1.6《三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用》

1、1.61.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng) 用用 1.1.通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)， 初步學(xué)會(huì)由圖象求解析式的方法；初步學(xué)會(huì)由圖象求解析式的方法； 2.2.體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的 過程；過程； 3.3.體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要 函數(shù)模型函數(shù)模型 在我們現(xiàn)實(shí)生活中有很多現(xiàn)象在進(jìn)行周而復(fù)始地變化，用在我們現(xiàn)實(shí)生活中有很多現(xiàn)象在進(jìn)行周而復(fù)始地變化，用 數(shù)學(xué)語言可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所學(xué)的三角數(shù)學(xué)語言可以說這些現(xiàn)象具有周期性，而我們所學(xué)的三

2、角 函數(shù)就是刻畫周期變化的典型函數(shù)模型，比如下列現(xiàn)象就函數(shù)就是刻畫周期變化的典型函數(shù)模型，比如下列現(xiàn)象就 可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們就來探討三角可以用正弦型函數(shù)模型來研究，這節(jié)課我們就來探討三角 函數(shù)模型的簡單應(yīng)用函數(shù)模型的簡單應(yīng)用. . ) 0, 0( )sin( A xAy 正弦型函數(shù) 1、物理情景 簡諧運(yùn)動(dòng) 星體的環(huán)繞運(yùn)動(dòng) 2、地理情景 氣溫變化規(guī)律 月圓與月缺 3、心理、生理現(xiàn)象 情緒的波動(dòng) 智力變化狀況 體力變化狀況 4、日常生活現(xiàn)象 漲潮與退潮 股票變化 例1 如圖，某地一天從614時(shí)的 溫度變化曲線近似滿足函數(shù): sin()yAxb T/ 10 20 30 ot/h6

3、1014 思考1：這一天614時(shí)的最大溫差是 多少？ 思考2：函數(shù)式中A、b的值分別是多少？ 3030-10-10=20=20 A=10,b=20.A=10,b=20. 思考3：如何確定函數(shù)式中 和 的值? 12 146, 2 . 8 6,10.xy 3 將代入上式，解得 4 例1 如圖，某地一天從614時(shí)的 溫度變化曲線近似滿足函數(shù): sin()yAxb T/ 10 20 30 ot/h61014 思考4：這段曲線對應(yīng)的函數(shù)是什么？ 思考5：這一天12時(shí)的溫度大概是多少（）？ 27.07. 27.07. 3 10sin()20,6,14 84 yxx 綜上，所求解析式為 一般的，所求出的函數(shù)

4、模型只能近似刻畫這天某個(gè)時(shí)刻 的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍. 方法小結(jié)： maxmin 1 , 2 Af xf x maxmin 1 2 bf xf x 2 T 利用求得， ,利用最低點(diǎn)或最高點(diǎn)在圖象上 該點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式可求得, 注意通常 函數(shù) 的最小值是2，其圖象相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差 是3，且圖象過點(diǎn)(0,1)，求函數(shù)解析式. sin(),(0,0,| |) 2 yAxA 1 2sin() 36 yx 練習(xí)練習(xí)1 1： A 例2 如圖，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為， 為此時(shí)太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么 這三個(gè)量之間的關(guān)系是 90| |.當(dāng)?shù)?夏半年

5、取正值，冬半年取負(fù)值. 太陽光 太陽光 90| 地心 北半球 南半球 太陽高度角的定義 如圖，設(shè)地球表面某地緯度如圖，設(shè)地球表面某地緯度 值為值為 ，正午太陽高度角為，正午太陽高度角為 ，此時(shí)太陽直射緯度為，此時(shí)太陽直射緯度為 ，那么這三個(gè)量之間的，那么這三個(gè)量之間的 關(guān)系是關(guān)系是 。當(dāng)?shù)亍．?dāng)?shù)?夏半年夏半年取正值，冬半年取正值，冬半年 取負(fù)值。取負(fù)值。 90| o 太陽光 90 90| 90| o 地心 太陽光直射南半球 分析：分析：根據(jù)地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為根據(jù)地理知識，能夠被太陽直射到的地區(qū)為 南，北回歸線之間的地帶南，北回歸線之間的地帶.畫出圖形如下，由畫圖易知畫出圖形如下

6、，由畫圖易知 A B C H 如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40）的一幢高為）的一幢高為H 的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被 前面的樓房遮擋，兩樓的距離前面的樓房遮擋，兩樓的距離應(yīng)應(yīng)不小于多少？不小于多少？ 解：如圖，A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回 歸線時(shí)，樓頂在地面上的投影點(diǎn)，要使新樓一層正午的太 陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線的情 況考慮，此時(shí)的太陽直射緯度為-2326，依題意兩樓的間 距應(yīng)不小于MC. 根據(jù)太陽高度角的定義，有C=90-|40-(-2326)|=

7、2634 所以， 2.000 tantan26 34 HH MCH C 即在蓋樓時(shí)，為使后樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩 倍的間距. 將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型的一般步聚: 理解題意 建立三角函 數(shù)模型 求解還原解答 例3 海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫 潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在 漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋， 下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深的關(guān)系表： 時(shí)刻水深（米）時(shí)刻水深（米）時(shí)刻水深（米） 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.

8、524:005.0 （1）選用一個(gè)函數(shù)來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān) 系，并給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值.（精確到0.001） （2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全 條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），該 船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00 開始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少，那么該船在什 么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù) 來刻畫水深與時(shí)間之間的對應(yīng)關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖象可以得出： sin()yAxh 解：（1）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，在

9、直角坐標(biāo) 系中畫出散點(diǎn)圖. A=2.5,h=5,T=12, =0; 2 12T 由 ，得 . 6 所以，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可以近似描述為： 2.5sin5 6 yx 由上述關(guān)系式易得港口在整點(diǎn)時(shí)水深的近似值： 時(shí) 刻 0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00 水 深 5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 時(shí) 刻 12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00 水 深 5.

10、0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754 （2）貨船需要的安全水深為 4+1.5=5.5 （米），所以 當(dāng)y5.5時(shí)就可以進(jìn)港.令 化簡得 2.5sin55.5 6 x sin0.2 6 x 由計(jì)算器計(jì)算可得0.2014,0.2014 66 xx 或 x x 36 912 151821 24 O y 2 4 6 ABCD 解得0.3848,5.6152 AB xx 因?yàn)?，所以由函數(shù)周期性易得0,24x 120.384812.3848, 125.615217.6152. C D x x 因此，貨船可以在凌晨零時(shí)30分左右進(jìn)港，早晨5時(shí)30 分左右出港；或在中午12時(shí)30分左右進(jìn)港，下午17時(shí)30 分左右出港，每次可以在港口停留5小時(shí)左右. （3）設(shè)在時(shí)刻x船舶的安全水深為y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x2), 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，可以看到在67時(shí)之 間兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn). 通過計(jì)算可得，在6時(shí)的水深約 為5米，此時(shí)船舶的安全水深約為 4.3米；6.5時(shí)的水深約為4.2米，此 時(shí)船舶的安全水深約為4.1米；7時(shí) 的水深約為3.8米，而船舶的安全 水深約為4米，因此為了安全，船 舶最好在6.