圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線知識點總結

1、雙曲線知識點雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個定點 F1 與 F2 的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2| ）的點的軌跡 （ PF1 PF2 2a F1F2 （a 為常數）這兩個定點叫雙曲線的焦點要注意兩點：（1）距離之差的絕對值 .（2）2a| F1F2| 時，動點軌跡不存在 .2. 第二定義： 動點到一定點 F的距離與它到一條定直線 l 的距離之比是常數 e（ e1） 時，這個動點 的軌跡是雙曲線 這定點叫做雙曲線的焦點，定直線 l 叫做雙曲線的準線雙曲線的標準方程：22ax2 by2 1(a0，b0)(焦點在 x軸上)；2 y2 ab21(a0，b0)(焦點在 y 軸上) ；1. 如

2、果x 2 2 2 2 24a2b2(m2 b2 a2k2)項的系數是正數，則焦點在 x軸上；如果 y 2項的系數是正數，則焦點在 y2.軸上. a 不一定大于 b.22與雙曲線 x2 y2 1共焦點的雙曲線系方程是 a2 b2a22b2y2 k 13.2 雙曲線方程也可設為： x m2y1(mn 0)n2 例題：已知雙曲線 C 和橢圓 x162y9 1有相同的焦點，且過 P(3, 4)點，求雙曲線 C 的軌跡方程。點與雙曲線的位置關系，直線與雙曲線的位置關系： 1 點與雙曲線：點 P(x0,y0)在雙曲線2x22 y21(a0,b0) 的內部2x0222y202 12ab2ab22222點 P

3、(x0,y0)在雙曲線x2y21(a0,b0) 的外部x02y02 12ab2ab22222點 P(x0,y0) 在雙曲線x2y21(a0,b0) 上 x02- y0 =1- 2 =1ab2ab22 直線與雙曲線：(代數法)設直線 l : y kx m ，雙曲線2 x22 y21(a 0,b 0) 聯(lián)立解得ab2(b2 a2k 2)x2 2a 2 mkxa2m2a2b201) m 0 時， b k b 直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點) ； aak b ， k b ，或 k 不存在時直線與雙曲線沒有交點； aa2) m 0 時，k 存在時，若b2 a2k 2 0k b ，直線與雙曲線

4、漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2若 b2 a2k2 0 ， ( 2a2mk)2 4(b2 a2k2)( a2m2 a2b2)0時， m2 b2 a2k2 0 ，直線與雙曲線相交于兩點；0時， m2 b2 a2k2 0 ，直線與雙曲線相離，沒有交點； 220時m2 b2 a2k2 0 ，k2 m 2b 直線與雙曲線有一個交點； a 若k 不存在， a m a時，直線與雙曲線沒有交點； m a或m a 直線與雙曲線相交于兩點；3. 過定點的直線與雙曲線的位置關系：22設直線 l : y kx m 過定點 P(x0,y0) ，雙曲線 2 2 1(a

5、 0,b 0)ab1). 當點 P( x0, y0 )在雙曲線內部時：b k b ，直線與雙曲線兩支各有一個交點；aak b ，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；ak b 或 kb 或 k 不存在時直線與雙曲線的一支有兩個交點；aa2). 當點 P(x0,y0) 在雙曲線上時：kb 或 k b2x0 ，直線與雙曲線只交于點 P(x0,y0) ；a a y0b k b 直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點) ； aak 2 0 ( y0 0 )或 b k 2 0 ( y0 0 )或 k b 或 k 不存在， a2y0 a a2 y0a直線與雙曲線在一支上有兩個交點；當 y0

6、0 時，kb 或k 不存在，直線與雙曲線只交于點 P(x0,y0) ；ak b 或 k b 時直線與雙曲線的一支有兩個交點；aab k b 直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點) ； aa3). 當點 P(x0,y0) 在雙曲線外部時：當 P 0,0 時，b k b ，直線與雙曲線兩支各有一個交點；aak b 或 k b 或 k 不存在，直線與雙曲線沒有交點；aa當點 m 0 時，kma2b 時，過點 P(x0,y0) 的直線與雙曲線相切k b 時，直線與雙曲線只交于一點；a幾何法：直線與漸近線的位置關系2例：過點P(0,3) 的直線l和雙曲線 C:x2 y 1 ，僅有一個公共點， 求直

