高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)

1、高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié)【】鑒于大家對(duì)查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)十分關(guān)注，小編在此為大 家搜集整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總 結(jié)，供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線經(jīng)典例題及總結(jié) 圓錐曲線1.圓錐曲線的兩定義：第一定義中要重視括號(hào)內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn) f ，f 的距離的和等于常數(shù) ，且此常數(shù) 一定要大于 ，當(dāng) 常數(shù)等于 時(shí)，軌跡是線段 f f ，當(dāng)常數(shù)小于 時(shí)，無(wú)軌跡; 雙曲線中，與兩定點(diǎn) f ，f 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù) ， 且此常數(shù) 一定要小于 |f f |，定義中的絕對(duì)值與 |f f |不 可忽視。若 =|f f |，則軌跡是以 f ，f 為端點(diǎn)的兩

2、條射線， 若 |f f |，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌 跡僅表示雙曲線的一支。2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心(頂點(diǎn))在原點(diǎn)， 坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程 )：(1) 橢圓：焦點(diǎn)在 軸上時(shí) ( )，焦點(diǎn)在 軸上時(shí) =1( )。方 程 表示橢圓的充要條件是什么 ?(abc0，且 a，b，c 同號(hào)， ab)。(2) 雙曲線：焦點(diǎn)在 軸上： =1，焦點(diǎn)在 軸上： =1( )。方 程 表示雙曲線的充要條件是什么?(abc0，且 a，b 異號(hào))。第 1 頁(yè)(3)拋物線：開口向右時(shí) ，開口向左時(shí) ，開口向上時(shí) ，開 口向下時(shí) 。3.圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷 (首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然

3、后再判 斷)：(1)橢圓：由 , 分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。 (2)雙曲線：由 , 項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐 標(biāo)軸上;(3)拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定 開口方向。提醒：在橢圓中， 最大， ，在雙曲線中， 最大， 。 4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：(1)橢圓(以 ( )為例)：范圍： ;焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn) ; 對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸 ，一個(gè)對(duì)稱中心(0,0)，四個(gè)頂點(diǎn) ， 其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 2 ，短軸長(zhǎng)為 2 ;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線 ; 離 心率： ，橢圓 ， 越小，橢圓越圓; 越大，橢圓越扁。 (2)雙曲線(以 ( )為例)：范圍： 或 ;焦點(diǎn)：兩個(gè)焦 點(diǎn) ;對(duì)稱性：兩

4、條對(duì)稱軸 ，一個(gè)對(duì)稱中心(0,0)，兩個(gè)頂 點(diǎn) ，其中實(shí)軸長(zhǎng)為 2 ，虛軸長(zhǎng)為 2 ，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛 軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為 ;準(zhǔn)線： 兩條準(zhǔn)線 ; 離心率： ，雙曲線 ，等軸雙曲線 ， 越小， 開口越小， 越大，開口越大;兩條漸近線： 。(3)拋物線(以 為例)：范圍： ;焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn) ，其第 2 頁(yè)中 的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離;對(duì)稱性：一條對(duì)稱 軸 ，沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)(0,0);準(zhǔn)線：一條準(zhǔn) 線 ; 離心率： ，拋物線 。5、點(diǎn) 和橢圓 ( )的關(guān)系：(1)點(diǎn) 在橢圓外 ;(2)點(diǎn) 在橢圓 上 =1;(3)點(diǎn) 在橢圓內(nèi)6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：

5、(1) 相交： 直線與橢圓相交; 直線與雙曲線相交，但直線與 雙曲線相交不一定有 ，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)， 直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故 是直線與雙曲線相 交的充分條件，但不是必要條件 ; 直線與拋物線相交，但直 線與拋物線相交不一定有 ，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行 時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故 也僅是直線與 拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。(2) 相切： 直線與橢圓相切; 直線與雙曲線相切; 直線與拋 物線相切;(3) 相離： 直線與橢圓相離; 直線與雙曲線相離; 直線與拋 物線相離。提醒：(1)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置 關(guān)系有兩種情形：相切和

6、相交。如果直線與雙曲線的漸近線 平行時(shí),直線與雙曲線相交 ,但只有一個(gè)交點(diǎn);如果直線與拋 物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交 ,也只有一個(gè)交點(diǎn);(2) 過(guò)雙曲線 =1 外一點(diǎn) 的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情第 3 頁(yè)況如下：p 點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)， 有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩 條切線，共四條;p 點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū) 域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切 的兩條切線，共四條;p 在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩 條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線;p 為原 點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線 ;(3)過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直

