完整版概率論與數(shù)理統(tǒng)計浙江大學(xué)第四版課后習(xí)題答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題答案第四版 盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版(高等教育出版社)第一章概率論的基本概念1. 一寫出下列隨機試驗的樣本空間(1)記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(一 1)o 1 n 100S ,，n表小班人數(shù)n nn(3) 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到 10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(一 2)S=10 , 11, 12, ,n, (4) 對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“ 1”，查出次品記為“ 0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“ 0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查

2、。(一 (3)S=00 , 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2. 二設(shè)A, B, C為三事件，用 A, B, C的運算關(guān)系表示下列事件。(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：ABC 或 A (AB+AC)或 A (B U C)(2) A, B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：ABC或AB ABC或AB C(3) A, B, C中至少有一個發(fā)生表示為：A+B+C(4) A, B, C都發(fā)生，表示為：ABC(5) A, B, C都不發(fā)生，表示為：ABC或S(A+B+C)或ABC(6) A, B, C中不多于

3、一個發(fā)生，即 A, B, C中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于AB, BC, AC中至少有一個發(fā)生。故表示為：AB BC AC 。(7) A，B，C中不多于二個發(fā)生。相當(dāng)于：A, B,C中至少有一個發(fā)生。故表示為：A B C或ABC(8) A，B，C中至少有二個發(fā)生。相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6.三設(shè)A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7.問在什么條件下 P (AB)取到最大值，最大值是多少？ ( 2)在什么條件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6 , P (B) = 0.7即知ABMQ,(否則AB = $依

4、互斥事件加法定理，P(A U B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31 與 P (AU B)0.6=0.18.21.十七已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作 不放回抽樣，求下列事件的概率。(1)二只都是正品(記為事件 A)法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能。P(A)C2C8C1028450.62法二：用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能。P(A)A2A；q2845法三：用事件的運算和概率計算法則來作。記A1,A2分別表第一、二次取得正品。P(A)P(A“A2)p

5、(a)p(A2 1 AO_810728945(2)二只都是次品(記為事件B)法一：P(B)C；1C2045法二：P(B)A 1A20 45法三：P(B)P(AA2)hAjpAiA)走丄9145(3)只是正品，一只是次品(記為事件C)法一：C8 C116P(C) 8 2 2161045法二：P(C) (C8 C2) A 16P(C) 2A2045法三：P(C) P(a2 Aa2)且aa2與Aa2互斥P(A)P(A2|Ai) P(A1)P(A2|A)豬彳黑 15(4)第二次取出的是次品(記為事件D)法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，法二：P(D) A9 2A2 5A105法三：P(

6、D) P(aA2 A1a2)且 Ai A 與 AiA2 互斥P(4)P(A2|A) P(A)P(A2A)身 9 箱 1 122.十八某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超 過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是 多少？記H表撥號不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號能接通。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。HA1 A1A2 AA2A3三種情況互斥P(H) P(Ai) p(瓦)p(A2 | Aj p(Ajp(A2 |瓦)P(A3 |瓦入2)1 _91_98110109109810如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問題

7、變?yōu)樵?B已發(fā)生的條件下，求 H再發(fā)生的概率。P(H|B) PAi|B A1A2IB A1A2A3 |B)P(Ai |B) P(A | B)P(A2 ibAj P(A | B)P(A2 卩人尸仏 | BA1A2)5 5 4 5 7 3 524.十九設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有 N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋 中取到)白球的概率是多少？(此為第三版19題(1)記Ai, A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。TB=Ai B+A2B 且 Ai , A2 互斥P (B)=P (Ai)P

8、(B| Ai)+ P (A2)P (B| A2)= nN 1mNnm NM1 nm NM1十九(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。 先從第一盒子中任取 2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白 球的概率。記C1為“從第一盒子中取得 2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得 2只白球”。C3為“從第一盒子中取得 1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1, C2, C3兩兩互斥，C1U C2 U C3=S,由全 概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)C

9、；5c27c5 C653C；11C；11 C；119926.二一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少?解：Ai=男人，A2=女人，B=色盲，顯然 AiU A2=S, Ai A2= $1由已知條件知 P(A1) P(A2) 2 P(B|A) 5%, P(B|A2) 0.25%由貝葉斯公式，有P(Ai |B)P(AB)P(B)P(A)P(B| A)P(A)P(B| A) P(A2)P(B| A2)1 52 1001 51252 100 2 100002021二十二一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試

10、。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率也為 P;若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少2有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及 格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格 , i=1,2已知 P (A1)=P (A2|A1)=P, P(A2| 瓦)P2(1) B=至少有一次及格所以B 兩次均不及格 A1A2- P(B) 1 P(B) 1 P(瓦A2)1 P(瓦)P(A2|&)1 1 P(A)1 p(A2|A)P311(1P)(1) P -P22 22 P（AA2）定義P(AA2) P(A2)(*)由乘法公式，有 P (A1

11、A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 P(A2) P(AJP(A2 | A) P(A)P(A2 | A)P P (1p2pT 2P)將以上兩個結(jié)果代入（* )得 P(A I A2)P22PP2 p P 1V 228.二十五某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:到家時間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A= “乘地

