多面體外接球半徑常見的5種求法柯建華

1、多面體外接球半徑常見的法（ 柯建華）5 種求多面體外接球半徑常見的 5 種求法如果一個多面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi) 接多面體，這個球稱為多面體的外接球 . 有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一 個重點(diǎn)，也是高考考查的一個熱點(diǎn) . 研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知 識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間 的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用 .知識回顧：1、球心到截面的距離 d 與球半徑 R 及截面的半徑 r 有以下關(guān)系2、球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫3、球的表面

2、積表面積 S；球的體積 V4、球心一定在過多邊形（頂點(diǎn)均在球面上）外接圓圓心且垂直此多邊形所在 平面的垂線上方法一：公式法例 1 一個六棱柱的底面是正六邊形， 其側(cè)棱垂直于底面， 已知該六棱柱的頂點(diǎn) 都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 為 . 6x 3, x 1, 解 設(shè)正六棱柱的底面邊長為 x，高為 h，則有 9 3 2 x 2, 6 3 x2h,8 6 4 x h, h 3正六棱柱的底面圓的半徑 r 1 ，球心到底面的距離 d 3 .22外接球的半徑 R r 2 d2 1. V球 4 .3小結(jié)：本題是運(yùn)用公式 R2 r2 d2 求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公 ，底面周長為，則這

3、個球的體積8式.（R-球的半徑； d-球心到球截面圓的距離，注意球截面圓通常是頂點(diǎn)在球上多邊 形的外接圓； r- 頂點(diǎn)在球上多邊形的外接圓的半徑）方法二：多面體幾何性質(zhì)法例 2 已知各頂點(diǎn)都在同一個球面上的正四棱柱的高為 4 ，體積為 16，則這個球 的表面積是（ ）A.16B. 20 C. 24 D. 32解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為 x ，外接球的半徑為 R，則有4x2 16，解得 x 2. 2R 22 22 42 2 6, R 6. 這個球的表面積是 4 R2 24 . 選 C. 小結(jié)：本題是運(yùn)用“正四棱柱體（包括正方體、長方體）對角線的長等于其外 接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的 .方法三：

4、補(bǔ)形法例 3：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3 ，則其外接球的表面積是 .解：據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個三棱錐可以補(bǔ)成一 個棱長為 3 的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球 .2 2 2設(shè)其外接球的半徑為 R，則有 2R 2 3 3 3 9. R2 9.4故其外接球的表面積 S 4 R2 9 . 小結(jié)：一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c ，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐 的外接球的直徑 .設(shè)其外接球的半徑為 R ，則有 2R a2 b2 c2 .PA、PB、PC兩兩垂直采用補(bǔ)形法方法

5、四：尋求軸截面圓半徑法例 4 正四棱錐 S ABCD 的底面邊長和各側(cè)棱長都為2 ，點(diǎn) S、 A、 B、 C、 D 都在同一球面上，則此球的體積為 .C解 設(shè)正四棱錐的底面中心為 O1 ，外接球的球心為 O，如圖 3 所示. 由球的截面的性質(zhì)，可得 OO1 平面ABCD .又 SO1 平面 ABCD ，球心 O必在 SO1 所在的直線上 . ASC 的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半 徑.在 ASC中，由 SA SC 2，AC 2，得 SA2 SC2 AC2 . ASC是以 AC 為斜邊的 Rt .AC21是外接圓的半徑，也是外接球的半徑. 故 V球小結(jié)：根據(jù)題意，我

6、們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的 一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑 .本題提供的這種思路是探 求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面 圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究 .這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí) .方法五：確定球心位置法例 5 在矩形 ABCD中， AB 4,BC 3，沿 AC 將矩形 ABCD折成一個直二面角B AC D ，則四面體 ABCD 的外接球的體積為A.12512B.125C.1256解：設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為 O ，則由矩形對角線互相平分， 可知 OA OB OC OD .點(diǎn)O到四面體的四個頂點(diǎn) A、B、C、D 的距離相等，即點(diǎn) O為四面體的外接球的球 心，如圖 2 所示. 外接球的半徑 R OA 5. 故V球 4 R3 125 . 選 C.2 3 6 小結(jié)：若四面體或三棱錐的一條棱所對的兩個頂角都