7、線 和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱 軸的直線。7、 焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三 角形)問題： ，當(dāng) 即 為短軸端點(diǎn)時(shí)， 的最大值為 bc;對(duì)于 雙曲線 。 如 (1)短軸長(zhǎng)為 ，8、 拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：(1)以過(guò) 焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切 ;(2)設(shè) ab 為焦點(diǎn)弦， m 為 準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)，則 amf=(3)設(shè) ab 為焦點(diǎn)弦，a、b 在準(zhǔn) 線上的射影分別為 a ，b ，若 p 為 a b 的中點(diǎn)，則 pa(4) 若 ao 的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于 c，則 bc 平行于 x 軸，反之，若過(guò) b 點(diǎn)平行于 x 軸的直線交準(zhǔn)

8、線于 c 點(diǎn)，則 a，o，c 三點(diǎn)共線。 9、弦長(zhǎng)公式：若直線 與圓錐曲線相交于兩點(diǎn) a、b，且 分 別為 a、b 的橫坐標(biāo)，則 = ，若 分別為 a、b 的縱坐標(biāo)，則 = ，若弦 ab 所在直線方程設(shè)為 ，則 = 。特別地，焦點(diǎn)弦(過(guò) 焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，第 4 頁(yè)而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求 解。拋物線：在雙曲線 中，以 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 k= ;在拋物線 中，以 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率 k= 。提醒：因?yàn)?是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故 在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn) !11.了解下列結(jié)論(1) 雙曲

9、線 的漸近線方程為 ;(2) 以 為漸近線 (即與雙曲線 共漸近線)的雙曲線方程為 為參數(shù)， 0)。(3) 中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè) 為 ;(4) 橢圓、雙曲線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦)為 ， 焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離 )為 ，拋物線的通徑為 ，焦 準(zhǔn)距為 ;(5) 通徑是所有焦點(diǎn)弦 (過(guò)焦點(diǎn)的弦)中最短的弦;(6) 若拋物線 的焦點(diǎn)弦為 ab， ，則 ;(7) 若 oa、ob 是過(guò)拋物線 頂點(diǎn) o 的兩條互相垂直的弦，則 直線 ab 恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)12、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容：(1) 給出直線的方向向量 或 ;第 5 頁(yè)(2) 給出 與 相交,

10、等于已知 過(guò) 的中點(diǎn);(3) 給出 ,等于已知 是 的中點(diǎn);(4) 給出 ,等于已知 與 的中點(diǎn)三點(diǎn)共線;(2) 給出以下情形之一： ;存在實(shí)數(shù) ;若存在實(shí)數(shù) , 等于已知 三點(diǎn)共線.(3) 給出 , 等于已知 , 即 是直角 ,給出 ,等于已知 是鈍角, 給出 ,等于已知 是銳角,(8) 給出 ,等于已知 是 的平分線 /(9) 在平行四邊形 中，給出 ，等于已知 是菱形;(8) 在平行四邊形 中，給出 ，等于已知 是矩形;(8) 在 中，給出 ，等于已知 是 的外心(三角形外接圓的 圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)); (12) 在 中，給出 ，等于已知 是 的重心(三角形的

11、重心是 三角形三條中線的交點(diǎn) );(13) 在 中，給出 ，等于已知 是 的垂心(三角形的垂心是 三角形三條高的交點(diǎn));(14) 在 中，給出 等于已知 通過(guò) 的內(nèi)心;(15) 在 中，給出 等于已知 是 的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓 心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn));(13) 在 中，給出 ,等于已知 是 中 邊的中線;(3)已知 a,b 為拋物線 x2=2py(p0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)， ，點(diǎn) c 坐標(biāo)為(0，2p)第 6 頁(yè)(1) 求證：a,b,c 三點(diǎn)共線;(2) 若 = ( )且 試求點(diǎn) m 的軌跡方程。(1)證明：設(shè) ，由 得，又， ，即 a,b,c 三點(diǎn)共線。(2)由(1)

