2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案新人教A版必修5

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案新人教a版必修52020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案新人教a版必修5年級(jí)：姓名：11正弦定理和余弦定理11.1正弦定理內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理2.了解正弦定理的變形，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理應(yīng)用直觀想象授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第1頁(yè)基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)一正弦定理在任意三角形中，有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，能否得到這個(gè)邊角關(guān)系的準(zhǔn)確量化？(1)如圖，在rtabc中，分別等于什么？三者有什么關(guān)系？提示：要聯(lián)系正弦函數(shù)的

2、定義(c，c，c，三者相等)(2)在一般銳角三角形中，還成立嗎？提示：成立(3)如圖，abc的角b為鈍角，如何驗(yàn)證，的關(guān)系？提示：要構(gòu)造直角三角形設(shè)ab邊上的高為cd，如圖根據(jù)三角函數(shù)的定義有，cdasin(b)asin b，cdbsin a，所以asin bbsin a.得到.同理得到，故.知識(shí)梳理(正弦定理law of sines)設(shè)abc的外接圓的半徑為r.(1)2r.(2)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c(r為abc外接圓的半徑)(3)sin a，sin b，sin c(r為abc外接圓的半徑)(4)三角形的邊長(zhǎng)之比等于其對(duì)角的正弦比，即abcsin asin bs

3、in c.(5).(6)asin bbsin a，asin ccsin a，bsin ccsinb思考正弦定理對(duì)任意三角形都適用嗎？提示：適合于任意三角形知識(shí)點(diǎn)二解三角形知識(shí)梳理一般地，把三角形的三個(gè)角a，b，c和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形思考任意給出三角形的三個(gè)元素，用正弦定理都能求出其他元素嗎？提示：不一定，如已知三角形三個(gè)角a、b、c，則不能確定其各邊的大小自我檢測(cè)1在abc中，c90，ac，則sin a_.答案：2在abc中，c120，a45，c2，則a_.答案：3在abc中，若b30，b2，則_.答案：4授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)

4、第2頁(yè)探究一已知兩角及一邊解三角形閱讀教材p3例1及解答在abc中，已知a32.0，b81.8，a42.9 cm，解三角形題型：已知兩角及一邊方法步驟：(1)根據(jù)abc180求角c.(2)根據(jù)正弦定理求邊b.(3)根據(jù)正弦定理求邊c.例1在abc中，a5，b45，c105，解這個(gè)三角形解析由三角形內(nèi)角和定理知a180(bc)180(45105)30.由，得ca555()由正弦定理，得b5.例2在abc中，ac6，cos b，c，求ab的長(zhǎng)解析因?yàn)閎為三角形的內(nèi)角且cos b，所以sin b，因?yàn)椋詀b5.方法技巧解決已知兩角及一邊類型的解題方法(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求

5、另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后由正弦定理求第三邊(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊延伸探究1.將例1中的“c105”改為“a105”，解這個(gè)三角形解析：由三角形內(nèi)角和定理知c30.又sin asin 105，由正弦定理，得b5(1)同理，c.2若例2條件不變，求bc的長(zhǎng)解析：由cos b，知sin b，sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c.由正弦定理得：，bc7.探究二已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形閱讀教材p4例2在abc中，已知a20 cm，b28 cm，a40，解三角形(角度精確到1，邊長(zhǎng)精確到

6、1 cm)題型：已知兩邊及一邊的對(duì)角方法步驟：(1)根據(jù)正弦定理求sinb(2)判斷角b解的情況(本題兩解)(3)討論角b，求解角c和c.例3(1)abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sin bsin a(sin ccos c)0，a2，c，則c()a.b.c. d .解析由題意得sin(ac)sin a(sin ccos c)0，sin acos ccos asin csin asin csin acos c0，即sin c(sin acos a)sin csin0，所以a.由正弦定理得，即sin c，得c.答案b(2)在abc中，已知a2，c，c，求a，b，b.解析因?yàn)?，所?/p>

7、sin a.因?yàn)閏a，所以ca，所以a.所以b，b1.延伸探究3.若把本例(2)中c改為a，其他條件不變，求c，b，b.解析：因?yàn)閏sin a2，所以sin 2，即csin aac，所以本題有兩解因?yàn)?，所以sin c.所以c或.當(dāng)c時(shí)，b，b1.當(dāng)c時(shí)，b，b1.方法技巧1已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論2已知兩邊及一