7、線 l的方4四、程。雙曲線與漸近線的關系：1.若雙曲線方程為五、1.2.3.24. 若雙曲線與 x2 a2 ab22 x2 y2 ab22 yx22 ab22 y2 x2 ab2ybx a2 x2 y2 ab2漸近線方程：0若雙曲線方程為1漸近線方程：x若漸近線方程為a雙曲線可設為2 x2 y0y2 y b2則雙曲線的方程可設為上)雙曲線與切線方程：2 雙曲線 x2 a1(a0,b0)a0，b0)by 00.1有公共漸近線2x2a2 y b20 ，焦點在 x 軸上，0 ，焦點在 y 軸2y2 1(a 0,b 0) 上一點 P(x0, y0) 處的切線方程是 x02x bay0y 1.b02 1

8、.2.六、3.x0x2ay0 y 1.b21.x2雙曲線 ax2 by2 1(a 0,b 0)與直線 Ax By C 0相切的條件是 A2a2 B2b2 c2 .雙曲線的性質：標準方程(焦點在 x 軸)標準方程(焦點在 y 軸)22過雙曲線 x2 y2 1(a 0,b 0)外一點 P(x0, y0)所引兩條切線的切點弦方程是 ab雙曲線22 xy2 2 1(a 0,b 0) ab定義范圍對稱軸對稱中 心焦點坐標頂點坐 標離心率準線方 程頂點到 準線的 距離2 y2ab21(a0,b 0)第一定義：平面內與兩個定點 F1， F2 的距離的差的絕對值是常數（小于 點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙

9、曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。F1F2 )的MMF1 MF22a 2a F1F2F1PyF2xxPyyF2xF1x第二定義：平面內與一個定點 動點的軌跡是雙曲線。定點 F 叫 e（ e 1）叫做雙曲線的離心率。F 和一條定直線 l 的距離的比是常數 e ，當 e 1 時， 做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數Py yPFPxxF1F2x a， y R y a， x Rx軸 ， y軸；實軸長為 2a ,虛軸長為 2b原點 O(0,0)F1( c,0)F2(c,0)F1(0, c)F2(0, c)焦點在實軸上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2ca,0) ( a,0)(0, a,)

10、 (0 ，a)e c（e 1）， c2 2 b2， e 越大則雙曲線開口的開闊度越大 a2準線垂直于實軸且在兩頂點的內側；兩準線間的距離： 2a 2 c2頂點A1（ A2 ）到準線l1（ l2 ）的距離為 a a2弦長公式：若直線，若 y1, y2分別為 A、B的縱坐標，則k2(x1 x2)2 (y1 y2)2AB2 頂點 A1（ A2 ）到準線 l2 （ l1 ）的距離為 a a c焦點到 準線的 距離22 焦點F1 （ F2 ）到準線 l1（l2）的距離為 c a2 b2 cc2 焦點F1 （ F2 ）到準線 l2 （ l1 ）的距離為 a2 c c漸近線方程b ( 虛) y x ( )

11、a實b ( 虛 ) x y ( ) a實共漸近 線的雙 曲線系 方程222 2 k ( k 0) ab222 2 k ( k 0 ) ab直線和 雙曲線 的位置22雙曲線 x2 y2 1與直線 y kx b 的位置關系：a2 b222x2 y2 1利用 a2 b2 1轉化為一元二次方程用判別式確定。 y kx b二次方程二次項系數為零直線與漸近線平行。 相交弦 AB的弦長 AB 1 k2 （x1 x2）2 4x1x2 通徑： AB y2 y1過雙曲 線上一 點的切 線x02x y02y 1 或利用導數abya02y xb02x 1 或利用導數七、y kx b 與圓錐曲線相交于兩點A、B，且 x

12、1,x2 分別為 A、B 的橫坐標，則AB2b2 通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A、 B兩點，則弦長 |AB| 2b 。a1 k2 y1 y2 。若弦 AB所在直線方程設為 x ky b ，則 AB特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后， 利用第二定義求解，x2 y2例：直線 y x 1與雙曲線 x y 1相交于 A,B 兩點，則 AB =23八、焦半徑公式：22 雙曲線 x2 y2 1(a0，b0)上有一動點 M (x0,y0)a2 b20 0當M ( x0 , y0)在左支上時 |MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a 當 M ( x0 ,

