一元積分總結(jié)精品

1、不定積分不定積分性質(zhì)與概念1原函數(shù)定義：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)，即對(duì)任一 x I都有F x) =f(x)或者 dF(x)=f(x)dx那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)(連續(xù)則可導(dǎo)，可導(dǎo)即有原函數(shù))2積分定義：在區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記作f (x)dx若F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，貝y . f (x)d F(x) C C為常數(shù) (切記 不要忘記常數(shù)C)3原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：互為逆運(yùn)算例x2dx由于(-)=x2，所以是x2的一個(gè)原函數(shù)，因此x2dx=Z C333基本積分表

2、(一定要記熟)kxdx = kx Caxdx C (a0 ,a 1)In aexdx =ex Ccosxdx = s in x Csin xdx - - cosx Csec xdx = tan x C2cscx dx 二-cotx Csecx tan xdx 二 secx Ccscxcotxdx - -cscx C1dx = arcs in x Cdx 二 arctanx Cshxdx = chx Cchxdx = shx C4不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則f (x) _ g(x) dx = jf (x)dx _ g(x)dx性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為

3、非零常數(shù)，則kf(x)dx=k f (x)dx(兩條性質(zhì)記住，你在做題的時(shí)候?qū)τ谛再|(zhì)掌握不好，做題的時(shí)候不要忘記性質(zhì)有時(shí)候可簡(jiǎn)化計(jì)算)例5 2 -x2dx-5!xdxx2丨75.x(x2 -5)dx 二(x2 . x -5 x)dx 二 x2dx -5 xdx =二、不定積分計(jì)算1換元積分法(第一類換元和第二類換元)2分部積分法(記住基本類型，做題時(shí)看屬于哪類，套用方法)第一類換元對(duì)于第一類換元法，總結(jié)可歸納為將dx湊成被積函數(shù)的變量，再套用基本公式例2cos2xdx二 cos2xd2x=sin 2x C分析：被積函數(shù)是個(gè)多項(xiàng)式 2cos2x，變量是2x，想辦法把dx變成d2x，而d2x=2d

4、xdx3 2x1 1d(3 - 2x)2 3 2x1In 13 亠 2x | C21分析：有公式 dx = In | X |，所以可以把3+2x看成一個(gè)整體，dx變成d(3+2x)，但 x1d(3+2x)= 2dx，所以原式前要加2dx令 u = x 2則乂 = u2, dx 二 d (u2) = du原式(u-2)2duu2 * 3 -4u 43u二(u- 4u 4u )du 二 udu - 4u du 亠 14udui 1-x2d(1 -x2)=I n u +u A -2u +C=In|x+2| + x . 1 -x dx_ +Cx + 2 (x+2)2分析：被積函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)變量，考慮換元

5、，一般帶根號(hào)的，帶多項(xiàng)式幾次幕的會(huì)考慮換元的問(wèn)題，換元以后問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單22xex dx =ex dx2222分析：被積函數(shù) 2xex ,由2x和ex組成，觀察得到 dx2=2xdx，所以可以將 2x拿到d后面, 令x2=u， .eudu=eu最后把x2代入得到21 (1 x )分析：被積函數(shù)中有x，而考慮到dx2=2xdx，進(jìn)一步可得d (1-x2) =-2xdx，積分符號(hào)前提取出-1，便可利用基本公式求解(還有些三角，反三角的不定積分求解的問(wèn)題PPT上有，可以看看。三角函數(shù)的一些公式，基本三角公式，極化和差公式，萬(wàn)用公式，三角恒等式等要記熟，在求解三角的不定積分的時(shí)候可用來(lái)化簡(jiǎn))三角函數(shù)公

6、式兩角和公式sin( A+B) = sin AcosB+cosAs inB sin( A-B) = sin AcosB-cosAsi nB cos(A+B) = cosAcosB-si nAs inB cos(A-B) = cosAcosB+si nAsinB1- ta nAta nB1 tan Ata nBcotB cotAcot(A-B) = cotAcotB 1tan2A = lcotB -cotA倍角公式21 -tan ASin 2A=2Si nA?CosA2 2 2 2Cos2A = CosA-Si n2A=2Cos2A-1=1-2si n2A三倍角公式3sin3A = 3si nA

7、-4(si nA)3cos3A = 4(cosA) -3cosAtan3a = tana- tan(3+a) - tan(3-a)半角公式./ A、-cosA sin()=、2 2A、1 + cos Acos( )= .2 2A )1 -cos A 叫A 1 cosA2ta n 2 sina=a 21 (ta n)221）如果被積函數(shù)中含有2）如果被積函數(shù)中含有tan()=2s;in A1 cosA和差化積a ba - bsin a+s in b=2s incos2 2a b . a -b sin a-s in b=2cossin2 2cosa+cosbc a +ba b=2coscos2 2

