高中數(shù)學：第一章 解三角形 3 正弦定理和余弦定理(強化練)

1、ruize正弦定理和余弦定理(強化練) 一、選擇題1已知abc 中，a4，b4 3，a30，則 b 等于( )a30c60b30或 150 d60或 120a b bsin a解析：選 d.由 ，得 sin b ，sin a sin b a將 a4，b4 3，a30，4 3 3代入得 sin b sin 30 ，4 2又 ab，0b180.所以 b60或 120.2在abc 中，已知角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，且 a3，c8，b60， 則abc 的周長是( )a17c16解析：選 d.由余弦定理 b2a2 c18.故選 d.b19d18c22accos b，有 b296424，

2、即 b7，則 ab3在銳角三角形 abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，若 b2asin b，則角 a 等于( )a30c60b45d75解析：選 a.因為 b2asin b，所以利用正弦定理的變式得sin b2sin asin b因為 sin b0，a 為銳角，1所以 sin a ，所以a30.24在abc 中，已知 a17，b24，a45，則此三角形解的情況為( )a無解c一解b兩解d解的個數(shù)不確定bsin a 12 2解析：選 b.由正弦定理得 sin b 1，即 sin b1，因為 a45，所以 ba 17有兩解，即三角形有兩解15abc 的兩邊長分別為 2，3，其夾

3、角的余弦值為 ，則其外接圓的半徑 r 為( )39 2a.29 2b.4ruize9 22 2c.d.891 2 2解析：選 c.不妨設 c2，b3，則 cos a ，sin a .因為 a2b23 3c22bccos a，1 a a所以 a23222232 9，所以 a3.因為 2r，所以 r 3 sin a 2sin a3 9 2 .2 2 82 32 sin b6在abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，a ，a 3c，則 ( )3 sin ca1c3b2d4b2c2a2 b2c23c2 1解析：選 a.由余弦定理，得 cos a ，故 bc 或 b2c(舍2bc 2bc

4、 2b sin b b去)，所以 1，由正弦定理，得 1，故選 a.c sin c ca bc7在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，且 cos2 ，則abc 是( )2 2ca 直角三角形b 銳角三角形c 等邊三角形d 等腰直角三角形a bc 1cos a b 1 b解析：選 a. abc 中，因為 cos2 ，所以 ，所以 cos a .由2 2c 2 2c 2 cb2c2a2 b余弦定理，知 ，所以 b2c22bc c形a22b2，即 a2b2c2，所 abc 是直角三角8(2018 安徽師大附中期中)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別是 a，b，c，若 a2b

5、2 3bc，sin c2 3sin b，則 a( )a30c120b60d150解析：選 a.因為 sin c2 3sin b，所以 c2 3b.因為 a2b2 3bc，所以 a2b2c2 3bcc2，所以 b2c2b2c2a2 c2 3bc c2 3 ca2c2 3bc，所以 cos a 2bc 2bc 2bc 2 2b3 2 3 3 3 ，所以 a30.2 2 2 29在圓內(nèi)接四邊形 abcd 中，ab3，bc4，cd5，ad6，則 cos a( )1a.61b.122ruize1c.191d.21解析：選 c. abd 中，bd2ab2ad22ab adcos a， cbd 中，bd2b

6、c2 cd22bc cdcos c.因為 cos ccos a，所以 ab2ad22ab adcos abc2cd22bc cdcos a代入1數(shù)值可得 cos a .1910(2017 高考全國卷 abc 的內(nèi)角 a、b、c 的對邊分別為 a、b、c.已知 sin bsin a(sin ccos c)0，a2，c 2，則 c( )a.12c.4b.6d.3解析：選 b.因為 sin bsin a(sin ccos c)0，所以 sin(ac)sin asin csin acos c0，所以 sin acos ccos asin csin asin csin acos c0，整理得 sin c

