線代基本作業(yè)題

1、2010年度第二學(xué)期線性代數(shù)期末考試安排預(yù)計考試時間：2011年5月7日考場班級課室容量期末答疑安排答疑時間：2011.04.27答疑地點：平時上課的課若干公式|A*|=|A|n-1, A*A=| A|l , |AT|=|A|, |A|=|A|,(A)的特征值():aby1Fd-b2d丿ad be_ea丿基本問題Ch1計算行列式,求逆矩陣Ch2判斷線性相關(guān)性,求秩,求最大無關(guān)組Ch2解線性方程組(齊次的和非齊次的)Ch3求矩陣(方陣)特征值和特征向量Ch3矩陣的對角化Ch4向量組的正交化Ch4二次型的正交標準化Ch4二次型正定性的判斷Ch1計算行列式r2工1xyx+y1七七2(x+y )2(x

2、+y )2(x+y)111yx+yx=yx+yx= 2(x+y：yx + y xx+yxyx+yxyx + yxy12(x+y jO01x-yix y-x2233=2 x y 1 7-x xy _ y = _2 x_ yxyx求逆矩陣1.7 (P34)利用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣122(1)21-22-21刁221003 丄2121-2010T 0-12 42 J1001 一010122 11999_3;9010212Tr2嚴3r1 也3999001221I9_99 一22100-6-210 301 1 r12 I10-2；-03321012；033009；2-21122 19992129

3、9922199 一12 22 1-22-21三、Ch2判斷線性相關(guān)性2.1( P63)討論下列向量組的線性相關(guān)性 a -(1,2, -1, 2), a -(3, -1, 0,1), a =(2 , -1,3,2), a = (1,0, 一3, -1)1.12 ( P35)計算下列行列式xyx + y(2)yx + yxx + yxy 1(132TTTT _2-1韻a , a, a, a )=03、212-1033 半20-15Tr4 羊200200013-6o fof-130-200-1323 5 -1 50 32 30 303 3-15-635-223101-100 0;四、Ch2求秩,求最

4、大無關(guān)組2-11 2312552-52r22-103、r05-211000丿31,R=222.2(P63)求下列矩陣的秩2-103 (3)12-12e1-1 5丿補充：最大無關(guān)組有況1 ,況2五、Ch2解線性方程組儕次的)2.3求解下列齊次線性方程組x2x2 -x3 亠2X4 =0(1) X1 X2 2X3 X4 =0;px, +X2 +X3 +X4 =0得簡化行階梯形(Reduced row echelon form, RREF).(1)對方程組的系數(shù)矩陣作行初等變換q2 T2r2占12T23七10101T2TT3 -210-33-37*301-11111丿036312000對應(yīng)的同解方程組

5、為X1X3= 0X2 -X3X4 = 0方程組的解為r *CP0、ki 71-1x =ki1+k20ki1 23030315a03035r-1上01015J1113丿I11113丿0000丿11j300000丿對方程組的增廣矩陣作行初等變換將之化為簡化行階梯形s30-15x = k1+k2+103J0丿立刻得到方程組的解k,k2 ?七、Ch3求特征值和特征向量3.1 (P80)求下列矩陣的特征值和特征向量1 111 1(3)1 1-1-11 -11-111-1-11(3)解特征方程人一1TT-1九一1-1-1-12T扎一1113令乙一2扎一200|_A =T1九一114七幾一20人一20T11

6、k1人-200九2九一1T-1-1九+20 00(九-2 j11001七七4d11 003m“+2)101010 10100110 01得特征值-2,2,2,2J-1-1-1 勺 J _1 / J_1_1_1 0 0 0 0 -1112予3寺-400110 01七卡十110 0電TT-1114卡-40-4010 1010 10,-111 d一 00_4 ,1 0 0 1 ,1 0 0 1對于特征值，-2 ,解齊次線性方程組 ，I A x =0 .其系數(shù)矩陣I -A =對于特征值可見特征向量為1/1-11110? , 2A =T-11110c1111）g=2 +ka +k4 vvJVk2100=

7、k2+k3+k4k3010lk44J J000可見特征向量為x =（k2,k3,&不全為 0）.八、Ch3矩陣的對角化扎-4-60r2竝ia| =3?u+50=13 +36Z1I -4-11-61-10-6 0210 =（&-1 ）（扎+2）0 13.10將下列矩陣對角化，并求P ,使P丄AP = A（ A為對角陣）_46 0 1（1） A =-3-5 01-3 弋1 一解特征方程11s1，得特征向量K1（ 式0）.選 a =10 一J1I1-6 0 11 030 卜 0 167-衛(wèi) 0010 ，得特征向量0對于=-2,1.31 20 0JD 0k2-1+k30l0丿（k2, k3不全為0）.

