調(diào)和點(diǎn)列(一)解析

1、調(diào)和點(diǎn)列(一)一、線段調(diào)和分割的基本概念如果線段AB被兩點(diǎn)C,D內(nèi)分與外分成同一比例，則稱線段 AB被點(diǎn)C和D 調(diào)和分割亦稱點(diǎn)列A,B;C,D為調(diào)和點(diǎn)列.顯然，當(dāng)C,D調(diào)和分割A(yù)B時(shí)，也可稱A、B兩點(diǎn)調(diào)和分割CD有時(shí)也稱點(diǎn)C 和D是線段AB的調(diào)和共軛點(diǎn).若從共點(diǎn)直線外任一點(diǎn)P作射線PA,PC,PB,PD則可稱射線束為 調(diào)和線束， 且PA與PB共軛，PC與 PD共軛.二、調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)調(diào)和點(diǎn)列聯(lián)系了眾多的圖形，因而它有一系列有趣的性質(zhì).性質(zhì)1設(shè)A,C,B,D是共線四點(diǎn)，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，則C,D調(diào)和分割線段AB的充 要條件是滿足下述六個(gè)條件之一 (1) 點(diǎn)AB調(diào)和分割CD.+AC ADAB -AB

2、 *CD 二:2AD * BC 二2AC DB .CA*CB =CM CD .DA * DB =DM DC.MA2 二 MB2 = MC MDAMCBD性質(zhì)2設(shè)A,C,B,D是共線四點(diǎn)，過(guò)共點(diǎn)直線外一點(diǎn)P引射線PA,PC,PB,PD則C,D調(diào)和分割線段AB的充要條件是滿足下述兩個(gè)條件之一.(1)線束PA,PC,PB,PD其中一射線的任意平行線被其他三條射線截出相等的兩線段 另一直線I分別交射線 PA,PC,PB,PD于點(diǎn)A ,C ,B ,D 時(shí)，點(diǎn) C ,D 調(diào)和分割線段A B.P性質(zhì)3對(duì)線段AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D,以及直線AB外一點(diǎn)P,給出如下四 個(gè)論斷：PC是/APB的平分線.PD是Z

3、APB的外角平分線.C,D調(diào)和分割線段AB. PCL PD.以上四個(gè)論斷中，任選兩個(gè)作題設(shè)，另兩個(gè)作結(jié)論組成的六個(gè)命題均為真命 題.性質(zhì)4三角形的一邊被其邊上的內(nèi)（旁）切圓的切點(diǎn)和另一點(diǎn)調(diào)和分割的充要 條件是，另一點(diǎn)與其余兩邊上的兩個(gè)切點(diǎn)三點(diǎn)共線 性質(zhì)5從圓0外一點(diǎn)A引圓的割線交圓0于C,D,若割線ACD與點(diǎn)A的切點(diǎn)弦 交于點(diǎn)B,則弦CD被 A,B調(diào)和分割.三、幾個(gè)推論1、性質(zhì)2的推論：推論1梯形的兩腰延長(zhǎng)線的交點(diǎn)和兩對(duì)角線的交點(diǎn)調(diào)和分割兩底中點(diǎn)的連線.N推論2完全四邊形的一條對(duì)角線被其他兩條對(duì)角線調(diào)和分割推論3過(guò)完全四邊形對(duì)角線所在直線的交點(diǎn)作另一條對(duì)角線的平行線， 所作直 線與平行的對(duì)角線

4、的同一端點(diǎn)所在的邊或其延長(zhǎng)線相交，所得線段被此對(duì)角線所 在直線上的交點(diǎn)平分CNE2、性質(zhì)3的推論:推論4三角形的角平分線被其內(nèi)心和相應(yīng)的旁心調(diào)和分割.推論5兩外離不等圓圓心連線被兩圓的外公切線交點(diǎn)和內(nèi)公切線交點(diǎn)調(diào)和分割推論6若C,D兩點(diǎn)調(diào)和分割圓的直徑 AB則圓周上任一點(diǎn)到C,D兩點(diǎn)的距離之 比是不等于1的常數(shù)反之，若一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之比為不等于1的常數(shù)，則該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.(Apollonius 圓) 推論7從圓周上一點(diǎn)作兩割線，它們與圓相交的非公共的兩點(diǎn)連線，垂直于這 條連線的直徑所在的直線與兩割線相交，則這條直徑被這兩割線調(diào)和分割 PN推論8 一已知圓的直徑被另一圓周調(diào)和分割的充