12、知直線 ab 過(guò)定點(diǎn) c，又由 及 = ( )知 omab，垂足 為 m，所以點(diǎn) m 的軌跡為以 oc 為直徑的圓，除去坐標(biāo)原點(diǎn)。 即點(diǎn) m 的軌跡方程為 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。13.圓錐曲線中線段的最值問題：例 1、(1)拋物線 c:y2=4x 上一點(diǎn) p 到點(diǎn) a(3,4 )與到準(zhǔn)線的 距離和最小,則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為_(2)拋物線 c: y2=4x 上一點(diǎn) q 到點(diǎn) b(4,1)與到焦點(diǎn) f 的距離 和最小,則點(diǎn) q 的坐標(biāo)為 。分析：(1)a 在拋物線外，如圖，連 pf，則 ，因而易發(fā)現(xiàn)， 當(dāng) a、p、f 三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。(2)b 在拋物線內(nèi)，如圖，作 qrl

13、交于 r，則當(dāng) b、q、r 三點(diǎn) 共線時(shí)，距離和最小。 解：(1)(2， )(2)( )1、已知橢圓 c1 的方程為 ，雙曲線 c2 的左、右焦點(diǎn)分別為 c1 的左、右頂點(diǎn)，而 c2 的左、右頂點(diǎn)分別是 c1 的左、右焦 點(diǎn)。(1) 求雙曲線 c2 的方程;(2) 若直線 l：與橢圓 c1 及雙曲線 c2 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，第 7 頁(yè)且 l 與 c2 的兩個(gè)交點(diǎn) a 和 b 滿足 (其中 o 為原點(diǎn))，求 k 的 取值范圍。解：()設(shè)雙曲線 c2 的方程為 ，則故 c2 的方程為 (ii)將由直線 l 與橢圓 c1 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即 .由直線 l 與雙曲線 c2 恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) a

14、，b 得解此不等式得 由、得故 k 的取值范圍為在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知點(diǎn) a(0,-1)，b 點(diǎn)在直線 y = -3 上，m 點(diǎn)滿足 mb/oa， maab = mbba，m 點(diǎn)的軌跡為曲線 c。()求 c 的方程;()p 為 c 上的動(dòng)點(diǎn)，l 為 c 在 p 點(diǎn)處得切 線，求 o 點(diǎn)到 l 距離的最小值。()設(shè) m(x,y),由已知得 b(x,-3),a(0,-1).所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2). 再由愿意得知( + ) =0, 即(-x,-4-2y) (x,-2)=0.所以曲線 c 的方程式為 y= x -2. ()設(shè) p(x ,y )為曲

15、線 c： y= x -2 上一點(diǎn)，因?yàn)?y = x,所以 的斜率為 x 因此直線 的 方程為 ，即 。則 o 點(diǎn)到 的距離 .又 ，所以第 8 頁(yè)當(dāng) =0 時(shí)取等號(hào)，所以 o 點(diǎn)到 距離的最小值為 2.設(shè)雙曲線 (a0)的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲 線的離心率等于( )設(shè)雙曲線 的一條漸近線，則雙曲線的離心率為( ). 過(guò)橢圓 ( )的左焦點(diǎn) 作 軸的垂線交橢圓于點(diǎn) ， 為右焦點(diǎn)， 若 ，則橢圓的離心率為已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別是 、 ，其一條漸近線方程 為 ，點(diǎn) 在雙曲線上.則 =( )0已知直線 與拋物線 相交于 兩點(diǎn)， 為 的焦點(diǎn)，若 ，則 ( ) 已知直線 和直

16、線 ，拋物線 上一動(dòng)點(diǎn) 到直線 和直線 的距 離之和的最小值是 ( )設(shè)已知拋物線 c 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 f(1，0)，直線 l 與拋物線 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)。若 ab 的中點(diǎn)為(2，2)，則 直線 l 的方程為_.橢圓 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) p 在橢圓上，若 ，則 ; 的大小為 . 過(guò)拋物線 的焦點(diǎn) f 作傾斜角為 的直線交拋物線于 a、b 兩 點(diǎn)，若線段 ab 的長(zhǎng)為 8，則 _【解析】設(shè)切點(diǎn) ，則切線的斜率為 .由題意有 又 解得: 雙曲線 的一條漸近線為 ,由方程組 ,消去 y,得 有唯一解 , 所以,所以 ,由漸近線方程為 知雙曲線是等軸雙曲線，雙曲線方程是 ， 于是兩焦點(diǎn)坐