8、cosa-cosb :a b . a-b =-2sinsin2 2tan a+ta nb=sin(a b) cosacosb積化和差1cos(a+b)-cos(a-b)sinasinb =-cosacosb =1cos(a+b)+cos(a-b)sin acosb =1si n(a+b)+si n( a-b)cosas inb =1si n(a+b)-si n(a-b)萬(wàn)能公式A 1 -cosA si nA小 a1 -(ta na) 23）如果被積函數(shù)中含有x - a 可作變換x=a sect（或x=a cht用的不多）2 cosa=a 21 (ta n )2a 2ta n 2 tana=1

9、- (ta na)22第二類換元法 和第一類相反，是變化被積函數(shù)，主要用于以下三種情況:#22、 、a -X 可作變換 x=a sint(或 x=a cost)a2 x2可作變換x=a tant（或x=a sht用的不多）例dX_13 x 2令 3 x 2=t,貝V x二t3 _2,dx =3t2dt2原式二3L史=3 . t -1 丄dt 1+t 丄 t+1丿=3(寧 _t +ln t+1) +C =3盹+2)2 _3x + 2 +3ln 習(xí) x + 2 +1 +C分析：含有根式+2，所以令Mx +2=tx設(shè)x,那么dx羋則tt221 / dt.a（下）原式=1t7=_ J(a2t2 _1)

10、2 t dta2t2-112d(a2t2 -1)3a2t2 -1 2-3a2C當(dāng)t ：0時(shí)可得相同結(jié)果2 2a -xr33a x分析：雖然有代換公式但是，存在分母，采用倒代換，消除分母中的變量dx4x2 9人 332令x= tant,則 dx sec tdt2 2原式二3 seC2 tdt23 . (atant)2 111=一 sectdt = ln sect +tant +C 22x =3tant二 tant =2x= sect 二漁 92332 4x2 9-x 3 3Ci11，” 一 In sect + tant 十 G = In 2-= -In 2x +J4x2 +9 +C2分析：這是利

11、用代換，屬于第二類代換，也可以用后面提到的公式原式=dxA-1 1 _if21 d x -I 2厶 r251 x _ 41V5sin t,d(x ) cos tdt 2 2 2.5cos tdt原式二；=2J5 +5si n21 442x_1 “二 arcCV5令x-2沁=t (costsint(或 x=a cost)分析：根據(jù)1）如果被積函數(shù)中含有.a2 -x2 可作變換x=a 想辦法出現(xiàn).a2 -X2，然后通過(guò)代換一步步求解補(bǔ)充公式：tan xdx - Tncosxcotxdx =1 n sinx +CJsecxdx = In secx + tanx +CJcscxdx = In csx-

12、cotx +Cdx1丄xarcta nCa adx2 2 x -a1In2ax adxdx、x2 a2dx x 小 =arcs inCa=In x + lx2 a2 +C公式挺多的，熟記可以減少計(jì)算，多做做題，然后可以熟悉一下?lián)Q元法總結(jié)：在解答不定積分的時(shí)候，用換元法，要么換 d后面的x，要么換前面被積函數(shù)，其目的都是 轉(zhuǎn)換成基本形式，然后根據(jù)基本公式輕松得出答案。 在第二類換元的時(shí)候要注意令被積函數(shù) =u時(shí)，要解出dx，就是先解出x=什么，然后對(duì)x關(guān)于u求導(dǎo)，詳細(xì)看例題分部積分法利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，則uvdx = uv - u vdx簡(jiǎn)單歸納為一個(gè)公式：udv =uv - vdu如果

13、是兩個(gè)函數(shù)乘積的形式，可以考慮分布積分法例xcosxdx= xd sin x =xsin x- sinxdxx 幕函數(shù) cosx三角函數(shù) 保留幕函數(shù)二 xsin x cosx C分析：被積函數(shù)是兩個(gè)基本函數(shù)即幕函數(shù)和三角函數(shù)的乘積，考慮分部積分。在使用分部積分的時(shí)候，主要是將一個(gè)基本函數(shù)提到d的后面即對(duì)一個(gè)基本函數(shù)先求導(dǎo)。xexdxxxxXX二 xde xe - e dx 二 xe -e Cx幕函數(shù)ex指數(shù)函數(shù) 保留幕函數(shù)x2exdx2 x 2 xx 22 xx .= x de xe-edx xe- 2xe dx=x2ex -2 ixdex =x2ex -2 xex - exdx-x2ex 2