5、要條件是，已知直徑的圓周與過(guò)兩分割點(diǎn)的圓周正交（即交點(diǎn)處切線相互垂直）.D推論9 設(shè)點(diǎn)C是厶AEF的內(nèi)心，角平分線 AC交邊EF于點(diǎn)B,射線AB交厶AEF的外接圓圓Q于點(diǎn)0,則射線AB上的點(diǎn)。為厶AEF的旁心的充要條件是ACDOCB OB推論10設(shè)厶AEF的角平分線AB交EF于點(diǎn)B,交 AEF的外接圓于點(diǎn)0,則2 20E =0F = 0A *0B .3、性質(zhì)4的推論: 推論11若凸四邊形有內(nèi)切圓，則相對(duì)邊上的兩切點(diǎn)所在直線與凸四邊形一邊 延長(zhǎng)線的交點(diǎn)和這一邊上的內(nèi)切圓切點(diǎn)調(diào)和分割這一邊 4、性質(zhì)5的推論：推論12從圓0外一點(diǎn)A引圓的兩條割線交圓于四點(diǎn)，以這四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊 形的對(duì)角線相交于點(diǎn)B

6、,設(shè)直線AB交圓0于C,D,則A,B調(diào)和分割CD弦.AD四、調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)應(yīng)用例1如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA,PB, A,B為切點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)P作圓 的一條割線分別交圓于 C,D兩點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)B作PA的平行線分別交直線AC,AD于E,F，求證：BE= BF.（2005年第5屆中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克題）例2 如圖，在 ABC中, AD丄BC H為AD上任意一點(diǎn)，CH,BH分別與AB,AC交于點(diǎn) E,F，求證：/ EDA =Z FDA.(第18屆普特南B.1）（1987年友誼杯國(guó)際競(jìng)賽）（第14屆愛爾蘭奧林匹克）(第26屆加拿大奧林匹克）A例3 如圖，在 PBC中，/ PBC =60，過(guò)點(diǎn)P作厶

7、PBC勺外接圓圓 0的切線， 與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A.點(diǎn)D,E分別在線段PA和圓0上,使得/ DBE=90,PD=PE 連接BE與PC相交于點(diǎn)F.已知AF,BP,CD三線共點(diǎn). 求證：BF是/ PBC的平分線.年西部數(shù)學(xué)奧林匹克題)pEDFOAB(2)求 tan / PCB的值.(2006例4如圖，已知A為圓O外一點(diǎn)，過(guò)A引圓O的割線交圓O于點(diǎn)B,C，且點(diǎn)B 在線段AC內(nèi)部.過(guò)點(diǎn)A引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T.設(shè)AC與 ST交于點(diǎn)P,證明： 竺=2.(第21屆北歐數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)PC BCC例5如圖，已知 ABC的外心為O, P為0A延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線I與PB關(guān)于 BA對(duì)稱，直線h與PC關(guān)于

8、AC對(duì)稱，I與h交于點(diǎn)Q.若P在0A的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)， 求Q的軌跡（第38屆奧地利奧林匹克題）例6如圖，過(guò)銳角厶ABC的頂點(diǎn)A,B,C的三條高分別交對(duì)邊于點(diǎn) D,E,F，過(guò)點(diǎn)D平行于EF的直線分別交AC,AB于點(diǎn)Q,R, EF交BC于點(diǎn)P.證明： PQR勺外接 圓過(guò)BC的中點(diǎn).（第38屆IM0預(yù)選題）例7 如圖，設(shè)0和I分別為 ABC的外心和內(nèi)心， ABC的內(nèi)切圓與邊BC,CA,AB 分別相切于點(diǎn)D,E,F，直線FD與CA相交于點(diǎn)P,直線DE與AB相交于點(diǎn)Q,點(diǎn)M,N分別為線段PE,QF的中點(diǎn)，求證：01丄MN.（2007 年CM強(qiáng)題）QMBDOC例8如圖，已知AB是圓0的弦，M是AB的中點(diǎn)，C是圓0外任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C 作