第7章MATLAB符號計算

1、第7章MATLAB符號計算 第第7章章 MATLAB 7.1 符號計算基礎符號計算基礎 7.2 符號導數(shù)及其應用符號導數(shù)及其應用 7.3 7.4 級數(shù)級數(shù) 7.5 符號方程求解符號方程求解 第7章MATLAB符號計算 7.1 符號計算基礎符號計算基礎 7.1.1 符號對象符號對象 1. 建立符號變量和符號常數(shù)建立符號變量和符號常數(shù) (1)sym函數(shù)函數(shù) sym函數(shù)用來建立單個符號量，例如，函數(shù)用來建立單個符號量，例如，a=sym(a) 建立符號變量建立符號變量a，此后，用戶可以在表達式中使用，此后，用戶可以在表達式中使用 變量變量a進行各種運算。進行各種運算。 第7章MATLAB符號計算 例例

2、7.1 考察符號變量和數(shù)值變量的差別?？疾旆栕兞亢蛿?shù)值變量的差別。 在在 MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); % 定義定義4個符號變量個符號變量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定義定義4個數(shù)值變量個數(shù)值變量 A=a,b;c,d %建立符號矩陣建立符號矩陣A B=w,x;y,z %建立數(shù)值矩陣建立數(shù)值矩陣B det(A) %計算符號矩陣計算符號矩陣A的行列式的行列式 det(B) %計算數(shù)值矩陣計算數(shù)值矩陣B的行列式的行列式 第7章MATLAB符號計算 例例7.2 比較符號常數(shù)與數(shù)值在代數(shù)運

3、算時的差別。比較符號常數(shù)與數(shù)值在代數(shù)運算時的差別。 在在 MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令： pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定定 義符號變量義符號變量 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定義數(shù)值變量定義數(shù)值變量 sin(pi1/3) % 計算符號表達式值計算符號表達式值 sin(pi2/3) % 計算數(shù)值表達式值計算數(shù)值表達式值 sqrt(k1) % 計算符號表達式值計算符號表達式值 sqrt(r1) % 計算數(shù)值表達式值計算數(shù)值表達式值 sqrt(k3+sqrt(k2) % 計算符號表達式值計算符號

4、表達式值 sqrt(r3+sqrt(r2) % 計算數(shù)值表達式值計算數(shù)值表達式值 第7章MATLAB符號計算 (2)syms函數(shù)函數(shù) syms函數(shù)的一般調用格式為：函數(shù)的一般調用格式為： syms var1 var2 varn 函數(shù)定義符號變量函數(shù)定義符號變量var1,var2,varn等。用這種等。用這種 格式定義符號變量時不要在變量名上加字符分界格式定義符號變量時不要在變量名上加字符分界 符符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。，變量間用空格而不要用逗號分隔。 第7章MATLAB符號計算 2. 建立符號表達式建立符號表達式 建立符號表達式有以下建立符號表達式有以下3種方法：種方法： (1)

5、利用單引號來生成符號表達式。利用單引號來生成符號表達式。 (2)用用sym函數(shù)建立符號表達式。函數(shù)建立符號表達式。 (3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。 第7章MATLAB符號計算 7.1.2 基本的符號運算基本的符號運算 1. 符號表達式的四則運算符號表達式的四則運算 符號表達式的四則運算和其他表達式的運算并無不符號表達式的四則運算和其他表達式的運算并無不 同，但要注意，其運算結果依然是一個符號表達同，但要注意，其運算結果依然是一個符號表達 式。符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由式。符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由 函數(shù)函數(shù)symad

6、d、symsub、symmul和和symdiv來實現(xiàn)，來實現(xiàn)， 冪運算可以由冪運算可以由sympow來實現(xiàn)。來實現(xiàn)。 第7章MATLAB符號計算 2符號表達式的提取分子和分母運算符號表達式的提取分子和分母運算 如果符號表達式是一個有理分式或可以展開如果符號表達式是一個有理分式或可以展開 為有理分式，可利用為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符函數(shù)來提取符 號表達式中的分子或分母。其一般調用格號表達式中的分子或分母。其一般調用格 式為：式為： n,d=numden(s) 該函數(shù)提取符號表達式該函數(shù)提取符號表達式s的分子和分母，分別的分子和分母，分別 將它們存放在將它們存放在n與與d中。中。

