第四章 持續(xù)期與凸性

1、 第四章第四章 持續(xù)期與凸性持續(xù)期與凸性 第一節(jié)第一節(jié) 持續(xù)期持續(xù)期 第二節(jié)第二節(jié) 凸性凸性 第三節(jié)第三節(jié) 持續(xù)期與凸性的應(yīng)用持續(xù)期與凸性的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 持續(xù)期持續(xù)期 利率與債券價格的關(guān)系利率與債券價格的關(guān)系 基點(diǎn)價值（基點(diǎn)價值（Price Value of a Basis Point） 價格波動的收益率價值（價格波動的收益率價值（Yield Value of a Price Change） 金額持續(xù)期金額持續(xù)期 Macaulay 持續(xù)期持續(xù)期 修正持續(xù)期修正持續(xù)期 有效持續(xù)期有效持續(xù)期 關(guān)鍵利率持續(xù)期關(guān)鍵利率持續(xù)期 組合持續(xù)期組合持續(xù)期 利率與債券價格的關(guān)系利率與債券價格的關(guān)系 價格

2、到期收益率 P2 y2 P1 y1 基點(diǎn)價值基點(diǎn)價值 （Price Value of a Basis Point） 定義：基點(diǎn)價值是要求的到期收益率變動一個定義：基點(diǎn)價值是要求的到期收益率變動一個 基點(diǎn)所對應(yīng)的債券價格的變化額。基點(diǎn)所對應(yīng)的債券價格的變化額。 例例4-1：期限：期限5年，票面利率年，票面利率9%（半年支付半年支付），）， 價格為價格為100。求該債券的基點(diǎn)價值。求該債券的基點(diǎn)價值。 基點(diǎn)價值基點(diǎn)價值 （Price Value of a Basis Point） 目前的到期收益率為9%。到期收益率增加1個基點(diǎn)， 為9.01% ,債券新的價格 基點(diǎn)價值 = $100 - $99.9

3、604 = $0.0396 9604.99 04505. 1 5 .104 )505. 41 ( 5 . 4 10 10 1 t t P 價格波動的收益率價值價格波動的收益率價值 （Yield Value of a Price Change） 定義：價格波動的收益率價值，是指債券價格發(fā)生一定義：價格波動的收益率價值，是指債券價格發(fā)生一 定金額變化（通常是定金額變化（通常是1/32 of $1）所對應(yīng)的到期收益率）所對應(yīng)的到期收益率 變化的幅度。變化的幅度。 例例4-2：期限：期限5年，票面利率年，票面利率9%（半年支付），（半年支付）， 收益率收益率 為為9% (b.e.b.)，對應(yīng)價格為，對

4、應(yīng)價格為$100。 價格波動的收益率價值價格波動的收益率價值 = 9% - 8.992% = 0.008%, %992. 8 )2/1 ( 5 .104 )2/1 ( 5 . 4 32 1 100 10 10 1 y yy t t 影響價格影響價格-利率敏感性的主要因素利率敏感性的主要因素 償還期 一般情況下，假定其他因素不變，償還期越長，債券價格 -利率之間的敏感性越大。但隨著償還期的延長，敏感性增大的 速度在下降。 票面利率 假定其他因素不變，票面利率越低，債券價格-利率之間 的敏感性越高。但市場利率同樣幅度的上升與下降，引起債券價 格波動的幅度是不同的，上升的幅度高于下降的幅度。 利率水

5、平 假定其他因素不變，市場利率水平越低，債券價格-利率 之間的敏感性越高。 例4-3 例4-3： 4個債券，每個債券的到期收益率為9% (b.e.b)，半年支付。 價格分別為$100、$100、$84.175、 $63.1968。 新收益率 基點(diǎn)變化 9% 5yr 9% 20yr 5% 5yr 5% 20yr 6 -30012.8 34.6713.73 39.95 8 -1004.06 9.94.35 11.26 8.9 -100.4 0.930.42 1.05 9.01 1 -0.04 -0.092 -0.042 -0.14 9.5 50 -1.95 -4.44 -2.09-5.01 10

6、100 -3.86 -8.58 -4.13-9.64 12 300-11 -22.6 -11.9 -25.1 例例 4-3 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 1234567 9% 5yr 9% 20yr 5% 5yr 5% 20yr 持續(xù)期持續(xù)期 持續(xù)期包含了關(guān)于債券到期收益率、票 面利率和到期時間的信息。 持續(xù)期是債券或者是債券組合在一個時 點(diǎn)上的特征，持續(xù)期與時俱進(jìn)。 持續(xù)期是大多數(shù)避險策略中的重要內(nèi)容。 持續(xù)期最本質(zhì)的含義是，市場利率發(fā)生 一個微小變化，引起債券價格發(fā)生怎樣 的變化。 金額持續(xù)期金額持續(xù)期 t n t t t t n t t t t t n t t dy