12、鐵”，B= “乘汽車”，C= “5:455:49到家”，由題意,AB= $ ,AU B=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由貝葉斯公式有P(A|C)P(C | A)P(A)PC0.5 0.451 1 P(C|A)扌 P(C|B)扌0.4590.651329.二十四有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一 只，作不放回抽樣。試求（1 ）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品

13、的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品”i=1 , 2AiA2= 0Aj表示“第j箱產(chǎn)品” j=1,2，顯然AiU A2=S(1) P(B1)1 10 1 1822 50 2 3050.4（ B1= A1B +A2B由全概率公式解）(2) P(B2 | B1)P(B1B2)P(B1)110_9218 172 50 492 30 290 48572 5（先用條件概率定義，再求p（B1B2）時，由全概率公式解）32.二十六（2）如圖 1，2，3，4，5表示繼電器接點，假設(shè)每一繼電器接點閉合的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨立，求L和R是通路的概率。記Ai表第i個接點接通R記A表從L到R是構(gòu)成

14、通路的。A=A 1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2 四種情況不互斥P (A)=P (A1A2)+ P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2) P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1 A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5) P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1, A2, A3, A4, A5互相獨立。故P (A)=p2

15、+ p3+ p2+ p3 p4+p4 +p4+p4+p5 +p4+ p5 + p5+ p5+ p5 p5=2 p2+ 3p3- 5p4 +2 p5二十六(1)設(shè)有4個獨立工作的元件1, 2, 3, 4。它們的可靠性分別為P1, P2,P3, P4，將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作，i=1, 2, 3, 4,123i口4A表示系統(tǒng)正常。A=A 1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥P (A)= P (AiA2A3)+P (A1A4) P (A1A2A3 A4)(加法公式)=P (Ai) P (A2)P (A3)+ P (Ai) P (A4) P (Ai) P

16、 (A2)P (A3)P (A4)=P1P2P3+ PlP4 P1P2P3P4(Ai, A2, A3, A4獨立)i2534.三-袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽） 在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面” =Br “任取一只是正品” =A由全概率公式，有m 1 rP(Br) P(A)P(Br|A) P(A)P(Br|A)齊P(A|Br)P(A)P(Br | A)P(Br)（mm n 2r（條件概率定義與乘法公式）0.4, 0.5, 0.7。0.6，若三人都擊35甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人

17、擊中的概率分別為飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解：高Hi表示飛機被i人擊中，i=1, 2, 3。Bi, B2, B2分別表示甲、乙、丙擊中飛 機HiB1B2 B3 BiB2B3BiB2 B3，三種情況互斥。H2Bi B2 B3Bi B2 B3Bi B2 B3三種情況互斥H 3B2B2 B3又Bl, B2, B2獨立。P(Hi) P(Bi)P(B2)P(B3) P(Bi)P(B2)P(B3)P(Bi)P(B2)P(B3)0.4 0.5 0.3 0.60.5 0.3 0.6 0.5 0.70.36Pg)P(BJP(B2)P(

18、b3)P(Bi)P( B2)P(B3)P(B!)P(B2)P( B3)0.4 0.5 0.3+ 0.4 0.5 0.7+0.6 X 0.7=0.41P (H3)=P (Bi)P (B2)P (B3)=0.4 05 0.7=0.14又因：A=H iA+H 2A+H 3A三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(Hi)P (A|Hi)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3)=0.36 02+0.41 0.6+0.14 伏0.45836.三十三設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2% (這一事件記為Ai)，10% (事件 A2)，90% (事件 A3)的概率分別為

19、P (Ai)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05， 現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B)，試分別求P (Ai|B)P (A2|B), P (A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以 取第一、第二、第三件是互相獨立地) B表取得三件好物品。B=AiB+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P(Ai)P (B|Ai)+P (A2)P (B|A2)+P (AJP (B|AJ=0.8 Q.98)3+0.i5 .9)3+0.05 Q.i)3=0.8624P(A1B)P(A)P(B|AJ0.8 (0.98)

20、3P(B)P(B)0.8624P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15 (0.9)3P(B)P(B)0.8624P(AsB)P(A3)P(B|A3)0.05 (0.1)3P(B)P(B)0.8624P(A |B)P(A |B)P(A | B)0.87310.12680.000137.三十四將A, B, C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a，而輸出為其它一字母的概率都是 (1 - a )/2。今將字母串 AAAA , BBBB, CCCC之一輸入信道， 輸入AAAA, BBBB, CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為 ABCA，問 輸入的

21、是AAAA的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。)解：設(shè)D表示輸出信號為 ABCA , B1、B2、B3分別表示輸入信號為 AAAA, BBBB, CCCC，貝y B1、B2、B3為一完備事件組，且 P(Bi)=Pi, i= 1,2, 3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母 A,其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))=P (B收| B 發(fā))=P (C收| C 發(fā))=a ,P (A收| B發(fā))=P (A收| C 發(fā))=P (B 收| A發(fā))=P (B 收| C發(fā))=P (C收| A發(fā))=P (C收| B 發(fā))=又 P (ABCA|AAAA)= P (D | B) =P (A收|

