第10講收斂性與穩(wěn)定性方程組與高階方程

1、第五章 常微分方程的差分方法5.3線(xiàn)性多步法一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求通過(guò)對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握常微分方程、常微分方程方程組的線(xiàn)性多 步法。二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配本節(jié)課主要介紹常微分方程的數(shù)值解法。具體內(nèi)容如下：講授內(nèi)容：歐拉公式、改進(jìn)的歐拉公式。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)1 教學(xué)重點(diǎn)：開(kāi)型求解公式，閉型求解公式。2.教學(xué)難點(diǎn)：收斂性與穩(wěn)定性。四、教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題多媒體課堂教學(xué)為主。適當(dāng)提問(wèn)，加深學(xué)生對(duì)概念的理解五、正文線(xiàn)性多步法及其收斂性與穩(wěn)定性、方程組與高階方程1引言收斂性問(wèn)題微分方程數(shù)值解法的基本思想是：通過(guò)某種離散化手段，將微分方程轉(zhuǎn)化為 差分方程（代數(shù)方程）來(lái)求解。這種轉(zhuǎn)化是否合理，還要看差

2、分問(wèn)題的解yn，當(dāng)h 0時(shí)是否會(huì)收斂到微分方程的準(zhǔn)確解y（Xn），需要注意的是，如果只考慮 ho，那么節(jié)點(diǎn)X Xo nh對(duì)固定的n將趨向于Xo，這時(shí)討論收斂性是沒(méi)有意 義的，因此，當(dāng)h0時(shí)，同時(shí)n時(shí)才合理。定義：若一種數(shù)值方法對(duì)于任意固定的XXo nh，當(dāng)h 0 （同時(shí)n ：） 時(shí)，有yn * y（Xn）,則稱(chēng)該方法是收斂的考察歐拉公式 yn 1 = yn hf(Xn,yn)()設(shè)yn 1為在yn二y(Xn)條件下按歐拉公式計(jì)算的結(jié)果,yn 1 =y(Xn)hf(Xn,y(Xn)( 2)y(Xn.l) -yn1即為局部截?cái)嗾`差。h2 .Tn “y(Xn 1) yn 2 y()，存在常數(shù) C使

3、y(Xn 1) -石:Ch2(3)考慮整體截?cái)嗾`差編舟=$匕卄)_%y(Xn 弭一yn 0時(shí)宀 0，歐拉公式是收斂的。進(jìn)一步考察一般的單步法：所謂單步法，就是在計(jì)算yn1時(shí)只用到它前一步的信息yn。顯式單步法的共同特征是，它們都是將yn加上某種形式的增量得出% 1 ,其計(jì)算公式的形式為：yn 1二yn h (冷，yn，h),-(冷，稱(chēng)為增量函數(shù), 不同的單步法，對(duì)應(yīng)不同的增量函數(shù)。定理：?jiǎn)尾椒M(mǎn)足條件(x,y，h)(x,y，h)|n |yy| (李普希茲條件)， 且設(shè)初值yo是準(zhǔn)確的，即yo =y(Xo)，則該單步法是收斂的。2穩(wěn)定性問(wèn)題對(duì)于一個(gè)數(shù)值方法，即使是收斂的，由于初始值一般都帶有誤差

4、，同時(shí)，在 計(jì)算過(guò)程中還常常產(chǎn)生舍入誤差，這些誤差又必然會(huì)傳播下去，對(duì)后續(xù)的計(jì)算結(jié) 果都將產(chǎn)生影響，數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題是討論這種誤差的積累和傳播能否得到控制的 問(wèn)題。定義若用某一數(shù)值方法計(jì)算yn時(shí)，所得到的實(shí)際計(jì)算結(jié)果為yn，且由擾 動(dòng)；n =| yn -輪|引起以后各節(jié)點(diǎn)ym(m n)的擾動(dòng)為，如果總有丨m |J 5 |,則稱(chēng) 該方法是穩(wěn)定的。一種數(shù)值方法是否穩(wěn)定，不僅與該數(shù)值方法本身有關(guān)，而且還與微分方程的 右端函數(shù)f(x，y)，以及步長(zhǎng)h有關(guān)，因此穩(wěn)定性問(wèn)題比較復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化討論 只考慮模型方程z o y() = y0歐拉公式穩(wěn)定性：yn (1 h )ynyn處有擾動(dòng)n，它的傳播使節(jié)點(diǎn) 齊1

5、產(chǎn)生擾動(dòng)，假設(shè)歐拉公式計(jì)算中不再引入新誤差，則n(1 h，y n如果原差分方程yn 1 = (1 h )yn的解不增長(zhǎng)，即有|yn 1口興|，就能保證歐 拉方法的穩(wěn)定性。yn (1 h )yn的解不增長(zhǎng)，h需要充分小，使|11o故歐拉方法是條件穩(wěn)定的隱式歐拉公式穩(wěn)定性:yn 1yn 1，從而|yn1 Iyn I ,隱式歐拉公式是恒穩(wěn)定的。3方程組與高階方程(1)一階方程組直接推廣各種算法到方程組y = f (x, y,z), y(x) =y如 z =g(x, y,z),z(x) =z令x x nh，yn,Zn表示節(jié)點(diǎn)xn上的近似解改進(jìn)的歐拉公式為：ynyn - hf (Xn, 丫.冃)預(yù)報(bào) Z

6、ni % hg(xn,yn,zn)校正rhyn 1 = yn - - f (Xn, yn,Zn) f (Xn 1, yn 1, Zn 1)hZn 1 二 Zng(xn,yn,zn) g(Xn 1,n 1,厶 JL2四階龍格一庫(kù)塔方法為：hYnYn -K1 2K2 2K3 K46Zn1 二厶L1 2L2 2L3 L40 二 f (Xn,yn,Zn),Li 二 9(心幾，召)= g(xn羊，* +沙,召+加)n 2 2 2心=胡,幾+尹1,召+2）丄2n 2 2 2hhhh&厲嚴(yán)n+尹2尹）丄3弋甘尹2產(chǎn)） 二 f (Xn 1, yn hK3,厶 1), L4 二 g(Xn 1, y. h,厶 hL?)（2）化高階方程為一階方程組y =f(x,y,y)對(duì).y(X0)=y0,y(X0)= y0，引入新變量Z = y即可化為一階方程組:二 Z, y(Xo) = yoI二 f (x, y, z),z(Xo) = y