7、 y Ct dP y C dCP 1 1 11 )1 ( )1 ( 金額持續(xù)期金額持續(xù)期 如果到期收益曲線是水平的，并且平行移動 dy y Ct y dy y Ct dP y C P n t t t n t t t n t t t 1 1 1 1 )1(1 1 )1( )1( 金額持續(xù)期金額持續(xù)期 定義：金額持續(xù)期是市場利率變化1個百分點(diǎn)（100個 基點(diǎn)）導(dǎo)致債券價格變化的金額。 經(jīng)濟(jì)含義 )( )1 ( 11 t n t n t t t dollar CVt y Ct 金額持續(xù)期金額持續(xù)期 例4-4: 20年債券, 面值100, 票面利率 10%, 1年支付. term yield% dis

8、count fct PV t*(PV) 0 1 1 8.50560.9216 9.21619.2161 2 8.67530.8467 8.467216.9343 3 8.83770.7756 7.756423.2693 4 8.99270.7086 7.086228.3446 5 9.14040.6458 6.457632.2881 6 9.28070.5871 5.871435.2282 7 9.41360.5327 5.327237.2906 8 9.53910.4824 4.824438.5955 9 9.6570.4362 4.361939.2568 10 9.76750.3938 3

9、.937939.3788 11 9.87050.3551 3.550739.0572 12 9.96590.3198 3.198238.3782 13 10.05370.2878 2.878337.4182 14 10.1340.2589 2.588836.2433 15 10.20670.2327 2.327434.9117 16 10.27180.2092 2.092033.4725 17 10.32920.1880 1.880531.9677 18 10.3790.1691 1.690630.4310 19 10.42120.1521 1.520628.8906 20 10.45570.

10、1368 15.0532301.0648 total 100.0866911.63 金額持續(xù)期 911.63 Macaulay(比率比率) 持續(xù)期持續(xù)期 dyD yP dP P y Ct D y Ct dy dP y C P n t t t n t t t n t t t 1 1 )1 ( )1 ( )1 ( 1 1 1 1 Macaulay 持續(xù)期持續(xù)期 經(jīng)濟(jì)含義(倍數(shù)而不是期限) 一個百分點(diǎn)的利率波動對債券價格波動幅度的影響。 dyD yP dP P y Ct D y Ct dy dP y C P n t t t n t t t n t t t 2/1 1 )2/1(2 )2/1(2 )2

11、/1( 1 1 1 1 例 4-5 period cash flow PV$14.5% PV t(PV) 1 3 0.9569 2.8712.871 2 3 0.9157 2.7475.494 3 3 0.8763 2.6297.887 4 3 0.8386 2.56110.063 5 3 0.8025 2.40712.037 6 3 0.7679 2.30413.822 7 3 0.7348 2.20415.431 8 3 0.7032 2.10916.876 9 3 0.6729 2.01918.168 10 103 0.6439 66.325663.246 Price 88.131 76

12、5.895 金額持續(xù)期=765.9, meaning? Macaulay 持續(xù)期 = 765.895/88.13= 8.69(半年) = 4.35 years? 含義 4.35 倍 修正持續(xù)期修正持續(xù)期 含義（考慮了短期利率的影響） dyD P dP semiannual y D D annual y D D M M M )( 2/1 )( 1 有效持續(xù)期有效持續(xù)期 例4-6： 票面利率為9%，期限 20 的非含權(quán)債券， 價格 134.67，到期收益率6%。讓到期收益率上升或 下降 20 個基點(diǎn)，債券價格將分別為 137.59 和 131.84，因此 Py PP P yy PP Deffect

13、ive 2 / 66.10 67.134002. 02 84.13159.137 2 Py PP D effective 有效持續(xù)期有效持續(xù)期 有效持續(xù)期存在的意義 有些證券的現(xiàn)金流量是不確定 (例如MBS)， 而持續(xù)期的定義是債券價格相對于市場利率 的敏感性。由于現(xiàn)金流量不確定，因此無法 使用標(biāo)準(zhǔn)的持續(xù)期公式。 債券持續(xù)期的特征債券持續(xù)期的特征 分析的都是無權(quán)債券 附息債券的持續(xù)期小于期限本身 票面利率越高，持續(xù)期越短 零息債券的持續(xù)期等于期限本身（比 率,Macaulay） 市場收益率上升，持續(xù)期下降 利用持續(xù)期估計債券價格變化 例 4-7： 20 年， 5%票面利率(半年支付），到期收益

14、 率9% (b.e.b.)， P=63.1968，D = 10.87年, DM = 10.87/(1.045) = 10.40 如果到期收益率從9%增加到9.10%，預(yù)測價格會這樣 變化 -10.40(.0010) = -1.04% 實(shí)際價格變化-1.03% 如果到期收益率從9%增加到11%，預(yù)測價格會這樣變 化 -10.40(.020) = -20.80% 實(shí)際價格變化 -17.94% 一般性結(jié)論一般性結(jié)論 在市場利率變化較小時，持續(xù)期可以相在市場利率變化較小時，持續(xù)期可以相 對準(zhǔn)確地估計債券價格的變化。對準(zhǔn)確地估計債券價格的變化。 持續(xù)期的圖形解釋持續(xù)期的圖形解釋 傳統(tǒng)持續(xù)期指標(biāo)的缺陷傳統(tǒng)

