六年級(jí)奧數(shù)專題講練 第40講 不定方程.doc

1、第 40 講 不定方程一、知識(shí)要點(diǎn)當(dāng)方程的個(gè)數(shù)比方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少時(shí)，我們就稱這樣的方程為不定方程。如 5x3y 9 就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無(wú)數(shù)個(gè)；如果 附加一些限制條件，那么它的解的個(gè)數(shù)就是有限的了。如 5x3y9 的解有：x 2.4 x2.7 x3.06 x3.6y 1 y1.5 y2.1 y3如果限定 x、y 的解是小于 5 的整數(shù)，那么解就只有 x3，y2 這一組了。因此，研究 不定方程主要就是分析討論這些限制條件對(duì)解的影響。解不定方程時(shí)一般要將原方程適當(dāng)變形，把其中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示， 然后再一定范圍內(nèi)試驗(yàn)求解。解題時(shí)要注意觀

2、察未知數(shù)的特點(diǎn)，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍， 減少試驗(yàn)的次數(shù)。對(duì)于有 3 個(gè)未知數(shù)的不定方程組，可用削去法把它轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程再求解。 解答應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題中的限制條件（有時(shí)是明顯的，有時(shí)是隱蔽的）取適當(dāng)?shù)闹怠?二、精講精練【例題 1】求 3x+4y23 的自然數(shù)解。先將原方程變形，y233x4。可列表試驗(yàn)求解：xy152345267所以方程 3x+4y23 的自然數(shù)解為x =1 x=5y =5 y=2練習(xí) 11、求 3x+2y25 的自然數(shù)解。12、求 4x+5y37 的自然數(shù)解。3、求 5x3y16 的最小自然數(shù)解?！纠} 2】求下列方程組的正整數(shù)解。5x+7y+3z253xy6z2

3、這是一個(gè)三元一次不定方程組。解答的實(shí)話，要先設(shè)法消去其中的一個(gè)未知數(shù)，將方程 組簡(jiǎn)化成例 1 那樣的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+，得 13x+13y52x+y4 把式變形，得 y4x。因?yàn)?x、y、z 都是正整數(shù)，所以 x 只能取 1、2、3.當(dāng) x1 時(shí)，y3當(dāng) x2 時(shí)，y2當(dāng) x3 時(shí)，y1把上面的結(jié)果再分別代入或，得 x1，y3 時(shí)，z 無(wú)正整數(shù)解。x2，y2 時(shí)，z 也無(wú)正整數(shù)解。x3 時(shí)，y1 時(shí)，z1.所以，原方程組的正整數(shù)解為 x1y 1z 12練習(xí) 2求下面方程組的自然數(shù)解。1、4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z68 3x+2y+4z21 5x

4、+7y+9z523、5x+7y+4z263xy6z2【例題 3】一個(gè)商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里，每個(gè)大盒子裝 12 個(gè)，每個(gè)小盒子裝 5 個(gè)， 恰好裝完。如果彈子數(shù)為 99，盒子數(shù)大于 9，問(wèn)兩種盒子各有多少個(gè)？?jī)煞N盒子的個(gè)數(shù)都應(yīng)該是自然數(shù)，所以要根據(jù)題意列出不定方程，再求出它的自然數(shù)解。 設(shè)大盒子有 x 個(gè)，小盒子有 y 個(gè)，則12x+5y99（x0，y0，x+y9）y（9912y）5經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件的解有： x2 x7y15 y3所以，大盒子有 2 個(gè)，小盒子有 15 個(gè)，或大盒子有 7 個(gè)，小盒子有 3 個(gè)。3練習(xí) 3.1、某校 6（1）班學(xué)生 48 人到公園劃船。如果每只小船可坐 3 人

5、，每只大船可坐 5 人。 那么需要小船和大船各幾只？（大、小船都有）2、甲級(jí)鉛筆 7 角錢(qián)一枝，乙級(jí)鉛筆 3 角錢(qián)一枝，小華用六元錢(qián)恰好可以買(mǎi)兩種不同的 鉛筆共幾枝？3、小華和小強(qiáng)各用 6 角 4 分買(mǎi)了若干枝鉛筆，他們買(mǎi)來(lái)的鉛筆中都是 5 分一枝和 7 分 一枝的兩種，而且小華買(mǎi)來(lái)的鉛筆比小強(qiáng)多，小華比小強(qiáng)多買(mǎi)來(lái)多少枝？【例題 4】買(mǎi)三種水果 30 千克，共用去 80 元。其中蘋(píng)果每千克 4 元，橘子每千克 3 元， 梨每千克 2 元。問(wèn)三種水果各買(mǎi)了多少千克？設(shè)蘋(píng)果買(mǎi)了 x 千克，橘子買(mǎi)了 y 千克，梨買(mǎi)了（30xy）千克。根據(jù)題意得： 4x+3y+2（30xy）82x10y2由式子可知：

6、y20，則 y 必須是 2 的倍數(shù)，所以 y 可取 2、4、6、8、10、12、14、16、18。 因此，原方程的解如下表：蘋(píng)果橘子梨921984187617681651015412143141321612118114練習(xí) 41、有紅、黃、藍(lán)三種顏色的皮球共 26 只，其中藍(lán)皮球的只數(shù)是黃皮球的 9 倍，藍(lán)皮球 有多少只？2、用 10 元錢(qián)買(mǎi) 25 枝筆。已知毛筆每枝 2 角，彩色筆每枝 4 角，鋼筆每枝 9 角。問(wèn)每 種筆各買(mǎi)幾枝？（每種都要買(mǎi)）3、曉敏在文具店買(mǎi)了三種貼紙；普通貼紙每張 8 分，熒光紙每張 1 角，高級(jí)紙每張 2 角。她一共用了一元兩角兩分錢(qián)。那么，曉敏的三種貼紙的總數(shù)最少

7、是多少?gòu)?？【例題 5】某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備例 2 枝鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生。原 計(jì)劃一等獎(jiǎng)每人發(fā) 6 枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā) 3 枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā) 2 枝。后又改為一等獎(jiǎng)每人發(fā) 9 枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā) 4 枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā) 1 枝。問(wèn)：一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各有幾人？設(shè)一等獎(jiǎng)有 x 人，二等獎(jiǎng)有 y 人，三等獎(jiǎng)有 z 人。則6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由2，得 12x+5y22y 2212x5x1x 只能取 1。y2，代入得 z5，原方程的解為 y2z5所以，一等獎(jiǎng)的學(xué)生有 1 人，二等獎(jiǎng)的學(xué)生有 2 人，三等獎(jiǎng)的學(xué)生有 5 人。5練習(xí) 51、某人打靶，8 發(fā)打了 53 環(huán)，全部命中在 10 環(huán)、7 環(huán)和 5 環(huán)。他命中 10 環(huán)、7 環(huán)和 5 環(huán)各幾發(fā)？2、籃子里有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋 30 個(gè)，價(jià)值 24 元。已知煮蛋每個(gè) 0.60 元，茶葉蛋每 個(gè) 1 元，皮蛋每個(gè) 1.20 元。問(wèn)籃子里最多有幾個(gè)皮蛋？3、一頭