小孩拉玩具問題

1、A圖2A圖3小孩和玩具的問題題目 一個小孩借助長度為 a的硬棒，拉或推某玩具此小孩沿某曲線行走，計算并畫出玩 具的軌跡解：假設小孩拉的玩具如圖1所示，由于整個推拉過程中(圖 2)，玩具走的軌 跡，只與C在地面上的投影點B的軌跡有關。所以我們把模型簡化為圖 3。假設1:小孩B點所走曲線為沿著小 棒a的方向(直線AB)，貝U玩具A走的軌 跡為直線(沿AB方向的)。此時，小孩行 走的速度與玩具的速度相同。假設2:小孩B點所走曲線為一個A點 為心的圓，貝U玩具不動。此時，如果小孩 B 行走的速度為V，而玩具A的速度卻為零， 這說明，在推玩具的過程中，小孩 B的速度 與玩具A的速度不同。由此特殊情況，我

2、們可以看到，當小孩 B行走的路線是曲線時，小孩 B的 速度Vb與玩具A的速度Va是不同的。假設3:如果小孩B點走的軌跡是一條曲線c (圖4 ),不妨設曲線的軌跡 方程是一個與時間t有關的參數(shù)方程。而玩具 A走的軌跡為曲線c。XX(t),xx(t),c:c :丫 Y(t),yy(t).則t時刻小孩B的坐標為B (X(t),Y(t)，玩具A的坐標為A (x(t), y(t)。(1) t時刻，由于AB的距離為a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的過 程中，假設棒與地面的角度不變，因此有：(X(t) x(t)2 (Y(t) y(t)2 a2，即(X x)2 (Y y)2a2(1)(2)設玩具在A?點的

3、速度Va ,則Va的方向應為玩具所走曲線c?的切線方向,而玩具始終是沿著小棒 A?B?勺方向，所以：AB ?Va而 AB (X x,Y y), Va (x,y)所以：Y_y0 X x x, Y y y (2)x y又 石 (X ,Y)，由向量知識有AB?vB |AB|PrjABVB簡化得:|Va| AB?VbI AB |故有 Vav(x)2 (y )2(X x,Y y) (X ,Y)(X x)2 (Y y)2化簡得VaXT小孩所走曲線為一個以原點為圓心半徑為 R的圓時，小孩所走路徑的曲線方 程為：X a costY a si nt 利用MATLAB軟件求解上述微分模型，程序如下： 函數(shù)文件：建

4、立函數(shù)文件fun5.mfun cti on dy=fu n5(t,y)dy=(-5*si n( t)*(5*cos(t)-y(1)+5*cos(t)*(5*si n( t)-y(2)*(5*cos(t)-y(1)./(5*cos(t)-y(1)F2+(5*si n( t)-y)八2),(-5*si n( t)*(5*cos(t)-y(1)+5*cos(t)*(5*si n( t)-y (2)*(5*si n( t)-y(2)./(5*cos(t)-y(1)A2+(5*si n( t)-y (2) )A 2)主程序：clear,clcclose allt,y=ode45(fu n5,0,100,

5、10,0);X=5*cos(t);Y=5*s in (t);figure(1)plot(X,Y,r.)hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)543210-1 -2 -3 -4、七*10-5-5擊%玩具的初始位置為(12,0)t0=0;tf=100;t,y=ode45(fu n5,t0,tf,12,0);X=5*cos(t);Y=5*s in (t);figure(2) plot(X,Y,r.) hold onplot(y(:,1),y(:,2),*)T-505101515-15-10%玩具的初始位置為(8,0)t0=0;tf=100;t,y=ode45(fu n5,t0,tf,8,