15、持續(xù)期指標(biāo)的缺陷 假定水平的到期收益曲線并且平行移動 到期收益曲線變化的種類 水平移動 85% 的國債收益曲線變動 收益曲線變陡 5%的國債收益曲線變動 蝴蝶狀變化 3-4%的國債收益曲線變動 債券被認(rèn)為是非含權(quán)的 關(guān)于持續(xù)期的一般方法關(guān)于持續(xù)期的一般方法 持續(xù)期的一般方法是指考慮到多種因素 發(fā)生變化后，債券價格變化的總量。用 線性數(shù)學(xué)模型表示為: n n f f P f f P f f P PP dP 2 2 1 1 1 關(guān)鍵利率持續(xù)期關(guān)鍵利率持續(xù)期 (1992 by Thomas Ho)(1992 by Thomas Ho) 利率持續(xù)期（利率持續(xù)期（rate duration)：即期利率的

16、一定幅度變：即期利率的一定幅度變 化導(dǎo)致債券價格變化的金額?；瘜?dǎo)致債券價格變化的金額。 對應(yīng)即期利率曲線上的每一點(diǎn)都存在一個即期利率 持續(xù)期 如果全部即期利率都變化相同的基點(diǎn)，那么債券價 格變化的總金額就是金額持續(xù)期。 關(guān)鍵利率持續(xù)期：關(guān)鍵即期利率的一定幅度的變化所關(guān)鍵利率持續(xù)期：關(guān)鍵即期利率的一定幅度的變化所 產(chǎn)生的債券價格的變化。產(chǎn)生的債券價格的變化。 11 個關(guān)鍵利率：個關(guān)鍵利率： 3 個月個月, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 25, 30 年。其年。其 他利率持續(xù)期可以用線性估計。他利率持續(xù)期可以用線性估計。 例例 4-8 有三個關(guān)鍵利率有三個關(guān)鍵利率 2年、年

17、、 16年、年、 30年。關(guān)鍵利率持續(xù)期年。關(guān)鍵利率持續(xù)期 就是零息債券的持續(xù)期，零息債券的期限就是關(guān)鍵利就是零息債券的持續(xù)期，零息債券的期限就是關(guān)鍵利 率的期限。有兩個組合率的期限。有兩個組合 組合2年債券16年債券30年債券 A 50 0 50 B 0 100 0 D2 = 2 D16 = 16 D30 = 30 例例 4-8 組合組合A的關(guān)鍵利率持續(xù)期的關(guān)鍵利率持續(xù)期 D2 = (50/100)*2=1 D16 = 0 D30 = (50/100)*30=15 Deffective=16 組合組合B的關(guān)鍵利率持續(xù)期的關(guān)鍵利率持續(xù)期 D2 = 0 D16 = (100/100)*16=16

18、 D30 = 0 Deffective=16 例例 4-8 全部即期利率下降全部即期利率下降10基點(diǎn)基點(diǎn) 組合組合 A 2年關(guān)鍵利率下降10個基點(diǎn)，組合組合價值上升 0.1% 30年關(guān)鍵利率下降10個基點(diǎn)，組合價值上升1.5% 總共上升1.6%，這與使用有效持續(xù)期（ Deffective=16 ） 來計算的結(jié)果相同 組合組合 B 16年關(guān)鍵利率下降10個基點(diǎn)，組合價值上升1.6% 總共上升1.6%，與這與使用有效持續(xù)期 （ Deffective=16 ）來計算的結(jié)果相同 例例 4-8 2年即期利率上升年即期利率上升10個基點(diǎn)，個基點(diǎn)，30年即期利率下年即期利率下 降降10個基點(diǎn)個基點(diǎn) 組合組合

19、 A 2年關(guān)鍵利率上升10 個基點(diǎn)，組合價值下降 0.1% 30年即期利率下降10個基點(diǎn)，組合價值上升 1.5% 總共上升 1.4%，這與使用有效持續(xù)期（ Deffective=16） 計算出來的結(jié)果不同 組合組合 B 沒有變化! 例例 4-8 2年即期利率下降年即期利率下降10 個基點(diǎn)，個基點(diǎn)，30即期利率上升即期利率上升 10個基點(diǎn)個基點(diǎn) 組合組合 A 2年即期利率下降10個基點(diǎn)，組合價值上升 0.1% 30年即期利率上升10個基點(diǎn)，組合價值下降 1.5% 總共下降 1.4%，與使用有效持續(xù)期（Deffective=16）計 算出來的結(jié)果不同 portfolio B 沒有變化! 組合的持續(xù)

20、期組合的持續(xù)期 組合持續(xù)期是單個債券持續(xù)期的加權(quán)總和（金額）或 加權(quán)平均（有效等） 如果債券間的到期收益率不同，這意味著組合中每個 債券的持續(xù)期計算所依據(jù)的到期收益率是不同的。 例 4-9： 由兩個債券構(gòu)成的組合， P(1) = $8,000， DM(1) = 4.3； P(2) = $12,000， DM(2) = 3.6 Dportfolio = (8/20)(4.3) + (12/20)(3.6) = 3.88 iiportfolio DwD 到期收益率曲線不水平時的情形到期收益率曲線不水平時的情形 到期收益率曲線不水平時，可以將債券到期收益率曲線不水平時，可以將債券 的價格變化做適當(dāng)?shù)?/p>

