趣味數(shù)學競賽試卷

1、高一趣味數(shù)學競賽一、選擇題(每題 4 分 94=36)1、猩猩最討厭什么線（ ）a 中位線 b 平行線 c 角平分線 d 射線2、衣柜里有 6 只白色襪子，6 只黑色襪子。它們除顏色不同之外，其它都一樣。如果身處漆黑中，由衣柜取出兩只 顏色相同的襪子，最少要從衣柜中拿出幾只襪子，才能確保其中有兩只襪子顏色相同呢？（ ）a 1 次b 2 次c 3 次d 4 次3、1874 年，德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論。到 19 世紀末，全部數(shù)學幾乎都建立在集合論的基礎上。就在人們認為數(shù)學的基礎已經(jīng)很牢固的時候，集合論出現(xiàn)了一系列自相矛盾的結(jié)果，即悖論！于是，數(shù)學的基礎被動搖了，這就 是所謂的第三次“數(shù)學危機

2、”。請選出下面哪個選項不屬于悖論（ ）a 有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什么事都做得到。一位過路人問了一句話：“上帝 能創(chuàng)造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎？”b 英國數(shù)學家羅素構(gòu)造了一個集合 s：s 由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：s 是否屬于 s 呢？c “今天天氣很好，是不是？”d一天，薩維爾村理發(fā)師掛出了一塊招牌：村里所有不是自己理發(fā)的男人都由我給他們理發(fā)。于是有人問他：“您的頭發(fā)誰給理呢？”理發(fā)師頓時啞口無言。 4、勾股定理還有一種叫法（ ）a 畢達哥拉斯定理b 孫子定理c 歐拉定理d 祖沖之定理5、祖沖之是我國古代偉大的數(shù)學家，他在公元前 400 多

3、年計算出了圓周率p的近似值，這個近似值精確到小數(shù)的 7位，這個記錄直到 15 世紀才由阿拉伯數(shù)學家卡西打破。祖沖之還給出了p的分數(shù)形式，那么下面那個是他給的分數(shù) 形式（ ）a10 333 355 103993b c d3 107 113 331026、數(shù)學史上曾經(jīng)發(fā)生過三次數(shù)學危機，其中第 3 題中的集合悖論的發(fā)現(xiàn)稱之為第三次危機，那么前兩次危機時什么 （ ）a 第一次危機是無理數(shù)的出現(xiàn)，第二次危機是十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數(shù)學 界出現(xiàn)混亂局面，也就是無窮小到底是不是 0b 第一次危機是無理數(shù)的出現(xiàn)，第二次危機是p能不能用分數(shù)表示c 第一次危機是費馬提出的猜想：當

4、n2( n n )時，方程xn +y n =z n沒有正整數(shù)解，第二次危機是十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數(shù)學界出現(xiàn)混亂局面，也就是無窮小到底是不是 07、你目前有 27 枚金幣，但有一枚較輕的偽幣混在其中，現(xiàn)在想要用天平秤出偽幣。最少用天枰稱幾次就可以確定偽 幣（ ）a 2 次b 3 次c 4 次d 5 次8、某地有兩個村莊王莊和李莊，王莊的人在星期一、三、五說謊，李莊的人在星期二、四、六說謊。在其他日子他們說實話。一天，外地來的游客來到這里，見到兩個人，分別向他們提出關于日期的問題，兩個人都回答說，“前天 是我說謊的日子?！币阎粏柕膬蓚€人分別來自王莊和李莊，以下哪項

5、判斷是對的（ ）a 這一天是星期五或星期日 b 這一天是星期二或星期四c 這一天是星期一或星期三 d 這一天是星期四或星期五9、有一個兩人做的游戲：輪流報數(shù)，報出的數(shù)不能超過 8（也不能是 0），把兩個人報出的數(shù)連加起來，誰報數(shù)后使和為 88，誰就獲勝。如果讓你先報數(shù)，你第一次應該報幾才能一 定獲勝（ ）a5 b 一、答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9二、填空題（每題 5 分，85=40）10、猜數(shù)學名詞：（1）考試不作弊： （2）劍穿楚霸王：（3）一分錢一分貨： （4）坐船須知：（5）兩只羚羊打架：從下面?zhèn)溥x數(shù)學名詞中，選擇合適的一個詞填入上面的橫線中：恒等運算絕對值配方真分數(shù)公差分母

6、乘法對頂角通項11、有只兔子掉進 30 公尺深的干井里。它并不習慣待在這種地方，因此決定奮力往上爬。但兔子爬墻的能力不太好，它發(fā)現(xiàn)自己努力往上爬了一天，上升了 3 公尺卻又滑下 2 公尺。休息了一夜之后，它又繼續(xù)努力，結(jié)果一樣。它要幾 天才能爬出干井？答：12、在橫線中填入適當?shù)臄?shù)。定義一種對應關系：“ ”，1 52 503 5004 5000513、4 張牌算 24 點！只能用加減乘除，每張牌只能用一次。請計算如何由下面這些數(shù)計算得到 24（在橫線上寫出計 算過程）：5， 5， 5， 1計算過程：14、下面加法豎式中的每一個漢字都代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)