7、(sin acos a)30，因為 sin c0，所以 sin acos a0，所以 tan a1，因為 a(0，)，所以 a ，4csin a由正弦定理得 sin c a22 1 ，又 0c ，所以 c .故選 b. 2 2 4 6二、填空題abc11abc 中，a60，a3，則 _sin asin bsin c解析：由題知， abc 外接圓半徑為 r，a b c 3則 2r 2 3，sin a sin b sin c 32則abc 2r（sin asin bsin c） 2r2 3.sin asin bsin c sin asin bsin c答案：2 312在abc 中，角 a、b、c

8、的對邊分別為 a，b，c，若(a2c2b2)tan b 3ac.則角b 的值為_a2c2b2解析：因為 cos b ，2ac所以 a2c2b22accos b，所以由題意可得 2accos btan b 3ac，所以 sin b3 2 ，所以 b 或 .2 3 3ruize 2答案： 或 3 313abc 的三個內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，asin asin bbcos2a 2a， b則 _a解析：由正弦定理 sin2asin bsin bcos2a 2sin a，即 sin b(sin2acos2a) 2sina.b sin b所以 sin b 2sin a，所以 2.a

9、sin a答案： 214e，f 是等腰直角三角形 abc 斜邊 ab 上的三等分點，則 tanecf_ 解 析 ： 不 妨 設 ab 6 ， ac bc 3 2 ， 由 余 弦 定 理 得 ce cf ae2ac24 32ae accos 45 10，再由余弦定理得 cosecf ，所以 sinecf ，5 53所以 tanecf .43答案：4三、解答題cos a cos b cos c15在abc 中，a2b2mc20(m 為常數(shù))，且 ，求 m 的值sin a sin b sin c解：由余弦定理 c2a2b22abcos c，得 a2b2c22abcos c，由 a2b2mc20，得

10、c22abcos cmc2，即 2abcos c(m1)c2.結(jié)合正弦定理，得 2sin asin bcos c(m1)sin2c，cos a cos b cos c又由 ， sin a sin b sin c得cos asin bcos bsin asin asin bsin（ab） cos c ，sin asin b sin c即 sin asin bcos csin2c，得 m12，故 m3.4 316已知在abc 中，bc15，abac78，sin b ，求 bc 邊上的高 ad 的7長解： abc 中，設 ab7x，則 ac8x， ruize7x 8x由正弦定理，得 ，sin c s

11、in b7 xsin b 7 4 3 3 則 sin c ，8 x 8 7 2 所以 c60或 c120(舍去)再由余弦定理，得(7x)2(8x)215228x15cos 60，且所以 ab21 或 ab35.4 3在abd 中，adabsin b ab，7所以 ad12 3或 ad20 3.17(2018 康杰中學期中檢測)已知在abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別是 a，b，c， a c .3cos a sin c(1) 求 a 的大??；(2) 若 a6，求 bc 的取值范圍解：(1)由正弦定理，得a a ，3cos a sin a整理得 sin a 3cos a，即 tan a 3.

12、又 0a，所以 a .3b c 6(2)因為 4 3，所以 b4 3sin b，c4 3sin c，則 bc4 3sin bsin b sin c sin34 3sin c4 3sin bsin2 b 12sin b .3 62 5因為 0b ，則 b ，3 6 6 61 所以 sin b 1(當且僅當 b 時，等號成立)，2 6 3得 6bc12，于是 bc 的取值范圍是(6，1218在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，且 a2(bc)2(2 3)bc，sin casin bcos2 ，bc 邊上的中線 am 的長為 7.2(1) 求角 a 和角 b 的大??；(2) 求abc 的周長解：(1)由 a2(bc)2(2 3)bc，得 a2b2c2 3bc，2 2 4 2ruizeb2c2a2 3所以 cos a .2bc 2又 0a，所以 a .6c 1 1cos c由 sin asin bcos2 ，得 sin b ，2 2 2即 sin b1cos c，則 cos