21、處理，就可以得到的價格變化做適當(dāng)?shù)奶幚?，就可以得?與水平時相似的結(jié)構(gòu)。與水平時相似的結(jié)構(gòu)。 第二節(jié)第二節(jié) 凸性凸性 凸性的定義與特征 凸性的計算 凸性的定義與特征凸性的定義與特征 凸性衡量的是收益率-價格曲線彎曲的程 度，也就是利率的一個微小變化而引起 的債券持續(xù)期的變化比率。 非含權(quán)證券都有正的凸性 正的凸性是受歡迎的，會給投資者帶來 額外的利益。 凸性會隨著到期收益率的增加而降低。 凸性的幾何解釋凸性的幾何解釋 正凸性 負(fù)凸性 凸性的計算凸性的計算 金額凸性(經(jīng)濟(jì)含義?) 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 )( )1 ( 1 2 1 )1 ( 1 )( )1 ( ) 1( )1

22、 ( 1 2 1 )1 ( 1 )( )( 4 1 )() 1( 4 1 )( )()() 1( y y yD y P y y Ctt y yD y P semiannualCVtCVtt annualCVtCVtt dollardollar n t t t dollar n t t n t tdollar n t t n t tdollar 例例4-10 period cash flow PV$14.5% t*PV t*t*PV 1 3 0.95692.87 2.87 2 3 0.91575.49 10.99 3 3 0.87637.89 23.66 4 3 0.838610.06 40.9

23、8 5 3 0.802512.04 60.18 6 3 0.767913.82 82.94 7 3 0.734815.43 108.00 8 3 0.703216.88 134.98 9 3 0.672918.17 163.54 10 103 0.6439663.25 6632.50 765.90 7260.63 金額凸性=7260.63 凸性的計算凸性的計算 P y Ctt y n t t t Modified 1 2 )1 ( ) 1( )1 ( 1 比率凸性 修正凸性 P y Ctt n t t t Ratio 1 )1 ( ) 1( 凸性的計算凸性的計算 2 )( 2 1 yyD P

24、P mm 有效凸性 2 0 0 )(2 2 yV VVV effective 有效凸性有效凸性 100)(100 2 yyD P P effectiveeffective 例 4-11 yield=6%,V0 =134.67, yield=6.2%,V+ =131.84, yield=5.8%,V- =137.59 06.10 002. 067.1342 84.13159.137 )(2 0 yV VV Deffective 有效凸性有效凸性 %04.18 28. 332.21 10002. 096.8110002. 066.10 100)(100 2 2 yyD P P effectivee

25、ffective 當(dāng)當(dāng) yield 6%增加到增加到 8% 96.81 )002. 0(67.1342 67.134284.13159.137 )(2 2 22 0 0 yV VVV effective 凸性引入與債券價格估計的準(zhǔn)確性 當(dāng)市場利率變化很小時，利用持續(xù)期可以相對準(zhǔn)確地 估計出債券價格的變化。 例如，有一個20年期的附息債券，面值為9363.03，年 票面利息為1009.09。到期收益率曲線與前面例子相同。 該債券的金額持續(xù)期為900，現(xiàn)價為10000.03。 假定到期收益率曲線水平上升1個基點(diǎn)，債券價格將下 降到9991.03，下降幅度為9元。相似地，如果到期收 益率曲線水平下降

26、1個基點(diǎn)，債券價格將上升9元，達(dá) 到10009.03。 根據(jù)持續(xù)期，計算債券價格波動。由于金額持續(xù)期為 900。那么，到期收益率變化一個基點(diǎn)，債券價格變化 應(yīng)該為900*0.01=9。 凸性引入與債券價格估計的準(zhǔn)確性 當(dāng)市場利率變化幅度很大時，用持續(xù)期估計債券價格 會產(chǎn)生一定的誤差。例如，到期收益率曲線平行上升 200個基點(diǎn)，可以根據(jù)債券價格計算公式計算得到債券 的新價格應(yīng)該為8420.47，下降1579.56元。如果到期 收益率曲線平行下降200個基點(diǎn)，債券的新價格應(yīng)該為 12073.67，上升2073.64元。 根據(jù)持續(xù)期，計算債券價格波動。由于金額持續(xù)期為 900，那么，到期收益率變化2

27、00個基點(diǎn)（2個百分點(diǎn)）， 債券價格變化應(yīng)該為900*2=1800。 因此，當(dāng)市場利率變化很大的情況下，用持續(xù)期來估 計就有較大的誤差。 二、凸性的引入與債券價格估計的精確性 如果使用持續(xù)期和凸性，那么債券價格估計精度會有 所提高。本例中債券的凸性為122.36。因此，債券價 格變化為1555.28,與1579.56已經(jīng)很接近了. 28.15554*36.122* 2 1 1800 第三節(jié)第三節(jié) 持續(xù)期與凸性在風(fēng)險管理中的應(yīng)用持續(xù)期與凸性在風(fēng)險管理中的應(yīng)用 持續(xù)期與平衡點(diǎn)持續(xù)期與平衡點(diǎn) 免疫免疫 避險避險 持續(xù)期與凸性在組合風(fēng)險管理持續(xù)期與凸性在組合風(fēng)險管理 持續(xù)期與平衡點(diǎn)持續(xù)期與平衡點(diǎn) 平衡