14、xex 2ex C像這個(gè)題用到了兩遍分部積分法xln xdx1 21212In xdx x In x x d ln x2 2 21 2| 1 .x In x xdx221212x In x x C24x2幕函數(shù)ex指數(shù)函數(shù)保留幕函數(shù)x幕函數(shù)Inx對(duì)數(shù)函數(shù)保留幕函數(shù)xarcta nxdx=- arctanxdx221 22x arctanx- x darctanx21_ 2x2 arcta nx -十x2x ydxx幕函數(shù)arctanx反函數(shù)保留反函數(shù)1 2dxx2 arcta nx二一 i x2 arctanx - 1dx21 x1 2x arctanxx arctanx C這個(gè)題涉及到有理式

15、積分，后面會(huì)提到，用的方法還是分部積分法 到了這，你可能會(huì)有點(diǎn)疑問(wèn)，遇到兩個(gè)相乘的，被積函數(shù)應(yīng)該保留哪個(gè)，哪個(gè)應(yīng)該提到后面去呢？教你個(gè)口訣：反對(duì)幕三指 意思是遇到兩個(gè)基本函數(shù)相乘，被積函數(shù)保留的考慮順序是反函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。也不能說(shuō)絕對(duì)這樣，但是對(duì)付你學(xué)的應(yīng)該肯 定沒(méi)問(wèn)題，我們解答也是按照這么個(gè)順序來(lái)的。這幾個(gè)基本函數(shù)形式應(yīng)該吧，不知道問(wèn)度娘,我不給你說(shuō)明了。然后咱在從第一題來(lái)看，我用紅字給你標(biāo)出了 趁熱打鐵再來(lái)幾個(gè)典型點(diǎn)的題:exs in xdxXX x =sin xde e sin x - e d sin x二 ex sin xex cosxdx=ex sin x

16、 cosxdexX xx .二 e sinx-e cosx - e d cosxXXX二 e sin x-e cosx- e sin xdx到這你會(huì)發(fā)現(xiàn)等號(hào)右邊紅色的和左邊一開始一樣則原式=1 ex sin x -eXcosx +C2e Xdx令 x =t，則x =t2,dx 二2tdt,于是原式=2 tetd桎U這里一切就明白了吧sec xdx= secxd tan x= secxtan x- tanxd secx=secxtanx - . tan2 xsecxdx2二 secxtanx - secx sec T dx3=secxtanx - sec dx 亠 isecxdx3 1sec x

17、dxsecxtanx 亠 isecxdx1=-(secxtanx + ln secx + tanx )+CPPT上面到這里兩種方法都整理完了，這里面的題不算太難，你看看，然后自己再做一遍， 的題有的有些難度，看不懂的就問(wèn)我，免費(fèi)咨詢，咨詢電后是有理函數(shù)的積分 兩個(gè)多項(xiàng)式的商 P X稱為有理函數(shù)，又稱有理分式Q(X)P x的次數(shù)小于Q x稱為真分式，否則稱為假分式假分式化為真分式利用多項(xiàng)式除法422x21原式=2 x2 -1 +4x2 1真分式La，如果分母可以分解為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積,Q(x)Q x = Q1 x Q2 x切Q x ,Q2 x沒(méi)有公因式，那么它可以分拆成

18、兩個(gè)真分式之和便于計(jì)算P(x) R(x)十 B(x)Q x Q1 x Q2 x x 1丄dxx2 -5x 6分母 x2 -5x 6= x -3 x-2則可設(shè)等式兩邊去分母得x 1 =A(x -2) B(x -3) 即 x+1=(A+B)x-2A-3B 對(duì)應(yīng)系數(shù)相等A+B=12A+3B=-1A=4,B=-343原式=dx -dx=4ln x 3 -3In x 2 +C x-3 x-2分析：在化成兩個(gè)有理式相加的時(shí)候，系數(shù)A，B的確定是關(guān)鍵，本題中分母可以化成兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，取兩個(gè)多項(xiàng)式分別為兩個(gè)有理式的分母，因?yàn)轭}目中的分子是一次， 而分子中也只有一次的x，可確定A B中可定沒(méi)有x的系數(shù)，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得出A B2x4 xx2 1 分子4次，分母為2次，假分式用多項(xiàng)式除法，分子分母同除以2x4 x23=(x21)(2x2 -1) 4 3x -32 dxx1 x -1被