17、標(biāo)分別是 (-2，0)和(2，0)，且 或 .不妨去 ，第 9 頁(yè)則 ， .【解析】設(shè)拋物線 的準(zhǔn)線為 直線恒過(guò)定點(diǎn) p .如圖過(guò) 分 別作 于 , 于 , 由 ,則 ,點(diǎn) b 為 ap 的中點(diǎn).連結(jié) ,則 ,點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 , 故點(diǎn) 的坐標(biāo)為, 故選 d1. 點(diǎn) p 處的切線 pt 平分pf1f2 在點(diǎn) p 處的外角.2. pt 平分pf1f2 在點(diǎn) p 處的外角，則焦點(diǎn)在直線 pt 上的 射影 h 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3. 以焦點(diǎn)弦 pq 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離 .4. 以焦點(diǎn)半徑 pf1 為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切. 5. 若 在橢圓 上，則過(guò)

18、的橢圓的切線方程是 .6. 若 在橢圓 外 ，則過(guò) po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為 p1、 p2，則切點(diǎn)弦 p1p2 的直線方程是 .7. 橢圓 (a0)的左右焦點(diǎn)分別為 f1，f 2，點(diǎn) p 為橢圓上任 意一點(diǎn) ，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為 .8. 橢圓 (a0)的焦半徑公式：9. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn) f 作直線與橢圓相交 p、q 兩點(diǎn)，a 為橢圓 長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) ap 和 aq 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) f 的橢圓 準(zhǔn)線于 m、n 兩點(diǎn)，則 mfnf.10. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) f 的直線與橢圓交于兩點(diǎn) p、q, a1、a2 為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，a1p 和 a2q 交于點(diǎn) m，a2p 和 a1q 交于第

19、10 頁(yè)點(diǎn) n，則 mfnf.11. ab 是橢圓 的不平行于對(duì)稱軸的弦，m 為 ab 的中點(diǎn)，則 ， 即 。12. 若 在橢圓 內(nèi)，則被 po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是 . 13. 若 在橢圓 內(nèi)，則過(guò) po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 .二、雙曲線1. 點(diǎn) p 處的切線 pt 平分pf1f2 在點(diǎn) p 處的內(nèi)角.2. pt 平分pf1f2 在點(diǎn) p 處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 pt 上的 射影 h 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn). 3. 以焦點(diǎn)弦 pq 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交 .4. 以焦點(diǎn)半徑 pf1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：p 在右支;外切：p 在左支)5.

20、 若 在雙曲線 (a0)上，則過(guò) 的雙曲線的切線方程是 . 6. 若 在雙曲線 (a0)外 ，則過(guò) po 作雙曲線的兩條切線切 點(diǎn)為 p1、p2，則切點(diǎn)弦 p1p2 的直線方程是 .7. 雙曲線 (ao)的左右焦點(diǎn)分別為 f1，f 2，點(diǎn) p 為雙曲線 上任意一點(diǎn) ，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為 .8. 雙曲線 (ao)的焦半徑公式：( ,當(dāng) 在右支上時(shí)， , .當(dāng) 在左支上時(shí)， ,9. 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn) f 作直線與雙曲線相交 p、q 兩點(diǎn)，a 為 雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) ap 和 aq 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) f第 11 頁(yè)的雙曲線準(zhǔn)線于 m、n 兩點(diǎn)，則 mfnf.10. 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) f

21、 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) p、q, a1、 a2 為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，a1p 和 a2q 交于點(diǎn) m，a2p 和 a1q 交于點(diǎn) n，則 mfnf.11. ab 是雙曲線 (a0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，m 為 ab 的中 點(diǎn)，則 ，即 。12. 若 在雙曲線 (a0)內(nèi)，則被 po 所平分的中點(diǎn)弦的方程 是 .13. 若 在雙曲線 (a0)內(nèi)，則過(guò) po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 . 橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)橢 圓1. 橢圓 (ao)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 , ，與 y 軸平行的直線交橢圓 于 p1、p2 時(shí) a1p1 與 a2p2 交點(diǎn)的軌跡方程是 .2. 過(guò)橢圓 (a0)上任一點(diǎn)