28、點(diǎn)是指投資者面臨的價格風(fēng)險與再投資風(fēng) 險剛好相等，因而投資者所獲得的收益基本穩(wěn) 定，而不管利率如何變化。 例 4-12. 你在0時點(diǎn)上購買票面利率7%的債券， 價值 $1000。該債券期限10年，一年支付利息 一次。你的投資期為7.5年。該債券持續(xù)期為 7.5年。 在時點(diǎn)7.5,你累積的財富將大致相等,而不管在0 時點(diǎn)市場利率發(fā)生了怎樣的變化時點(diǎn)市場利率發(fā)生了怎樣的變化. 關(guān)于持續(xù)期作為平衡點(diǎn)的舉例關(guān)于持續(xù)期作為平衡點(diǎn)的舉例 如果在零時點(diǎn)利率為7%: 如果在債券購買(零時點(diǎn))后利率立即降到 4% 16614 .10346 .626 07. 1 1070 07. 1 70 07. 1 70 )0

29、7. 1 (70)07. 1 (70)07. 1 (70 5 . 25 . 15 . 0 5 . 05 . 55 . 6 5 .16687 .11048 .563 04. 1 1070 04. 1 70 04. 1 70 )04. 1 (70)04. 1 (70)04. 1 (70 5 . 25 . 15 . 0 5 . 05 . 55 . 6 關(guān)于持續(xù)期作為平衡點(diǎn)的舉例關(guān)于持續(xù)期作為平衡點(diǎn)的舉例 如果在債券購買(零時點(diǎn))后利率立即上升到10% 為什么? 價格風(fēng)險被再投資風(fēng)險抵銷 1 .16676 .9705 .696 1 . 1 1070 1 . 1 70 1 . 1 70 ) 1 . 1

30、(70) 1 . 1 (70) 1 . 1 (70 5 . 25 . 15 . 0 5 . 05 . 55 . 6 免疫 免疫的目標(biāo)是讓來自投資組合的收益滿 足負(fù)債的支付,而在投資后不必再增加額 外資本。 簡單地,免疫就是使資產(chǎn)和負(fù)債的現(xiàn)金流 量相吻合( “cash matching”)。 在不特別限制投資選擇的情況下, 免疫較 為容易實(shí)現(xiàn)。 誰來應(yīng)用誰來應(yīng)用 退休基金 壽險公司 商業(yè)銀行 免疫步驟免疫步驟 (1) 找到負(fù)債的持續(xù)期. (2) 選擇一個組合,該組合修正持續(xù)期等于前面 負(fù)債的持續(xù)期. (3) 選擇每個證券投資的數(shù)量,使得組合的現(xiàn)值 等于負(fù)債的現(xiàn)值. (4) 當(dāng)市場利率發(fā)生變化,或

31、者負(fù)債償還,調(diào)整投 資組合 例4-13: 單一負(fù)債的免疫 假定你10年后必須償還$1931,到期收益率是水平的, 為 10%. 負(fù)債的現(xiàn)值 負(fù)債的持續(xù)期 = 10 years 20年期債券,面值$1000,票面利率7%(一年支付),價格 $745,持續(xù)期大約為10年. 745 1 . 1 1931 10 例 4-13: 如果到期收益曲線在投資后立即發(fā)生變化: Yield Bond Value Liability Value 4% $1409 $1305 6% 1115 1078 8% 902 895 _ 10% 745 745 _ 12% 627 622 14% 536 521 16% 466

32、 438 例4-13 現(xiàn)在假定利率不是一次性的變化,而是: a) 利率立即降到 4%,并一直保持9年. b)在9.5年后利率漲到16%. 你可以看到,組合與負(fù)債不能很好匹配了. 這能證明免疫這種策略不行嗎? 當(dāng)然不能! 一旦市場利率發(fā)生變化,組合就得重新免疫. 例 4-13 在利率變化后,債券價格與持續(xù)期為 為了再免疫為了再免疫: 出售債券 買新債券或者債券組合,其持續(xù)期為10年 71.121408/ 04. 1 70 1408 04. 1 70 20 1 20 1 t t t t t D P 用債券組合免疫一組負(fù)債用債券組合免疫一組負(fù)債 目標(biāo)目標(biāo):找到最高到期收益率的債券組合來免疫一組已知找

33、到最高到期收益率的債券組合來免疫一組已知 負(fù)債負(fù)債 投資組合的修正持續(xù)期和現(xiàn)值, 必須與負(fù)債的修正持續(xù) 期和現(xiàn)值相匹配 例例 4-14:免疫一組負(fù)債免疫一組負(fù)債 負(fù)債: 1 year $100 2 years $200 3 years $50 第一步:根據(jù)當(dāng)期市場中債券的到期收益 率計算出負(fù)債的現(xiàn)值和持續(xù)期，從而得 到免疫曲線（immunization curve） 例例 4-14:免疫一組負(fù)債免疫一組負(fù)債 IRR PV 持續(xù)期 修正持續(xù)期 6% $314.32 1.833 1.729 7% $308. 96 1.830 1.710 8% $303.75 1.826 1.691 9% $298

