一階線性微分方程解的存在唯一性證明精品

1、一階線形微分方程巴二p(x)y q(x)解的存在唯一性定理的證明dx摘要：從分析方法入手，來證明滿足初值條件下一階線形微分方程解 的存在唯一性定理的證明.引言：我們學習了能用初等解法的一階方 程的若干類型，但同時知道大量的一階方程是不能用初等解法求出它 的通解，而實際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解，因此對初值問題的研究被提到重要地位，自然要問：初值問題的解是 否存在？如果存在是否唯一一 ?首先，我們令f(x,y)=p(x)y+q(x) 這里f(x,y)是在矩形域 R： x-xo|蘭a, y-y。0 使不等式f(x,yj f(x,y2)EL% y2對于所有的(x,yj(x,y2)R

2、都成立丄稱為 利普希茲常數(shù)下面我們給出一階線形微分方程dy p(x)y q(x)(1)解的存在唯一性dx定理：如果f(x,y)=p(x)y+q(x) 在R上連續(xù)且關于y滿足利普希茲條件，則方程(1)存在唯一的解y(x),定義于區(qū)間x-xo上,連續(xù) 且滿足初始條件：(xo) = yo 這里 h = min(a,) M = max f (x, y) (x,y) RM我們采用皮卡的逐步逼近法來證明這個定理，為了簡單起見只就區(qū)間X。遼x乞x h來討論，對于X0 - h空x乞X0的討論完全一樣.現(xiàn)在簡單敘述一下運用逐步逼近法證明定理的主要思想，首先證明求微分方程的初值問題的解等價于求積分方程y =yo

3、；b(x)y q(x)dx 的連續(xù)解這里我們用 f(x,y)=p(x)y+q(x) 來替X代,因此也就等價于求積分方程y = y。+ f(x,y)dx的連續(xù)解，然后xo去證明積分方程的解的存在唯一性.任取一個連續(xù)函數(shù)(x)代入上面的積分方程右端的y就得到函數(shù)x1(X)三 y。+ I f (x/Pg(x)dx顯然- i(x)也是連續(xù)解,如果1(X)= 1(x)那么(x)就是積分方程的解.否則，我們又把=i(x)代入積分方程右端的y得到x2(x)三 y +f(x浮i(x)dxxo如果2(x)二i(x),那么1(X)就是積分方程的解，否則我們繼x續(xù)這個步驟 一般地做函數(shù)n(X)三y。+ f(x,n_

4、1(x)dxxo這樣就得到連續(xù)函數(shù)序列,：1(X)n(x)如果，n 1(X)三n(X)那么；：n(x)就是積分方程的解，如果始終不發(fā)生這種情況，我們可以證明上面的函數(shù)序列有一個極限函數(shù)(X)即nim：n(X)二(X) 存在因此對取極限就得到Xlimn(x) = y+lim( f(x,n4(x)dxn -n _ xox=y。+nmf (兀叫二內乂x=y。f (x, (X)dxXo即(x)三 y。* f (x, (x)dx這就是說:(x)是積分方程的解，這種一步一步地求出方程的解的方法 就成為逐步逼近法，由所確定的函數(shù)n(X)稱為問題(1)的n次近似 解,在定理的假設條件下以上步驟是可以實現(xiàn)的下面

5、我們分四個命題 來證明這個定理.命題1,設y h呼(X)是一階線形微分方程(1)的定義于區(qū)間X。乞x x0 h 上的，且滿足初始條件:(xo) - yo的解，則y =護(x)是積分方程 y = y +f(x,y)dx( Xo _ x _ Xo h )的定義于 Xo _ x _ Xo h上的連續(xù)解， 反之亦然.因為y = “X)是一階線形微分方程(1)的解故有dd(=f(x(x)dx兩邊從Xo到X取定積分得到X(x) - (xo)三 f (x, (x)dxxo _ x _ xo htxo把(Xo) To代上式,即有X(x) = y。f(x, (X)dxXo 乞 X 乞 Xo hXo因此，y V(

6、x)是積分方程y = yo f (x,y)dx定義于xo豈x豈xo h上的xo連續(xù)解反之如果y=(x)是積分方程y = yo + X f (x, y)dx的連續(xù)解，則有oXe(x)三f(x,(x)dxXo 蘭 X 蘭 Xo+h (3)xo微分之,得到警=f(x%)dx又把X=Xo代入得到(xo)因此y =(X)是方程(1)的定義于Xo _x_x - h上且滿足初始條件(X。)=y的解.命題1證畢.現(xiàn)在取：o(x)二yo,構造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下：o(x) = yoX%(x) = y。+。(n=1,2,)4)命題2函數(shù)序列;：n (x)在X。乞X乞X。 h上是一致收斂的qQ證明:我們考慮級數(shù)

7、o(x) V ：k(x) -Xo X Xo h(5)k4它的部分和為n：o(X)八。)-k(X)=(X)kA因此，要證明序列Jn(xF在X。豈X乞Xo h上一致收斂，只需證明級數(shù)(5) 在X。沁乞X。h上一致收斂.為此，我們進行如下估計.由有X忸(x)%(X)蘭EM(X X。)(6)及 性(x)-1(X)蘭f(牛iG)_fG%G)dr利用利普希茲條件及(6)得到X|篤(x)-%(x)Ml屮仗)/。心卅蘭LM(冷聲=呼儀X。)2x2!設對于正整數(shù)n,不等式n 4n(X)-斗&)蘭一 (X-X。)n!成立,則有利普希茲條件，當X。一 x 一 x。h時,有(x)叫(x)| 蘭 Jjf(叫(匕)f(E

8、,%(U)|dEL |叫(匕)-乳亠代巾芒x。畔：(f%1于是,由數(shù)學歸納法得知，對于所有的正整數(shù)k,有如下的估計k _Jx。乞 x 乞 x。 h (7)k(x) - k(x) 遼M(X-X。)k k!從而可知，當X。乞x空x。h時(X)x0這就是說(x)是積分方程(2)的定義于X。乞xmx。h上的連續(xù)解. 命題3證畢.命題4設(x)是積分方程 的定義于X。乞xx。- h上的一個連 續(xù)解,則(x) = (x) ,X。沁乞x。 h證明：我們首先證明(x)也是序列r(x*的一致收斂極限函數(shù).為此,從X咒(x)=y + jx f(J彎)d(n=1,2,)XQX(X)二 y。f(x, ( )d%我們可以進行如下估計X咒(X)f(E,%3dE EM(XX。)X憶(X) M(x)| 列 I f 化嚴。() f (沖(E)dXQX蘭LJ %