22、任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交 橢圓于 b,c 兩點(diǎn)，則直線 bc 有定向且 (常數(shù)).3. 若 p 為橢圓 (a0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f1, f 2 是焦 點(diǎn), , ，則 .4. 設(shè)橢圓 (a0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 f1、f2,p(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn) )為橢 圓上任意一點(diǎn)，在pf1f2 中，記 , , ，則有 .5. 若橢圓 (a0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1、f2，左準(zhǔn)線為 l， 則當(dāng) 06. p 為橢圓 (a0)上任一點(diǎn),f1,f2 為二焦點(diǎn)，a 為橢圓內(nèi)一第 12 頁(yè)定點(diǎn)，則 ,當(dāng)且僅當(dāng) 三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.7. 橢圓 與直線 有公共點(diǎn)的充要條件是 .8. 已知橢圓 (a0)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，

23、 p、q 為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)， 且 .(1) ;(2)|op|2+|oq|2 的最大值為 ;(3) 的最小值是 . 9. 過(guò)橢圓 (a0)的右焦點(diǎn) f 作直線交該橢圓右支于 m,n 兩 點(diǎn)，弦 mn 的垂直平分線交 x 軸于 p，則 .10. 已知橢圓 ( a0) ,a、b、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 ab 的 垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn) , 則 .11. 設(shè) p 點(diǎn)是橢圓 ( a0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,f1、f2 為其焦點(diǎn)記 ，則(1) .(2) .12. 設(shè) a、b 是橢圓 ( a0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，p 是橢圓上的一 點(diǎn)， , , ，c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有 (1) .(2) .

24、(3) .13. 已知橢圓 ( a0)的右準(zhǔn)線 與 x 軸相交于點(diǎn) ，過(guò)橢圓右 焦點(diǎn) 的直線與橢圓相交于 a、b 兩點(diǎn),點(diǎn) 在右準(zhǔn)線 上，且 軸，則直線 ac 經(jīng)過(guò)線段 ef 的中點(diǎn).14. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的 圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)， 則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直 .16. 橢圓焦三角形中 ,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端 點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) e(離心率).第 13 頁(yè)(注:在橢圓焦三角形中 ,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸 交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn) .)17. 橢圓焦三角

25、形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定 比 e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比 例中項(xiàng).雙曲線1. 雙曲線 (a0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 , ，與 y 軸平行的直線交雙 曲線于 p1、p2 時(shí) a1p1 與 a2p2 交點(diǎn)的軌跡方程是 . 2. 過(guò)雙曲線 (ao)上任一點(diǎn) 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線 交雙曲線于 b,c 兩點(diǎn)，則直線 bc 有定向且 (常數(shù)). 3. 若 p 為雙曲線 (a0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),f1, f 2 是焦點(diǎn), , ，則 (或 ).4. 設(shè)雙曲線 (a0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 f1、f2,p(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)) 為雙曲線上任意一點(diǎn)，在pf1f2 中，

26、記 , , ，則有 . 5. 若雙曲線 (a0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1、f2，左準(zhǔn)線為 l， 則當(dāng) 16. p 為雙曲線 (a0)上任一點(diǎn),f1,f2 為二焦點(diǎn)，a 為雙曲線 內(nèi)一定點(diǎn)，則 ,當(dāng)且僅當(dāng) 三點(diǎn)共線且 和 在 y 軸同側(cè)時(shí)， 等號(hào)成立.7. 雙曲線 (a0)與直線 有公共點(diǎn)的充要條件是 .8. 已知雙曲線 (b0)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、q 為雙曲線上兩動(dòng)第 14 頁(yè)點(diǎn)，且 .(1) ;(2)|op|2+|oq|2 的最小值為 ;(3) 的最小值是 .9. 過(guò)雙曲線 (a0)的右焦點(diǎn) f 作直線交該雙曲線的右支于 m,n 兩點(diǎn)，弦 mn 的垂直平分線交 x 軸于 p，則 .10.