34、.69 1.822 1.672 10% $293.76 1.818 1.653 例例 4-14:免疫一組負(fù)債免疫一組負(fù)債 第二步:分析哪些債券可以用來構(gòu)建組合,對于每一 種債券,都計算出到期收益率和持續(xù)期 利率 期限 $100面值 IRR 持續(xù)期 修正持續(xù)期 8 1 101.41 6.5% 1 .939 6.7 2 100.73 6.3% 1.937 1.822 9 5 107.34 7.2% 4.268 3.981 8.5 8 102.87 8.0% 6.1475 5.692 第三步:將債券和免疫曲線畫出 (修正 持續(xù)期 vs. 到期收益率). immunization curve diag

35、ram 0 1 2 3 4 5 6 0%2%4%6%8%10%12% IRR Modified duration Liability bonds 例例 4-14 本圖可以告訴我們哪種債券組合可以產(chǎn) 生最大的 IRR.在本例中,1年期債券與8年 期債券的組合或許會產(chǎn)生最高的到期收 益率. 也可以采用其他組合.你建議哪個組合? 剩下的事情是決定每種債券投資的數(shù)量, 使得: 1) 組合的現(xiàn)值等于負(fù)債的現(xiàn)值. 2) 持續(xù)期相等. 例例 4-14 根據(jù)已知的到期收益率,負(fù)債修正持續(xù)期大約為 1.7年. 1年期和8年期債券的組合權(quán)重為: X(0.939) + (1 X)(5.692) = 1.7 這意味著

36、 84%投資于1年期債券,而16%投資于 8年期債券. 例例 4-15 我們假設(shè)1年期債券的票面利率為6%,每年支付 一次;4年期債券的票面利率為8%,每年支付一 次.即期利率（折現(xiàn)率為10%）。投資者負(fù)債是 5年期分期付款，每年支付100。如何免疫負(fù)債? 例例 4-15 time cashflow discout f. PV t*PV 0 01 0 0 1 1000.9091 90.91 90.91 2 1000.8264 82.64 165.29 3 1000.7513 75.13 225.39 4 1000.683 68.3 237.21 5 1000.6209 62.09 310.46

37、 Total 379.07 1029.26 例例 4-15 1年期債券的持續(xù)期 time cashflow discout f. PV t*PV 0 0 1 0 0 1 106 0.909196.36 96.36 8 . 2379/1029 liability D 1 1 yr D 例例 4-15 4年期債券的持續(xù)期 time cashflow discout f. PV t*PV 0 0 1 0 0 1 80.90917.27 7.27 2 80.82646.61 13.22 3 80.75136.01 18.03 4 1080.683 73.77 295.58 total 93.66 33

38、4.1 56. 366.93/334 4 yr D 例例 4-15 負(fù)債的現(xiàn)值為負(fù)債的現(xiàn)值為$379.07$379.07，所以，所以$111.21$111.21投資于投資于1 1 年期債券年期債券,$267.86 ,$267.86 投資于投資于4 4年期債券年期債券. . 71. 0 29. 0 8 . 256. 31 1 2 1 22 21 相關(guān)問題相關(guān)問題 再免疫的頻率? 除了持續(xù)期之外,還要得到什么? 如何免疫一串負(fù)債? 在實(shí)踐中,免疫策略的效果如何? 持續(xù)期策略的基本方法 投資者為了讓他的權(quán)益資本達(dá)到一個既定的利率風(fēng)險 目標(biāo)（用持續(xù)期來表示），希望調(diào)整他的資產(chǎn)和負(fù)債， 他可以： 調(diào)整組

39、合中資產(chǎn)和負(fù)債以使權(quán)益有一個理想的持續(xù) 期，即 權(quán)益的市場價值等于組合中資產(chǎn)的價值減去負(fù)債的價值 i i N 權(quán)益 i iV NV 權(quán)益 2. 用持續(xù)期 和凸性來避險 避險是指利用一種證券給另外一種證券的價格 變化提供保護(hù)。 例 4-15: 做市商的資產(chǎn)組合的避險 一公司債券做市商在某交易日末尾，擁有5年 期公司債券面值$1mm，票面利率 6.9%（半年支付）， 價格為平價。該債券流動性很差，因此出售該債券會 遭受很大的損失。而隔夜持有該債券也有很大風(fēng)險， 因?yàn)槿绻袌隼噬仙?，該債券價格會下降。替代出 售該公司債券的做法有不少，其中之一是賣空 流動性 很強(qiáng)的國債。 例 4-16:做市商的資產(chǎn)