7、第7章MATLAB符號計算 3.因式分解與展開因式分解與展開 factor(S) 對對S分解因式，分解因式，S是符號表達式或是符號表達式或 符號矩陣。符號矩陣。 expand(S) 對對S進行展開，進行展開，S是符號表達式或是符號表達式或 符號矩陣。符號矩陣。 collect(S) 對對S合并同類項，合并同類項，S是符號表達式是符號表達式 或符號矩陣。或符號矩陣。 collect(S,v) 對對S按變量按變量v合并同類項，合并同類項，S是符是符 號表達式或符號矩陣。號表達式或符號矩陣。 第7章MATLAB符號計算 4.表達式化簡表達式化簡 MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有：提供的對符

8、號表達式化簡的函數(shù)有： simplify(S) 應用函數(shù)規(guī)則對應用函數(shù)規(guī)則對S進行化簡。進行化簡。 simple(S) 調用調用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進的其他函數(shù)對表達式進 行綜合化簡，并顯示化簡過程。行綜合化簡，并顯示化簡過程。 第7章MATLAB符號計算 5符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉換符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉換 利用函數(shù)利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達式變換成它的可以將數(shù)值表達式變換成它的 符號表達式。符號表達式。 函數(shù)函數(shù)numeric或或eval可以將符號表達式變換成可以將符號表達式變換成 數(shù)值表達式。數(shù)值表達式。 第7章MATLAB符號計算 7.1.3 符號表達式中變量

9、的確定符號表達式中變量的確定 MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常中的符號可以表示符號變量和符號常 數(shù)。數(shù)。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達可以幫助用戶查找一個符號表達 式中的的符號變量。該函數(shù)的調用格式為：式中的的符號變量。該函數(shù)的調用格式為： findsym(S,n) 函數(shù)返回符號表達式函數(shù)返回符號表達式S中的中的n個符號變量，若沒有個符號變量，若沒有 指定指定n，則返回，則返回S中的全部符號變量。中的全部符號變量。 在求函數(shù)的極限、導數(shù)和積分時，如果用戶沒有在求函數(shù)的極限、導數(shù)和積分時，如果用戶沒有 明確指定自變量，明確指定自變量，MATLAB將按缺省原則確將按缺省原則

10、確 定主變量并對其進行相應微積分運算?？捎枚ㄖ髯兞坎ζ溥M行相應微積分運算?？捎?findsym(S,1)查找系統(tǒng)的缺省變量，事實上，查找系統(tǒng)的缺省變量，事實上， MATLAB按離字符按離字符x最近原則確定缺省變量。最近原則確定缺省變量。 第7章MATLAB符號計算 7. 1. 4 符號矩陣符號矩陣 transpose(S) 返回返回S矩陣的轉置矩陣。矩陣的轉置矩陣。 determ(S) 返回返回S矩陣的行列式值。矩陣的行列式值。 colspace(S) 返回返回S矩陣列空間的基。矩陣列空間的基。 第7章MATLAB符號計算 7.2 符號導數(shù)及其應用符號導數(shù)及其應用 7.2.1 函數(shù)的極限函數(shù)

11、的極限 limit函數(shù)的調用格式為：函數(shù)的調用格式為： limit(f,x,a) limit函數(shù)的另一種功能是求單邊極限，其調用格式函數(shù)的另一種功能是求單邊極限，其調用格式 為：為： limit(f,x,a,right) 或或 limit(f,x,a,left) 第7章MATLAB符號計算 例例7.10求極限。求極限。 在在MATLAB命令窗口，輸入命令：命令窗口，輸入命令： syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) %求極限求極限(1) f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x; limit(f) %求極限求極限(2) limit(

12、f,inf) %求求f函數(shù)在函數(shù)在x(包括包括+ 和和-)處的極限處的極限 limit(f,x,inf,left) %求極限求極限(3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,right) %求極限求極限(4) 第7章MATLAB符號計算 7.2.2 符號函數(shù)求導及其應用符號函數(shù)求導及其應用 MATLAB中的求導的函數(shù)為：中的求導的函數(shù)為： diff(f,x,n) diff函數(shù)求函數(shù)函數(shù)求函數(shù)f對變量對變量x的的n階導數(shù)。參數(shù)階導數(shù)。參數(shù)x的用法同的用法同 求極限函數(shù)求極限函數(shù)limit，可以缺省，缺省值與，可以缺省，缺