27、已知雙曲線 (a0),a、b 是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 ab 的 垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn) , 則 或 .11. 設(shè) p 點(diǎn)是雙曲線 (a0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,f1、f2 為其焦點(diǎn)記 ，則(1) .(2) .12. 設(shè) a、b 是雙曲線 (a0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， p 是雙曲線上的 一點(diǎn)， , , ，c、e 分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) . (2) .(3) .13. 已知雙曲線 (a0)的右準(zhǔn)線 與 x 軸相交于點(diǎn) ，過(guò)雙曲 線右焦點(diǎn) 的直線與雙曲線相交于 a、b 兩點(diǎn),點(diǎn) 在右準(zhǔn)線 上，且 軸，則直線 ac 經(jīng)過(guò)線段 ef 的中點(diǎn).14. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線

28、，與以長(zhǎng)軸為直 徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直. 15. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于 一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中 ,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為 端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng) 軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).第 15 頁(yè)17. 雙曲線焦三角形中 ,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂 點(diǎn)連線段分成定比 e.18. 雙曲線焦三角形中 ,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心 的比例中項(xiàng).其他常用公式：1、連結(jié)圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用 方程的根與系數(shù)關(guān)

29、系來(lái)計(jì)算弦長(zhǎng)，常用的弦長(zhǎng)公式： 2、直線的一般式方程：任何直線均可寫成 (a,b 不同時(shí)為 0)的形式。3、知直線橫截距 ，常設(shè)其方程為 (它不適用于斜率為 0 的 直線)與直線 垂直的直線可表示為 。4、 兩平行線 間的距離為 。5、 若直線 與直線 平行則 (斜率)且 (在 軸上截距) (充要條件 )6、 圓的一般方程： ，特別提醒：只有當(dāng) 時(shí)，方程 才表示 圓心為 ，半徑為 的圓。二元二次方程 表示圓的充要條件 是 且 且 。7、 圓的參數(shù)方程： ( 為參數(shù))，其中圓心為 ，半徑為 。 圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元： ;6、 為直徑端點(diǎn)的圓方程切線長(zhǎng)：過(guò)圓 ( )外一點(diǎn) 所引圓的切線

30、的長(zhǎng)為 ( )第 16 頁(yè)9、弦長(zhǎng)問題：圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距 ，弦長(zhǎng)一半 及圓的半徑 所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解： ;過(guò)兩圓 、 交 點(diǎn)的圓(公共弦)系為 ，當(dāng) 時(shí)，方程 為兩圓公共弦所在直 線方程.。攻克圓錐曲線解答題的策略:為幫助高三學(xué)生學(xué)好圓錐曲線解答題，提高成績(jī)，戰(zhàn)勝高 考，可從四個(gè)方面著手：知識(shí)儲(chǔ)備、方法儲(chǔ)備、思維訓(xùn)練、 強(qiáng)化訓(xùn)練。：知識(shí)儲(chǔ)備 方法儲(chǔ)備 思維訓(xùn)練 強(qiáng)化訓(xùn)練第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式(1) 直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截 距式、一般式。(2) 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容1 傾斜角與斜率2 點(diǎn)到直線的距離 夾角公式：(3)弦長(zhǎng)公式直線 上兩點(diǎn) 間的

31、距離：或(4)兩條直線的位置關(guān)系 =-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)第 17 頁(yè)(1)、橢圓的方程的形式有幾種 ?(三種形式)標(biāo)準(zhǔn)方程：距離式方程：參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程：距離式方程：(3)、 三種圓錐曲線的通徑你記得嗎?(4)、 圓錐曲線的定義你記清楚了嗎?如：已知 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn) m 滿足 則 動(dòng)點(diǎn) m 的軌跡是( )a、雙曲線;b、雙曲線的一支;c、兩條射線;d、一條射線 (5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：(其中 )(6)、記住焦半徑公式：(1) ，可簡(jiǎn)記為左加右減，上加下 減。(2)(3)(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎?第二、方法儲(chǔ)備1

32、、點(diǎn)差法(中點(diǎn)弦問題 )設(shè) 、 ， 為橢圓 的弦 中點(diǎn)則有第 18 頁(yè)， ;兩式相減得2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的 問題嗎?經(jīng)典套路是什么?如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦?設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)， 得到一個(gè)二次方程，使用判別式 ，以及根與系數(shù)的關(guān)系， 代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn) ，將這兩點(diǎn)代入曲線方程 得到 12 兩個(gè)式子，然后1 2，整體消元，若有兩個(gè) 字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過(guò) 焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn) a、b、f 共線解決之。若有向量的關(guān) 系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線為 ，就意味著 k