8、邊對(duì)角的三角形解的個(gè)數(shù)(1)代數(shù)角度由正弦定理得sin b.若1，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為0，即無(wú)解若1，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為1，即一解若1，則滿足條件的三角形個(gè)數(shù)為1或2.(2)幾何角度圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)a為銳角absin a；ab一解bsin aab兩解absin a無(wú)解a為鈍角或直角ab一解ab無(wú)解跟蹤探究1.在abc中，a30，b25，a150，則abc的解的個(gè)數(shù)為()a一個(gè)解b兩個(gè)解c無(wú)解 d無(wú)法確定解析：由正弦定理得sin b，又ab，所以b為銳角，角b有唯一的解進(jìn)一步，可以求角c和邊c，都是唯一的答案：a2已知abc中，a2，b6，a30，解三角形解析：由正弦定理，可得，所以

9、sin b，又0b180，所以b60或120.當(dāng)b60時(shí)，c180(ab)90，此時(shí)c4，當(dāng)b120時(shí)，c180(ab)30，此時(shí)ca2.探究三判斷三角形的形狀教材p10習(xí)題1.1 b組第2題在abc中，如果有性質(zhì)acos abcos b，試問(wèn)這個(gè)三角形的形狀具有什么特點(diǎn)？解析：設(shè)abc的外接圓的半徑為r，由正弦定理得a2rsin a，b2rsin b，由acos abcos b得sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b.由于a、b(0，)，所以2a2b或2a2b，故ab或ab，所以abc為等腰三角形或直角三角形例4在abc中，已知acos bbcos a，試判斷a

10、bc的形狀解析由正弦定理，得sin acos bsin bcos a，即sin acos bcos asin b0，sin(ab)0，因?yàn)閍，b為abc的內(nèi)角，故ab0，ab，即abc為等腰三角形延伸探究4.將例4中的條件改為“”，判斷三角形的形狀解析：由正弦定理得，又，兩式相除得1tan btan c，又0b，0c，所以bc，所以a.所以abc為等腰直角三角形5將例4中的條件改為“a2tan bb2tan a”，判斷三角形的形狀解析：設(shè)三角形外接圓半徑為r，則a2tan bb2tan a，所以，即，因?yàn)?a，0b，所以sin a0，sin b0，可得sin acos asin bcos b，

11、所以sin 2asin 2b，所以2a2b或2a2b，所以ab或ab，所以abc為等腰三角形或直角三角形方法技巧1判斷三角形形狀的兩種途徑(1)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(2)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變換得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用abc這個(gè)結(jié)論在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解2用正弦定理進(jìn)行邊角互化的兩種方法授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第4頁(yè)課后小結(jié)對(duì)正弦定理的認(rèn)識(shí)(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立(2)結(jié)構(gòu)

12、形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系(4)正弦定理與三角形的外接圓的半徑結(jié)合起來(lái)，可實(shí)現(xiàn)三角形的邊與角的互化(5)正弦定理可用于求解兩類三角形：一是已知三角形的兩角(或其三角函數(shù)值)和一邊；二是已知三角形兩邊及一邊的對(duì)角(或其三角函數(shù)值)第一種三角形只有一解，第二類三角形可能一解、兩解或無(wú)解素養(yǎng)培優(yōu)1不理解三角形解的情況與條件的關(guān)系在abc中，已知ax，b2，b60，如果abc有兩組解，則x的取值范圍是()ax2bx2c2x d2x易錯(cuò)分析對(duì)兩組解存在的條件理

13、解不清，只認(rèn)為ab即可或理解“反”，即ab，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)自我糾正當(dāng)asin bba時(shí)，abc有兩組解，已知b2，b60，ax，如果abc有兩組解，那么x應(yīng)滿足xsin 602x，即2x.答案：c2忽視邊或角的大小關(guān)系在abc中，角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b，a，b1，則a()a. b.c.或 d.易錯(cuò)分析忽視條件a與b的大小關(guān)系和作用，只盲目得一種結(jié)果，錯(cuò)選a或b.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及分類討論思想自我糾正在abc中，由正弦定理得sin a，因?yàn)閎a，所以ab，又a(0，)，所以a或.答案：c3解答不完備，題意審不清在abc中，若sin a2sin bcos c，且sin2asin2bsin2c，試判斷abc的形狀易錯(cuò)分析將此題的兩個(gè)條件割裂開(kāi)應(yīng)用，致題意審不清，解答不完備或混淆概念考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)及基本知識(shí)的綜合應(yīng)用能力自我糾正法一：根據(jù)正弦定理，sin2asin2bsin2c，a2b2c2，a是直角