13、省值與limit相同，相同， n的缺省值是的缺省值是1。 第7章MATLAB符號計算 例例7.3 求函數(shù)的導數(shù)。求函數(shù)的導數(shù)。 命令如下：命令如下： syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x); diff(f) %求求(1)。未指定求導變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理。未指定求導變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求求(2)。求。求f對對x的二階導數(shù)的二階導數(shù) diff(f,x,3) %求求(2)。求。求f對對x的三階導數(shù)的三階導數(shù) f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求求(3)。按

14、參數(shù)方程求導公式求。按參數(shù)方程求導公式求y對對x的導數(shù)的導數(shù) (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求求(3)。求。求y對對x的二的二 階導數(shù)階導數(shù) f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求求(4)。z對對x的偏導數(shù)的偏導數(shù) diff(f,y) %求求(4)。z對對y的偏導數(shù)的偏導數(shù) f=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求求(5)。按隱函數(shù)求導公式求。按隱函數(shù)求導公式求z對對x的偏導數(shù)的偏導數(shù) zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求求(5)。按隱函數(shù)求導公

15、式求。按隱函數(shù)求導公式求z對對y的偏導數(shù)的偏導數(shù) 第7章MATLAB符號計算 例例7.4 在曲線在曲線y=x3+3x-2上哪一點的切線與直上哪一點的切線與直 線線y=4x-1平行。平行。 命令如下：命令如下： x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定義曲線函數(shù)定義曲線函數(shù) f=diff(y); %對曲線求導數(shù)對曲線求導數(shù) g=f-4; solve(g) %求方程求方程f-4=0的根，即求曲線何處的導數(shù)為的根，即求曲線何處的導數(shù)為4 第7章MATLAB符號計算 7.3 符號積分符號積分 7.3.1 不定積分不定積分 在在MATLAB中，求不定積分的函數(shù)是中，求不定積分的函數(shù)是int，其調

16、用格，其調用格 式為：式為： int(f,x) int函數(shù)求函數(shù)函數(shù)求函數(shù)f對變量對變量x的不定積分。參數(shù)的不定積分。參數(shù)x可以缺省，可以缺省， 缺省原則與缺省原則與diff函數(shù)相同。函數(shù)相同。 第7章MATLAB符號計算 例例7.5 求不定積分。求不定積分。 命令如下：命令如下： x=sym(x); f=(3-x2)3; int(f) %求不定積分求不定積分(1) f=sqrt(x3+x4); int(f) %求不定積分求不定積分(2) g=simple(ans) %調用調用simple函數(shù)對結果化簡函數(shù)對結果化簡 第7章MATLAB符號計算 7.3.2 符號函數(shù)的定積分符號函數(shù)的定積分 定

17、積分在實際工作中有廣泛的應用。在定積分在實際工作中有廣泛的應用。在 MATLAB中，定積分的計算使用函數(shù)：中，定積分的計算使用函數(shù)： int(f,x,a,b) 例例7.6 求定積分。求定積分。 命令如下：命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定積分求定積分(1) f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %求定積分求定積分(2) int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定積分求定積分(3) f=x3/(x-1)100; I=int(f,2,3) %用符號積分的方法求定積分用符號積分的方法求定積分(4) double(I)

18、%將上述符號結果轉換為數(shù)值將上述符號結果轉換為數(shù)值 第7章MATLAB符號計算 例例7.7 求橢球的體積。求橢球的體積。 命令如下：命令如下： syms a b c z; f=pi*a*b*(c2-z2)/c2; V=int(f,z,-c,c) V = 4/3*pi*a*b*c 第7章MATLAB符號計算 例例7.8 求空間曲線求空間曲線c從點從點(0，0，0)到點到點(3，3，2)的長的長 度。求曲線度。求曲線c的長度是曲線一型的長度是曲線一型 命令如下：命令如下： syms t; x=3*t;y=3*t2;z=2*t3; f=diff(x,y,z,t) %求求x,y,z對參數(shù)對參數(shù)t的導數(shù)

19、的導數(shù) g=sqrt(f*f) %計算一型積分公式中的計算一型積分公式中的 根式部分根式部分 l=int(g,t,0,1) %計算曲線計算曲線c的長度的長度 第7章MATLAB符號計算 7.3.3 積分變換積分變換 1. 傅立葉傅立葉(Fourier)變換變換 在在MATLAB中，進行傅立葉變換的函數(shù)是：中，進行傅立葉變換的函數(shù)是： fourier(fx,x,t) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)的傅立葉像函數(shù)F(t)。 ifourier(Fw,t,x) 求傅立葉像函數(shù)求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù)f(x)。 第7章MATLAB符號計算 例例7.9 求函數(shù)的傅立葉變換及其逆變換。求函