13、y0)在右支上時 |MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a注：焦半徑公式是關于 x0的一次函數，具有單調性，當 M (x0,y0)在左支端點時 |MF1| c a， |MF2| c a ，當M ( x0 , y0)在左支端點時 |MF1| c a，|MF2| c a九、等軸雙曲線：2x2 a 則：2y2 1(a0，b0)當 a b時稱雙曲線為等軸雙曲線； b21. a b ；2.離心率 e 2 ；3. 兩漸近線互相垂直，分別為 y= x；4. 等軸雙曲線的方程 x2 y2， 0；5. 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。 十、共軛雙曲線：1. 定義：以已知雙

14、曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共 軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線2. 方程：3. 性質：共軛雙曲線有共同的漸近線； 共軛雙曲線的四個焦點共圓 它們的離心率的倒數的平方和等于1。22x2 - y 22 - 2ab1 ( a0;b0)的焦點為 F1與 F2，且 p 為曲線上任意一點，F1PF22 。則 PF1F2的面積 S b2cot焦點三角形面積公式： S F1PF2 b2 cot ,(F1PF2 )F1PF22 1 2高二數學橢圓知識點1、橢圓的第一定義 ：平面內一個動點 P 到兩個定點 F1、 F2 的距離之和等于常數 (PF1PF2 2a F1F2 ) , 這個動點

15、 P的軌跡叫橢圓 . 這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距 .注意：若( PF1PF2 F1F2 )，則動點P的軌跡為線段 F1F2；若( PF1PF2F1F2)，則動點 P的軌跡無圖形 .2、橢圓的標準方程221)當焦點在 x軸上時，橢圓的標準方程： x2 y2 1(a b 0)，其中 c2 a2 b2 ；a2 b22)當焦點在 y 軸上時，橢圓的標準方程：2y2a2223、橢圓： x2 y2 1(a b 0) 的簡單幾何性質 ab22(1)對稱性： 對于橢圓標準方程 x2 y2 1(a b 0)：是以 x軸、 y軸 a2 b2為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心

16、對稱圖形，這個對 稱中心稱為橢圓的中心。(2)范圍： 橢圓上所有的點都位于直線 xa和 yb 所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足 x a ， y b。3)頂點：22xya2 b2橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓1(a b 0) 與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1( a,0) ， A2(a,0) ，bx2 1(a b 0)，其中 c2 a2 b2；B1(0, b) ，B2(0,b) 。 線段 A1 A2 ， B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，A1A22a, B1B22b。a和 b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。2c c( 4)離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比

17、叫做橢圓的離心率，用e表示，記作 e 。因為2a a(a c 0) ，所以e的取值范圍是 (0 e 1) 。 e越接近 1，則c就越接近 a，從而 ba2 c2越小，因此橢圓越扁；反之， e越接近于 0， c就越接近 0，從而 b越接近于 a ，這時橢圓就越接近于圓。 當且 僅當 a b時， c 0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2 a 。22注意： 橢圓 x2 y2 1的圖像中線段的幾何特征(如下圖)：a2 b2( PF1 PF2 2a)PF1PF2e；PM1PM 2e2a2( PM1 PM 2) ；焦點F1( c,0)， F2(c,0)F1(0, c) ， F2(0,c)焦距

18、F1F22cF1F2 2c范圍x a ，ybx b ， y a對稱性關于 x 軸、 y 軸和原點對稱頂點( a,0) ， (0, b)(0, a)， ( b,0)軸長長軸長 =2a ，短軸長 =2b離心率ce c(0 e 1)a準線方程2 a xc2 a yc焦半徑PF1 a ex0 ，PF2a ex0PF1 a ey0 ， PF2 a ey0性質4、橢圓的令一個定義：到焦點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構成的圖形。即上圖中有PF1PF2PM15：橢圓PM 222xy22ab1與2y2a標準方程x2x2 1(a b 0) 的區(qū)別和聯(lián)系b222x2 y2 1 (a b 0)ab22 yx