8、選得特征值= -2,= 3 =1 .-3 -6對于打=省=1, Al A = 36仝 62、/0a2 =-1.a =01丿420 =令 P = ( a , a, a )=1J0,則有P丄AP = A=1J0b九、Ch4向量組的正交化4.5 (P107)設(shè)內(nèi)=1,2, _1 , a - I-1,3,1 T , a-4, -1,0 T，試用施密特正交化方法把這組向量正交規(guī)范化.正交化:q 3| 4廣1、2(5cr1-i 6I16-b3i110, -6故二次型是負定的.(2)二次型的矩陣A =1-6-619的各階主子式依次為1-1-13,故二次型是正定的若干聯(lián)系向量組 a = a，aI丨I，a 構(gòu)成

9、矩陣 a =(a, a2111, an)、x2線性組合a +x2 a2 +111 +xn an=(a, alll, a). =Ax向量b能由向量組 A線性表示:二Ax=b有解二R A, b；=R A向量組A線性相關(guān):二Ax =b有非零解:二R A : n ( n =向量個數(shù)=未知數(shù)個數(shù)) 基礎(chǔ)解系含n _r個解向量.部分定理定理2.1右a , a HI, a線性無關(guān)，而a, al )1, a , B線性相關(guān)則B可以由a, al II, a線性表示.定理2.2 a, a Hl, a ( m _ 2)線性相關(guān)的充要條件是至少有一個向量是其余向量的線性組合定理2.3線性相關(guān)的向量組添加向量后仍線性相

10、關(guān)；線性無關(guān)的向量組的子向量組必線性無關(guān)；線性無關(guān)的向量組中的每個向量擴大同樣的維數(shù)，得到的新向量組仍然線性無關(guān)。定理2.4m個行向量線性相關(guān)的充要條件是R(A) :：: m定理2.5矩陣A的秩等于r的充要條件是A中有r個行向量線性無關(guān)，但任意 r+ 1個行向量(如果存 在)都線性相關(guān)。定理2.8設(shè)有向量組T,如果(1) 在T中有匚個向量a, alH, a線性無關(guān)。(2) t中任意一個向量 a都可以由向量組 a, aJH, a線性表示。則a, a!H, a是向量組T的一個最大無關(guān)組。引理2.1設(shè)向量組B, B J|I, B可由向量組a, a,川,a線性表示.如果s r,則B, B,|i, B線

11、性相關(guān).定理2.9齊次線性方程組（2.11）,當其系數(shù)矩陣的秩 R（ A）二n時，只有唯一的零解；當R（A） ： n 時，有無窮多個解。定理2.11非齊次線性方程組（2.17）有解的充要條件是，他的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等。定理2.12設(shè)a, a!H, a丄是齊次線性方程組（2.11）的一個基礎(chǔ)解系，a是相應(yīng)的非齊次線性方程組（2.17）的一個特解，則（2.17 ）通解為：x = a +kiai +k2+kn丄a丄,其中匕出，k n丄乏|_基礎(chǔ)解系含有n-r個解向量。定理3.1 n階方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣 At有相同的特征值。定理3.2設(shè)n階方陣A有互不相同的特征值仆2,，m，（疋-A）

12、x = 0的基礎(chǔ)解系為:二2,，：h（i =1,2,，m）。則：11/12,：2r2m1m2,，:mrm線性無關(guān)。定理3.3設(shè)n階方陣A = （ a j ）的特征值為入1 , N,，辦，則有(4.9)(1 )入 1+?2+ + An=a11+322+ +ann(4.10)定理3.4設(shè)A為n階方陣，= （A） = a| +日識+ am Am，若入為A的特征值，則（ A = a +印入+ a f是;：（A）的特征值。定理3.5若n階方陣A與B相似，則它們具有相同的特征多項式和特征值。定理3.6 n階矩陣A與n階對角陣相似的充分必要條件是 A有n個線性無關(guān)的特征向量。P73定理3.6 n階矩陣A與n

13、階對角陣相似的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量P74定理3.6推論3.2若n階矩陣A有n個相異的特征值,則A與對角陣相似P73性質(zhì)3.2若n階方陣A與B相似，則 A = B , （2） tr A = tr B .定理3.7n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是對于每一個ni重特征值-i對應(yīng)著ni個線性無關(guān)的特征向量（證明略）。定理4.1對任意n維向量X和y，恒有IX, y li“：； |x y定理4.2若n維向量組： 1,2,，： r是正交向量組，則1,1 2,，: r線性無關(guān)定理4.3設(shè)n維向量組一，2，九線性無關(guān)，令：產(chǎn)i則得到的 打二，二是正交向量組，且與、總2、*_ m 等價。上述定理4.3從線性無關(guān)組口 1心