析 當(dāng)經(jīng)濟(jì)環(huán)境發(fā)生變化時(shí)，消費(fèi)者的生活可能變好也可能變壞，在這一節(jié) 里我們介紹幾種工具測(cè)度這種環(huán)境變化對(duì)消費(fèi)者福利的影響。測(cè)度福利變化 的古典方法是消費(fèi)者剩余，但它僅適用于專門情形。這里我們介紹兩個(gè)更一 般的測(cè)度福利變化的方法一一等價(jià)收入變差(EV)和補(bǔ)償收入變差(CV)， 消費(fèi)者剩余只不過是它們的特例。 假設(shè)消費(fèi)者面對(duì)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境從(p0,m0)變到(p)，這可解釋為 由于

27、不同的政策導(dǎo)致的。一種測(cè)度這種變化最明顯的方法是它們的間接效用 之差： v(p , m ) -v( p,m) 如果這個(gè)差是正的， 表明消費(fèi)者生活變好了， 相對(duì)于這個(gè)消費(fèi)者而言， 這種 政策變化可??；如果這個(gè)差是負(fù)的， 表明消費(fèi)者生活變壞了。 但由于效用函 數(shù)僅僅是一個(gè)序數(shù)概念， 為了比較不同的消費(fèi)者對(duì)這種變化的反映，我們選 擇的測(cè)度方法應(yīng)該用貨幣來衡量，貨幣度量間接效用函數(shù)可以擔(dān)當(dāng)此任。 回憶貨幣度量間接效用函數(shù)J(q; p,m)測(cè)度的是面對(duì)價(jià)格 q時(shí)至少要 花多少錢才能和面對(duì)價(jià)格p和收入 m時(shí)生活得一樣好。如果環(huán)境從 (p,m)變到(p，,m )，那么用貨幣度量間接效用函數(shù)測(cè)度這種變化為：

28、%q;p；m)(q;p,m0) 剩下來的問題是如何選擇 q，明顯地有兩種選擇：q二p0或q二P - 當(dāng)選擇q二p0時(shí)得到我們的等價(jià)收入變差： EV =(p0; p；m )丄(p0; p0,m0) = J(p0; p：m ) -m 當(dāng)選擇q = p時(shí)得到我們的補(bǔ)償收入變差： CV - (p ; p；m) 一(p ; p,m0) =m 一(p ; p0,m0) 這兩種變差的值一般不一樣，但它們的符號(hào)是一樣的，要么同時(shí)為正，要么 同時(shí)為負(fù)。 古典的測(cè)度福利變化的方法是消費(fèi)者剩余(CS)。如果x(p)是某個(gè)商 品相對(duì)于自身價(jià)格的需求，當(dāng)價(jià)格從p0到p 時(shí)，消費(fèi)者剩余定義為； p0 CS x(t)dt

29、p 下面我們考慮一種特殊情形，可以證明在這種特殊情形下三種測(cè)度方法是 一樣的。假設(shè)只要兩種商品，效用函數(shù)的形式為擬線性形式u(xj x0，那 么商品1的需求函數(shù)為 Xi( Pi)?？梢酝ㄟ^下列可積性方程求解貨幣度量間 接效用函數(shù)： 皿皿Xi(t) dt J(q；q, m) =m 很容易地得到這個(gè)微分方程的解為： p A(p;q,m) = f Xi(t)dt + m q 假設(shè)當(dāng)價(jià)格從p0到p時(shí)收入不變，那么 000p0 EV = p0; p； m) % p0; p0, m) = J , Xi(t)dt p 0p CV =卩（p； p；m）卩（p： p , m） =Xi （t）dt p 從而 EV

30、 =CV =CS。 對(duì)于一般情形，消費(fèi)者剩余可作為兩種變差的近似，它介于兩種變差之間。 我們還是考慮價(jià)格從 p0到p 而收入不變，那么 EV（p; p； m） 7 p0; p,m）（p0; p：m） 7（p ; p ,m） CV 二 J（p ; p ；m） 7 p ; p,m）二（p0; p0,m） 7p ; p0,m） 這里用到了如下事實(shí)：（p; p,m） - 1 （ p ; p ；m） = m。 記u0 v( p , m),u v( p , m)，那么 EV 二e(p0,u ) - e(p ,u) CV =e(p,u0) -e( p ；u0) 由于h（p,u）二 e（ p, U），從而上兩式可表示為: EV 二e(p,u) -e(p,u) p. h(p,u )dp p p CV =e(p0,u0) e(p：u0) = Jh(p,u0)dp p 斯勒茨基方程告訴我們: 昂（P, u） _ 玫（p,m） + 6x（ p,m） x（ p m） .:p: p.:m 如果商品是正常品，那么補(bǔ)償需求函數(shù)的斜率大于普通需求函數(shù)的斜率, 而消費(fèi)者剩余介于兩種變差之間。這個(gè)