19、22 ab圖形(a b 0)拋物線知識點1、掌握的定義 : 平面內與一定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 (定點 F 不在定直線叫做拋物線的準線l 上)。定點 F 叫做拋物線的焦點，定直線 l 2、方程、圖形、性質標準方y(tǒng)2 2px程(p 0)y22pxx22pyx22py(p0)(p0)(p0)統(tǒng)一方程焦點坐 標p( ,0)2( p,0)2p(0, )2(0, p2準線方pppp程x2x2y p2y 2p范圍x0x0y0y0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e1e1e1e1焦半徑是( )A (2,2 2),(2, 2 2)B(1，

20、2)，(1，2)C(1，2)D (2,2 2)拋物線曲線幾何意義11、動點 P到點 F (2,0) 的距離與它到直線 x 2 0的距離相等 ,則P的軌跡方程為22A. x +y 2+2x=0 B.22x2+y 2+x=0C.x2+y2-x=0 D.22x2+y 2-2x=0114、點 P 到點 A( ,0)2， B(a,2) 及到直線 x1 的距離都相等，2如果這樣的點恰好只有一個，那么1值是 ( )A B C 1或311 D 或22222213、以拋物線 y2 4x的焦點為圓心 , 且過坐標原點的圓的方程為 ( )17、以拋物線 y2 8x上的點 M與定點 A(6,0) 為端點的線段 MA的

21、中點為 P，求 P點的軌跡方程a的18、已知圓的方程為x24 ，若拋物線過點 A( 1, 0) ，B(1, 0) 且以圓的切線為準線，則拋物線焦點的軌跡方程為 ( )22A x2 y2 1(y34 20、在直角坐標系中，到點A. 直線0) Bx2y23x21(y 0)C 322 y 1(x 0) D x 444(1 ，1) 和直線 x+2y=3距離相等的點的軌跡是( B. 拋物線C.圓y2y 1(x 0)3)D.雙曲線焦半徑24、拋物線 y2 2x上的兩點 A、 B到焦點的距離之和是 5，則線段 AB中點到 y 軸的距離是 。225、已知過拋物線 y 4x的焦點 F 的直線交該拋物線于 A、B

22、 兩點, AF 2,則 BF .26、設拋物線 y2 8x上一點 P到 y軸的距離是 4,則點 P到該拋物線焦點的距離是( )A. 4B. 6 C. 8 D.1227、若拋物線 y2 x 上的點 P到直線 x 1的距離為 2，則點 P 到該拋物線焦點的距離為 。30、從拋物線 y2 4x 上一點 P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|=5 ，設拋物線的焦點為 F，則MPF的面積為() A 5 B 10 C20 D 1531、拋物線 x2 4y上一點 A 的縱坐標為 4，則點 A 與拋物線焦點的距離為 ( )A.2 B.3 C.4 D. 535、已知拋物線 y2=4x, 過點 P(4,0)

23、的直線與拋物線相交于A(x1,y 1),B(x 2,y 2)兩點，則 y12+y22 的最小值AFK 的面積為 ( ) 過焦點弦) 4) 8) 16 () 3245、過拋物線 y 2 x 的焦點作一條直線與拋物線交于A、B 兩點，它們的橫坐標之和等于 3，則這樣的直46、n，47、50、) A有且只有一條B過拋物線 y ax2(a 0) 的焦點mn則 等于mn設拋物線A342過拋物線 y則此拋物線方程為51、過 拋物線 y2有且只有兩條有無窮多條 D不存在) A.F 作一直線交拋物線于A、 B兩點，若線段AF、 BF 的長分別為 m、1B.2a1 C.4a2aD. a42 x與過其焦點的直線交

24、于A,B 兩點，uuur uuurOA?OB 的值(B342px(p)AC3D30) 的焦點 F且傾斜角為 60o的直線2 2 2y3x B y 6x C y交拋物線于3x D2A、B兩點,若 |AF | 3,y2 2x2px (p 0) 的焦點 F 作直線l , 交拋物線于 A,B 兩點,交其準線于C 點. 若uuur uuurCB 3BF , 則直線 l 的斜率為 52、已知以 F 為焦點的拋物線 y2uuur4x 上的兩點 A、B 滿足 AFuuur3FB , 則弦 AB 的中點到準線的距離為最值問題54、已知拋物線 y2 4x,焦點為 F, A(2,2),P 為拋物線上的點 , 則 PA PF 的最小值