22、 A發(fā))P (B收| A發(fā))P (C收| A發(fā))P (A收| A發(fā))a2(_a )2 2 )同樣可得P (D | B) =P (D | B) =a (丄于)3于是由全概率公式，得3P(D)P(Bi)P(D|Bi)i 1p2(號)2 (P, P3) %(號)3P(B1)P(D|BJP(D)由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D)=2 aR (1a)( R2R3)二十九設(shè)第一只盒子裝有 3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍球，3只綠球，4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至少有一只藍球的概率，(2)求有一只藍球一只白球的概率，(3)已知至

23、少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。解：記Ai、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球，Bi、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。(1 )記C=至少有一只藍球C= AiB什 A1B2+ AiB3+ A2B1+ A3B1， 5 種情況互斥由概率有限可加性，得R(C) P(AB1)P(AB2)P(AB3)P(A2BJ P(A3BJ獨立性 P(A1)P(B1)P(A)P(B2)P(A1)P(B3)P(A2)P(B1)P(A3)P(B1) 3233342222579797979799(2)記D=有一只藍球，一只白球 ，而且知D= A 1B3+A3B1兩

24、種情況互斥P(D) HA1B3 P(A3B1) P(AJP(B3)P(A3)P(BJ2 2 167 963(3) P(D|C)31三十A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給A，B，C的電話的概率分別為 2,-,丄。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概11 1 5 5 5率分別為丄，丄丄，設(shè)三人的行動相互獨立，求2 4 4(1) 無人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個(5)電話，求(3)這3個電話打給同一人的概率；(4)這3個電話打給不同人的概率;這3個電話都打給B,而B卻都不在的概率。解：記Ci、C2、C3分別表示打給 A, B,

25、 C的電話Di、D2、D3分別表示A, B, C外出2i注意到 Ci、C2、C3 獨立，且 P(Ci) P(C2)2 P(C3)15 51iP(Di)扌，P(D2)P(D3)寸(1) P (無人接電話)=P (DiD2D3)= P (Di)P (D2)P (D3)=丄i i 丄=27 732(2) 記G= “被呼叫人在辦公室” ，G CiD C2D7 C3d!三種情況互斥，由有 限可加性與乘法公式P(G) P(CiDi) P(C2D2) P(C3D3)P(Ci)P(D；|Ci) P(C2)P(D7|C2)212313135 2545420由于某人外岀與P(C3)P(D3 |C3)否和來電話無關(guān)

26、故 P(Dk|Ck) P(瓦)于是P(R)12524125(5) 由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給 B電話而B不在的概率為1，且各次情況相互獨立4于是 P (3個電話都打給 B, B都不在的概率)=(丄)H為“這3個電話打給同一個人”22222211117555555555125 R為“這3個電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A, B, C的三個電話，每種情況的概率為2214555125 464第二章隨機變量及其分布1一 一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5,在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取

27、值3, 4，5，分布律為P(XP(XP(X3)4)5)P（一球為3號,兩球為1,2號）1 C；CTP （球為4號,再在1,2,3中任取兩球）P（一球為5號，再在1,2,3,4中任取兩球）丄101 C； 3 CT而1 C：6103.三設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù),（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。X可能為0，1，2個。P(X0)c33c352235P(X1)C；C；312Cl35P(X2)C；1C1535解：任取三只，其中新含次品個數(shù)再列為下表x也可列為下表X：3，4，5P：13610，10，10X：0，1，237

28、P:22 12 135 , 35 , 354.四進行重復(fù)獨立實驗，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1 p(0pY)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+解：（1） P （一次成功）=1C?170P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)=P (X=1) P (Y= 0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y= 0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y= 2)C；0.6 (0.4)2 (0.3)3Cf(0.6)20.

29、4 (0.3)82 2 1C3(0.6)0.4 C30.72(0.3)(0.6)3(0.3)3(0.6)3 C30.7(0.3)2(0.6)3C； (0.7)20.30.2439十有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。P （連續(xù)試驗10次，成功3次）=C130（7j）3（霽7金。此概率太小，按實際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求

30、(1) 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率(2) 需作第二次檢驗的概率(3) 這批產(chǎn)品按第 2次檢驗的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率(4) 這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率(5) 這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故 XB( 10，0.1)，YB( 5，0.1)(近似服從)(1) P X=O=O.910 0.349(2) P XW 2= P X=2+ P X=1= C2)O.12O.98 %0.1 0.99 0.581(3) P Y=0=0.9 5 0.590(4) P 0XW 2, Y=0(0X W 2與 Y=2獨立)=P 0X W 2P Y= 0=0.581 0.5900.343(5) P X=0+ P 0 8) P (X 9)(查入=4 泊松分布表)。=0.051134 0.021363=0.029771(2) 每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。P (X 10)=P (X 11)=0.002840 (查表計算)十二(2)每分鐘呼喚次數(shù)大于 3的概率。PX 3 PX 40.566530(以分計)，十六以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客