7、字。當 他們各代表什么數(shù)字時，算式成立？將答案寫在右邊的橫線上。北京奧運京奧運奧運+運2 0 0 8答：5、小明是位熱心人，常常在空閑的時間，幫人修理鐘表。有一次，因為有急事，把時針當成分針，紛爭當成時針裝 在鐘上。這樣一來，這只鐘就不準了。不過，這只鐘并不是絕對不準，也有準的時候。（1） 那么在什么情況下，裝錯了的針的鐘是準的？答：（1） 如 果 正 當 12 點 時 ， 這 只 鐘 對 準 了 標 準 時 間 ， 24 小 時 內(nèi) ， 它 將 有 幾 次 和 標 準 時 間 是 一 致 的 ？ 答：16、將 19 九個連續(xù)的自然數(shù)分別填入三角形邊上的圓圈里，使每條邊上的四個數(shù)字的和等于 1

8、7。17、下面一行是什么？ 11 12 11 1 1 23 1 1 22 1 1 2 1 33 1 2 2 1 3？答：三、簡答題（共 26 分）18、（6 分）有一個農(nóng)夫，帶了一包米，一只雞和一只狗準備要過河。當農(nóng)夫不在時，雞會吃米，狗會吃雞，河邊有一艘船，農(nóng)夫在船上一次只能帶一樣東西，請問農(nóng)夫該怎么過河？（請以第一步做什么，第二步做什么這樣的格 式回答問題）19 、（10 分）歐拉是一個偉大的數(shù)學家，數(shù)學上有許多許多的歐拉公式和歐拉定理！其中有一個公式很有趣：eix=cos x +i sin x，其中e是自然對數(shù)，i是虛數(shù)單位（i = -1或i2=-1），x可以是任何實數(shù)。如果令x =p時

9、，可以得到eip=-1，這多么的神奇啊，數(shù)學中最重要、最基本的四個量-1，虛數(shù)單位i ，圓周率p 和自然對數(shù) e 竟然有這么一個簡潔的式子聯(lián)系在了一起！eix=cos x +i sin x，這個式子還有一個很巧妙的作用證明三角函數(shù)中的一些公式，那么，請你用上面的式子證明二倍角公式：sin 2 x =2sin x cos xcos 2 x =cos2 x -sin 2x（提示，復指數(shù)eix滿足指數(shù)的運算性質(zhì)；若a +bi =c +di，則a =c , b =d）20、（10 分）在北京召開的第 24 屆國際數(shù)學家大會的會標是根據(jù)下圖制作的。該圖是我國古代數(shù)學家趙爽（東漢末至，三國時代）為了證明勾

10、股定理而發(fā)明的。他的證明主要是依據(jù)幾何圖形面積的換算關系。已知在正方形中abcd中，dabe、dbfc、dcgd、ddha是全等的直角三角形，并且 ab=c，ae=a，be=b，求證：a2 +b 2 =c 2作完題休息一下：數(shù)學是什么？數(shù)學是一種語言，它精確地描述著自然界和人類自身，成為理解世界的重要鑰匙；數(shù)學是一種工具，它普遍地適用于所有科學領域，創(chuàng)造出符合人類理想的新世界；數(shù)學是一種精神，它是理性的促使人類的思維日臻完美，充滿自信地追求真理；數(shù)學是一種文化，它決定性地影響到人類的物質(zhì)和精神文明的所有方面，是一種震撼心靈的智慧結(jié) 晶！1 答案：b，平行線沒有相交（香蕉）1 答案：抽屜原理可知

11、，只需要取 3 次2 答案：c3 答案：a4 答案：c5 答案：a6 答案：b7 答案 d9 分析：因為沒人每次至少報 1，最多報 8，所以某人報數(shù)之后，另一人必能找到一個數(shù)，使此數(shù)與某人報的數(shù)之和為 9。依照規(guī)則，誰報數(shù)使和為 88，誰就獲勝，于是可以推知，誰報數(shù)后和為 79（88-9），誰就獲勝最可可以知道，誰先報 7，誰就獲勝，于是報數(shù)的策略為：先報7，以后若對手報 k，你就報（9-k），這樣，當你報第 10 個數(shù)的 時候，就會取得勝利。10 答案：真分數(shù)，通項，絕對值，乘法，對頂角11 答案：爬不出來，因為缺水死了。 或則 28 天12 答案：113 答案：5（5-1/5）=2414 答案：146715 答案：（1）當分針和時針重合的時候，鐘是準的。（2）22 次16 答案：設三角形三個頂點圓圈里的數(shù)位 x , y , z，那么每邊四個數(shù)，共十二個數(shù)之和為 37=51，此時 x, y, z 都加過兩次，所以 x+y+z+(1+2+9)=51，即 x+y+z=6，由此可知 x , y , z 分別取 1，2，3。將 1，2，3 填入后，其他六個 數(shù)就容易填了。將這六個數(shù)的位置適當變化一下，還可以得到其他不同的填法。答案不唯一17 答案：21222318 答案：農(nóng)夫帶雞過河，空手回；農(nóng)夫帶狗過河，帶雞回；農(nóng)夫帶米過河，空手回；農(nóng)夫帶雞過河。 19 答案提示：因為e