森林滅火模型

1、 3森林滅火模型問題的提出森林失火，消防部門接到報警后派出消防隊員前去滅火.一般來說，派出的隊員越多,滅火越快，森林損失越小，但救援的開支將越大.已知森林燃燒的損失費正比于森林燒毀面積，其比例系數(shù)為 Ci.而燒毀面積與失火、滅火時間有關，滅火時間又取決于消防隊員數(shù)救援費分為兩部分：每個消防隊員單位時間的費用，設為c2 ；每個隊員的一次性支出，.試建立一個數(shù)設為C3 .又假定火勢蔓延程度及平均每個消防隊員的滅火能力與火勢有關學模型，解決派出消防隊員多少時總費用（即損失費、救援費之和）最小問題的分析記失火時刻為t =0,開始滅火時刻為t =t1 ,火被撲滅時刻為t二t2.設在時刻t森林燒毀面積為B

2、t ,則森林最終燒毀面積為Bt2 ,并且B01=0.考慮單位時間燒毀面積 dB Bt 氏-B to，它表示火勢蔓延程度一般來說，dtAtdB在消防隊員到達之前，即 0三t三鮎，火勢越來越大，即 隨t的增加而增加；開始滅火 dtdB后，即ti : t乞t2.如果消防隊員滅火能力足夠強，火勢將越來越小，即應減小，并dtdB且當t二t2時-0 .dt對于火勢可抽象為：火勢以失火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，所以蔓22dB延的半徑r與時間t成正比又因為燒毀面積B與r2成正比，故B與t2成正比，從而乂- dt與t成正比總費用=損失費+救援費每隊員單位時間內(nèi)費用 每隊員一次性支出模型的假設1. 假

3、設森林面積無限大，火勢以失火點為中心，均勻速度向四周呈圓形蔓延，且時刻t的森林燒毀面積為 Bt .2. 設失火時刻為t =0，開始滅火時刻為t =t,，火被撲滅時刻為t = t2，又設在0空t空鮎dR內(nèi)，火勢蔓延程度 與時間t成正比，比例系數(shù) ：稱為火勢蔓延速度dt3. 設派出消防隊員X名，開始滅火后t _鮎火勢蔓延速度降為- x.這里可視為 每個隊員的平均滅火速度模型的建立由于每個消防隊員單位時間的費用為c2，而每個隊員的一次性支出為c3，于是救援費=C2Xt2-h C3X由條件知：損失費=c1Rt2又由假設2、3知:旦t, dtB(t )y = 01空=:-x t c,t t t24 2d

4、B 1B(t )= = Pt,話廠，2G 二-X t2求解上述兩微分方程，得B t = 1 -t20 罕 ti2Bt- xLxt2t ct| 三tt22t 2c - xxt1t2ti22.1-：, - -.xt1t22-t2-Bt2=: - x - - x t；+ x2又由、當t = tl時，有-扎xti - xt-ti - t2是 B t2=12ti2故總費用為二 G : ti2-22(hx-P)c2x t2鮎c3x問題歸結為:已知Cl,C2,C3, ,ti ,求x使C x取最小值.模型的求解將x連續(xù)化dCdxCiti22 x - - 2C3c2: ti x - ： i； - c ：- ti

5、x(0 - 扎xf令些=0,解得dx722 仏x_B)2-2c2 : 2t1c2ti2 2c/2ti1 I 2C3 2結果分析1.關于Bt的幾何求解dBdt t圖形為:t dBB td .是圖中0 dT陰影部分面積0dB dtt2而B t2dt是圖中三角形的面積令dBdtt =t1，容易求得Bt2弓b22. 最后的X要取整（這是由于離散的 X連續(xù)化之故）3. 結果表明：隊員人數(shù) X由兩部分組成：BB小一部分是滅火人數(shù)的最低限度：， X 二 X ：,此時斜率為X - 1的直線才會與t軸有交點t2.另一部分是最低限度之上的人數(shù)，它與問題的各個參數(shù)有關，且可看出其變化規(guī)律4. 實際應用中，Ci,C2,C3是已知常數(shù)，是森林類型有關的量，是隊員素質(zhì)有關的量，火勢b = -115. 實際上，消防隊員的滅火速度與開始滅火時的火勢 b = t1有關，可以合理地假豆丁致力于構建全球領先的文檔發(fā)布與銷售平臺，面向世界范圍提供便捷、安全、專業(yè)、有 效的文檔營銷服務。包括中國、日本、韓國、北美、歐洲等在內(nèi)的豆丁全球分站，將面向全球 各地的文檔擁有者