東北師范大學(xué)離線作業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、離線作業(yè)考核12126概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)滿分100分一、計(jì)算題(每題10分，共70分)1、已知隨機(jī)事件 A的概率P(A) 0.5，事件B的概率P(B) 0.6，條件概率P(B|A) 0.8，試求事件 A B的概率P(A B)。解：因?yàn)?P(A)=0.5, P(B 丨 A)=0.8,所以P(AB)= P(A)P(B I A)=0.4.進(jìn)而可得 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7.2、 設(shè)隨機(jī)變量 B(n,p)，且 E(X) 1.6, D(X ) 1.28，試求 n , p。解：因?yàn)殡S機(jī)變量廠B(n,p)，所以E(X)=np, D(X)=np(1-p),由此可得 np=1.6,np

2、(1-p)=1.28 , 解得 n=8, p=0.2;3、 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X N( 3, 2)，試求它的密度函數(shù)f(x)。E(3X-2)=4x ，試求(1)常數(shù)A ； ( 2)4、已知隨機(jī)變量 X的概率密度為p(x) Ae Ix,P 0 X 1。答：(1) 44 或 45(2) 0.9785、若隨機(jī)變量 X在區(qū)間0 , 1上服從均勻分布，試求它的標(biāo)準(zhǔn)差DX。解：因?yàn)殡S機(jī)變量X在區(qū)間0 , 1上服從均勻分布，所以它的方差具有形式如下:D(X)(b a)2122(1 0);進(jìn)而開根號可得它的標(biāo)準(zhǔn)差DX又如，當(dāng)隨機(jī)變量 X服從區(qū)間1 , 5上的均勻分布，則DX2(EX)的值可以如下計(jì)算：因?yàn)?E

3、(X)43，D(X) ，所以3DX2(EX)4 ；27，設(shè)隨機(jī)變量X互獨(dú)立，且 D(X) 3, D(Y) 4，D(X 4Y) DX 16DY =67。6、已知 E(X) 1, D(X) 3，試求 E3(X22)。解：已知E(X) 1, D(X) 3，則 E3(X22)可如下計(jì)算：利用均值的性質(zhì)可得E3(X22) 3E(X2) 6 ；又因?yàn)? 2E(X ) D(X) (E(X)，所E(X2)3 ( 1)24 ;代入上面式子可以求得E3(X22)6。7、設(shè)2是取自正態(tài)總體為的無偏估計(jì)量:N(23,1)的一個(gè)容量為2的樣本。試判斷下列三個(gè)估計(jì)量是否1，3并指出其中哪一個(gè)方差較小。解：因?yàn)槿∽哉齆( ,1)的樣本，所E( 1) E( 1)D(1)D(1) 1。又因?yàn)镋(?)1)3E(2)，1E(?2)1e(41E(?3)尹(所以三個(gè)估計(jì)量都是1)1)2)2)iE(的無偏估計(jì);D(?)又因?yàn)镈(?2)D(?3)9D(1)1訂1)D( 1)9D(2)9 怎 D(2) 1D( 2), 42所以3的方差最小。8，4、證明題（30分）1設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)向量 （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)4xy,0,0 x 1, 0 y 1;其他。證明：X與Y相互獨(dú)立。證明：可得兩