20、數(shù)的傅立葉變換及其逆變換。 命令如下：命令如下： syms x t; y=abs(x); Ft=fourier(y,x,t) %求求y的傅立葉變換的傅立葉變換 fx=ifourier(Ft,t,x) %求求Ft的傅立葉逆變換的傅立葉逆變換 第7章MATLAB符號計算 2. 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)變換變換 在在MATLAB中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是：中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是： laplace(fx,x,t) 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)的拉普拉斯像函數(shù)F(t)。 ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函數(shù)求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原函數(shù)的原函數(shù) f(x)。 第7

21、章MATLAB符號計算 例例7.10 計算計算y=x2的拉普拉斯變換及其逆變換的拉普拉斯變換及其逆變換. 命令如下：命令如下： x=sym(x);y=x2; Ft=laplace(y,x,t) %對函數(shù)對函數(shù)y進行拉普拉斯變換進行拉普拉斯變換 fx=ilaplace(Ft,t,x) %對函數(shù)對函數(shù)Ft進行拉普拉斯逆變換進行拉普拉斯逆變換 第7章MATLAB符號計算 3. Z變換變換 對數(shù)列對數(shù)列f(n)進行進行z變換的變換的MATLAB函數(shù)是：函數(shù)是： ztrans(fn,n,z) 求求fn的的Z變換像函數(shù)變換像函數(shù)F(z) iztrans(Fz,z,n) 求求Fz的的z變換原函數(shù)變換原函數(shù)f

22、(n) 例例7.20求數(shù)列求數(shù)列 fn=e-n的的Z變換及其逆變換。變換及其逆變換。 命令如下：命令如下： syms n z fn=exp(-n); Fz=ztrans(fn,n,z) %求求fn的的Z變換變換 f=iztrans(Fz,z,n) %求求Fz的逆的逆Z變換變換 第7章MATLAB符號計算 7.4 級數(shù)級數(shù) 7.4.1 級數(shù)的符號求和級數(shù)的符號求和 級數(shù)符號求和函數(shù)級數(shù)符號求和函數(shù)symsum，調用格式為：，調用格式為： symsum(a,n,n0,nn) 例例7.12 求級數(shù)之和。求級數(shù)之和。 命令如下：命令如下： n=sym(n); s1=symsum(1/n2,n,1,in

23、f) %求求s1 s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求求s2。未指定求和變量，缺省。未指定求和變量，缺省 為為n s3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求求s3。此處的求和變量。此處的求和變量n不能省略。不能省略。 s4=symsum(n2,1,100) %求求s4。計算有限級數(shù)的和。計算有限級數(shù)的和 第7章MATLAB符號計算 7.4.2 函數(shù)的泰勒級數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù) MATLAB中提供了將函數(shù)展開為冪級數(shù)的函數(shù)中提供了將函數(shù)展開為冪級數(shù)的函數(shù) taylor，其調用格式為：，其調用格式為： taylor(f,v,n,a) 例例7.23求函數(shù)在指定點的泰勒展

24、開式。求函數(shù)在指定點的泰勒展開式。 命令如下：命令如下： x=sym(x); f1=(1+x+x2)/(1-x+x2); f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); taylor(f1,x,5) %求求(1)。展開到。展開到x的的4次冪時應選擇次冪時應選擇n=5 taylor(f2,6) %求求(2)。 第7章MATLAB符號計算 7.5符號方程求解符號方程求解 7.5.1 符號代數(shù)方程求解符號代數(shù)方程求解 代數(shù)方程是指未涉及微積分運算的方程，相對比較簡單。在代數(shù)方程是指未涉及微積分運算的方程，相對比較簡單。在 MATLAB中，求解用符號表達式表示的代數(shù)方程可由函中，求解用符號表達式表示的代數(shù)方程可由函 數(shù)數(shù)solve實現(xiàn)，其調用格式為：實現(xiàn)，其調用格式為： solve(eq)：求解符號表達式表示的代數(shù)方程：求解符號表達式表示的代數(shù)方程eq，求解變量為，求