40、組合的避險 市場中有下面?zhèn)? 10年期，利率 8%的國債，價格P = $1,109.0（面值 $1,000） 3 年期，利率6.3% 的國債，價格P = $1,008.1 （面值 $1,000） a.為了避險，應(yīng)該賣空多少10年期國債？如果賣空3年 期國債，賣空多少？ b. 如果所有 債券到期收益率一夜之間上升 1%，該做 市商在了解自己的賣空頭寸之后，自己的交易結(jié)果如 何？ c. 如果他要賣空這兩種國債，那么10年期和3年期國債 各賣空多少？ 例例 4-16: 做市商的資產(chǎn)組合的避險做市商的資產(chǎn)組合的避險 為了回答 (a): 1. 找到被避險債券的修正持續(xù)期 2. 找到賣空債券的修正持續(xù)期

41、 3. 找到避險系數(shù)（ hedge ratios） 對于5年期公司債券而言，票面利率6.9%,平價交易。因此，y = 6.9% b.e.b., Dm = 4.1688 對于10年期國債而言，票面利率 8%,價格1109.0。因此，y=6.5% b.e.b, Dm=7.005 對于3年期國債而言，票面利率 6.3%,價格1008.1。因此，y = 6.00% b.e.b., Dm = 2.700 10年期國債賣空數(shù)量 x, solves: x(7.005) = $1mm(4.1688). x = $593,861.5 3年期國債賣空數(shù)量 y, solves: y(2.7) = $1mm(4.16

42、88). y = $1.54072 mm 例例 4-16: 做市商的資產(chǎn)組合的避險做市商的資產(chǎn)組合的避險 ( b): 如果全部債券的到期收益率一夜之間都上升了1%, 看一看做市商了解賣空頭寸后的交易結(jié)果 5年期公司債券年期公司債券 yield = 7.9%, = P= $959.344/$1000. 多多 頭損失頭損失 = $1mm(1-.959344) = $40,656 10年期國債yield = 7.5% = P= 1034.74/$1000. 1034.74/1109 = .933. (1-.933)(593,861.5) = $39,765.7 (贏利). 3年期債券 yield =

43、 7% = P= 981.35/$1000. 981.35/1,008.1 = .97346. (1-.97346)(1,540,720) = $40,891 (贏利.) 例 4-16: 做市商的資產(chǎn)組合的避險 c. 如果他要賣空這兩種國債，那么10年期和3年期國債 各賣空多少？ 為了避險,被避險公司債券的價值應(yīng)該等于避險債券價 值,而且資產(chǎn)和負(fù)債的持續(xù)期應(yīng)該相等: x(7.005) + (1-x)(2.7)=4.1688 x為10年期國債賣空的比重 持續(xù)期與凸性在投資組合中的應(yīng)持續(xù)期與凸性在投資組合中的應(yīng) 用用 其他因素都一樣,凸性被認(rèn)為是好的,對投資者是有價值 的.如何獲得? Barbel

44、ls vs. Bullets Bullet payment = 一次性支付 Barbell payments = 現(xiàn)金流量兩頭分布 給定到期收益率和修正持續(xù)期,票面利率越低,凸性越小. 與此相關(guān), bullets的凸性比 barbells來得小 這導(dǎo)致一種投資策略,即在其他因素都相同的情況下,選 擇 barbells 要優(yōu)于 bullets. 例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 有以下國債有以下國債,均為平價交易均為平價交易: Bond Coupon(%) Maturity (yrs) Yields Dm m A 8.5 5 8.5 4.00 19.81 B 9.5 20

45、 9.5 8.88 124.2 C 9.25 10 9.25 6.43 55.45 例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 兩種國債組合策略: (a) 只投資于 C (bullet strategy) (b) 投資于A 和 B ,組合的金額持續(xù)期等于 C. 也就是A 投資 50.2% ,B 投資 49.8%,因 為: .502(4.00) + .498(8.88) = 6.43 例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 組合經(jīng)理期望在市場利率變化后,barbell 表現(xiàn)得好一些. 所以該經(jīng)理或許愿意舍棄一點(diǎn)收益率,而獲得較高的凸 性. 因此, bullet的到

46、期收益率為 9.25%. 假定 barbell的到期收益率是兩個債券的加權(quán)平均,因此 barbell的到期收益率為: .502(8.5%) + .498(9.5%) = 8.998% 在本例中,該經(jīng)理為獲得凸性已經(jīng)舍棄了一些收益率. 注意到，債券組合的收益率一般不等于債券收益率的 加權(quán)平均，但當(dāng)兩者差別不是很大時可做近似處理。 例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 利率波動利率波動 水平移動水平移動 變平緩變平緩 變陡峭變陡峭 -5.0 -7.19 -10.69 -3.89 -4.0 -4.00 -6.88 -1.27 -3.5 -2.82 -5.44 -0.35 -2.0

47、 -0.59 -2.55 1.25 -1.0 0.06 -1.54 1.57 0.0 0.25 -1.06 1.48 2.0 -0.31 -1.18 0.49 2.75 -0.73 -1.46 -0.05 3.00 -0.88 -1.58 -0.24 3.75 -1.39 -1.98 -0.85 例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 yield ch -5-4-3-2-1022.753 level shift flatten steepen 例4-17: Bullet vs. Barbell 策略 變平緩意思是5年期到期收