33、 存在。例 1、已知三角形 abc 的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓 上，且點(diǎn) a 是橢 圓短軸的一個(gè)端點(diǎn) (點(diǎn) a 在 y 軸正半軸上).(1) 若三角形 abc 的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 bc 的方 程;(2) 若角 a 為 ，ad 垂直 bc 于 d，試求點(diǎn) d 的軌跡方程.分析：第一問抓住重心，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出 中點(diǎn)弦 bc 的斜率，從而寫出直線 bc 的方程。第二問抓住角 a 為 可得出 abac，從而得 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法 求出點(diǎn) d 的軌跡方程;解：(1)設(shè) b( , ),c( , ),bc 中點(diǎn)為( ),f(2,0)則有 兩式作差有 (1)第 19 頁(yè)f(2,0

34、)為三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入(1)得 直線 bc 的方程為2)由 abac 得 (2)設(shè)直線 bc 方程為 ，得代入(2)式得，解得 或直線過(guò)定點(diǎn)(0， ，設(shè) d(x,y)，則 ，即所以所求點(diǎn) d 的軌跡方程是 。4、設(shè)而不求法例 2、如圖，已知梯形 abcd 中 ，點(diǎn) e 分有向線段 所成的比 為 ，雙曲線過(guò) c、d、e 三點(diǎn)，且以 a、b 為焦點(diǎn)當(dāng) 時(shí)，求 雙曲線離心率 的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線 的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問 題的能力。建立直角坐標(biāo)系 ，如圖，若設(shè) c ，代入 ，求得 ， 進(jìn)而求得 再代入 ，

35、建立目標(biāo)函數(shù) ，整理 ，此運(yùn)算量可見 是難上加難.我們對(duì) 可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù) ，整理 ,化繁為簡(jiǎn) .解法一：如圖，以 ab 為垂直平分線為 軸，直線 ab 為 軸， 建立直角坐標(biāo)系 ，則 cd 軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) c、d，且以 a、 b 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知 c、d 關(guān)于 軸對(duì)稱依題意，記 a ，c ，e ，其中 為雙曲線的半焦距， 是梯形第 20 頁(yè)的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得設(shè)雙曲線的方程為 ，則離心率由點(diǎn) c、e 在雙曲線上，將點(diǎn) c、e 的坐標(biāo)和 代入雙曲線方 程得由式得 ， 將式代入式，整理得故由題設(shè) 得，解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為分析：考慮 為焦半徑

36、,可用焦半徑公式, 用 的橫坐標(biāo)表示， 回避 的計(jì)算, 達(dá)到設(shè)而不求的解題策略 .解法二：建系同解法一， ，又 ，代入整理 ，由題設(shè) 得，解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為5、判別式法例 3 已知雙曲線 ，直線 過(guò)點(diǎn) ，斜率為 ，當(dāng) 時(shí)，雙曲線 的上支上有且僅有一點(diǎn) b 到直線 的距離為 ，試求 的值及 此時(shí)點(diǎn) b 的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科， 因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從有第 21 頁(yè)且僅有這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) b 作與 平 行的直線，必與雙曲線 c 相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所 構(gòu)造方程的判別式 . 由此出發(fā)

37、，可設(shè)計(jì)如下解題思路： 解題過(guò)程略.分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代 數(shù)式表達(dá)，即所謂有且僅有一點(diǎn) b 到直線 的距離為 ，相當(dāng) 于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路： 簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn) 為雙曲線 c 上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn) m 到直線 的距 離為：于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于 的方程.由于 ，所以 ，從而有于是關(guān)于 的方程由 可知：方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等價(jià)于例 4 已知橢圓 c: 和點(diǎn) p(4，1)，過(guò) p 作直線交橢圓于 a、b 兩點(diǎn)，在線段 ab 上取點(diǎn) q，使 ，求動(dòng)點(diǎn) q 的軌跡所在曲線 的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾

38、，學(xué) 生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過(guò)參 數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) q 的 橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的. 由于點(diǎn) 的變化是由直線 ab 的變化引起的，自然可選擇直線第 22 頁(yè)ab 的斜率 作為參數(shù)，如何將 與 聯(lián)系起來(lái) ?一方面利用點(diǎn) q 在直線 ab 上;另一方面就是運(yùn)用題目條件： 來(lái)轉(zhuǎn)化.由 a、b、 p、q 四點(diǎn)共線，不難得到 ，要建立 與 的關(guān)系，只需將直 線 ab 的方程代入橢圓 c 的方程，利用韋達(dá)定理即可 . 通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但 對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到 之后