48、益率比水平移動多漲 25 個 基點(diǎn),而20年期到期收益率比水平移動少漲25個基點(diǎn) 變陡峭意思是5年期到期收益率比水平移動少漲 25 個 基點(diǎn),而20年期到期收益率比水平移動多漲25個基點(diǎn) 上表說明的是在6個月的持有期間,bullet 收益金額減去 barbell收益金額后的結(jié)果 注意注意 barbell 策略不是永遠(yuǎn)好于策略不是永遠(yuǎn)好于bullet ,為什么為什么? 因?yàn)橥剐栽酱螅瑫r間效應(yīng)越低。兩者存在此消因?yàn)橥剐栽酱螅瑫r間效應(yīng)越低。兩者存在此消 彼長的關(guān)系。彼長的關(guān)系。 凸性在固定收益證券投資中的應(yīng)用 一般債券的凸性是個正數(shù)，因此凸性的存在改善了債券價格的風(fēng) 險狀況。因此，Grantier,

49、 J. B.寫了一篇“凸性與債券表現(xiàn)，越 彎越好”(Grantier J. B.Convexity and bond performance: The benter the better, Financial Analyst Journal Vol. 44 1988. )的文章。 固定收益證券管理中存在著努力實(shí)現(xiàn)組合凸性最大化 的動機(jī)。 參見 Douglas,L.G. Bond risk analysis :a guide to duration and convexity, New York Institute of Finance,1990 含權(quán)證券的凸性特征與傳統(tǒng)固定收益證券不同，這也給

50、投資者利 用這些證券的凸性進(jìn)行組合管理提供了機(jī)會。 債券的凸性與時間效應(yīng)是一對矛盾。當(dāng)債券的凸性效應(yīng)高時，時 間效應(yīng)就比較差。而當(dāng)凸性效應(yīng)較差時，時間效應(yīng)就比較好。因 此，不能簡單講，凸性越大越好。 凸性的引入與利率風(fēng)險回避 例如，有這樣兩種債券A、B。 償還期 票面利率 價格 到期收益率 金額持續(xù)期 比率持續(xù)期 金額凸性 投資額 面值額 A 10 10% 1026.85 9.6% 6935.9 6.75 125207 45.2144.03 B 1 10% 1013.76 8.5% 1013.8 1.0 1014 19.3719.11 組合 64.58 凸性的引入與利率風(fēng)險回避 投資者有100

51、萬元的負(fù)債，5年后到期，可以計算出這 筆負(fù)債的現(xiàn)價為64.58。負(fù)債的持續(xù)期為5。投資者用A、 B兩種債券進(jìn)行避險，那么 因此，A債券投資45.21萬元，B債券投資19.37萬元。 那么A債券購買面值為44.03萬元，B債券購買面值 19.11萬元。 5175. 6 1 BA BA 3 . 0, 7 . 0 BA 凸性的引入與利率風(fēng)險回避 組合的價值與負(fù)債的價值相等，組合持續(xù)期與負(fù)債的持續(xù)期也相。 那么能否實(shí)現(xiàn)避險呢？ 當(dāng)?shù)狡谑找媛是€平行上升20個基點(diǎn)時，負(fù)債的價值為639877元， 資產(chǎn)的價值為639971元。資產(chǎn)價值超過負(fù)債價值94元。 到期收益率曲線平行下降20個基點(diǎn)時，負(fù)債的價值為6

52、51711元， 資產(chǎn)的價值為651835元。資產(chǎn)價值超過負(fù)債價值124元。 當(dāng)市場利率變化幅度增大時，比如到期收益率曲線平行上升1個百 分點(diǎn)時，負(fù)債的價值為616974元，資產(chǎn)價值為617373元，資產(chǎn)價 值超過負(fù)債價值399元。當(dāng)?shù)狡谑找媛是€平行下降1個百分點(diǎn)時， 負(fù)債的價值為676177元，資產(chǎn)價值為676768元，資產(chǎn)價值超過負(fù) 債價值591元。 凸性的引入與利率風(fēng)險回避 上面的例子表明，不管市場利率發(fā)生什么樣的變化， 組合資產(chǎn)價值決不會小于負(fù)債的價值，而且利率變化 幅度越大，不管是向哪個方向變化，組合資產(chǎn)超過負(fù) 債的價值就越多。只有在利率不發(fā)生變化的時候，資 產(chǎn)價值與負(fù)債價值相等。 凸性的引入與利率風(fēng)險回避 分析其中的原因，不難理解，組合資產(chǎn)的凸性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大 于負(fù)債的凸性，本例中，資產(chǎn)的凸性為87949000，負(fù) 債的凸性為 16140000說明在市場利率下降時，資產(chǎn)價 值的上升會超過負(fù)債價值的上升；而當(dāng)市場利率上升 時，資產(chǎn)價值的下降幅度小于負(fù)債價值的下降幅度。 正因?yàn)槿绱?，組合資產(chǎn)的凸性越大，對投資者就越有 利。可以用圖形來表示。 上例說明，僅僅考慮持續(xù)期是不夠的，由于市場利率 隨時會發(fā)生變化，因此有必要讓組合資產(chǎn)的持續(xù)期等 負(fù)債的持續(xù)期的前提下，讓爭取