39、，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參， 目的不過(guò)是得到關(guān)于 的方程(不含 k)，則可由 解得 ，直接 代入 即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè) ，則由 可得： ，解之得： (1)設(shè)直線 ab 的方程為： ，代入橢圓 c 的方程，消去 得出關(guān) 于 x 的一元二次方程：(2)代入(1)，化簡(jiǎn)得： (3)與 聯(lián)立，消去 得：在(2)中，由 ，解得 ，結(jié)合(3)可求得6、求根公式法例 5 設(shè)直線 過(guò)點(diǎn) p(0，3)，和橢圓 順次交于 a、b 兩點(diǎn)，試 求 的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： = ，但從此后卻 一籌莫展, 問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠 . 事實(shí)第 2

40、3 頁(yè)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量 關(guān)于某個(gè)(或某幾個(gè) )參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程)，這只需利 用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施 ;其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān) 系.分析 1: 從第一條想法入手， = 已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于 有兩個(gè)變量 ，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然 想到利用第 3 個(gè)變量直線 ab 的斜率 k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方 程，消去 y 得出關(guān)于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲 出.簡(jiǎn)解 1：當(dāng)直線 垂直于 x 軸時(shí)，可求得 ;當(dāng) 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè) ，直線 的方程為： ，代入橢圓方 程，消去

41、 得解之得因?yàn)闄E圓關(guān)于 y 軸對(duì)稱，點(diǎn) p 在 y 軸上，所以只需考慮 的 情形.當(dāng) 時(shí)， ， ，所以 = = = .由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析 2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：第 24 頁(yè)判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以 很快確定 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 聯(lián) 系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但 本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于 不是關(guān)于 的對(duì)稱關(guān) 系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們 可以構(gòu)造關(guān)于 的對(duì)稱關(guān)系式.簡(jiǎn)解 2：設(shè)直線 的方程為： ，代入橢圓方程，消去 得 則令 ，則，在(*)

42、中，由判別式 可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并 不能說(shuō)明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí) 質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn) 籌帷幄，方能決勝千里 .第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題 的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué) 命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕?題方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推 理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系 (充分性、 必要性、充要性等 )，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過(guò)編寫 思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高

43、解題能力。第 25 頁(yè)例 6 橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 ， 為橢圓中心， 為橢圓的右焦點(diǎn)， 且 ， .()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ;()記橢圓的上頂點(diǎn)為 ，直線 交橢圓于 兩點(diǎn)，問：是否 存在直線 ，使點(diǎn) 恰為 的垂心?若存在，求出直線 的方程; 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程：解題過(guò)程：()如圖建系，設(shè)橢圓方程為 ,則又 即 ，故橢圓方程為()假設(shè)存在直線 交橢圓于 兩點(diǎn)，且 恰為 的垂心，則 設(shè) ， ，故 ，于是設(shè)直線 為 ，由 得， 又得 即由韋達(dá)定理得解得 或 (舍) 經(jīng)檢驗(yàn) 符合條件.點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后 轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零 .例 7、已知橢圓 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦

44、點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng) 過(guò) 、 、 三點(diǎn).第 26 頁(yè)()求橢圓 的方程：()若點(diǎn) d 為橢圓 上不同于 、 的任意一點(diǎn)， ，當(dāng) 內(nèi)切 圓的面積最大時(shí)，求 內(nèi)心的坐標(biāo);思維流程：解題過(guò)程： ()設(shè)橢圓方程為 ，將 、 、 代入橢圓 e 的 方程，得解得 .橢圓 的方程 .() ，設(shè) 邊上的高為當(dāng)點(diǎn) 在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)， 最大為 ，所以 的最大值為 . 設(shè) 的內(nèi)切圓的半徑為 ，因?yàn)?的周長(zhǎng)為定值 6.所以， 所以 的最大值為 .所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 .點(diǎn)石成金：例 8、已知定點(diǎn) 及橢圓 ，過(guò)點(diǎn) 的動(dòng)直線與橢圓相交于 兩 點(diǎn).()若線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ，求直線 的方程;()在 軸上是否存在點(diǎn) ，使 為常數(shù)?若存在，求出點(diǎn) 的 坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理