偏微分方程數(shù)值解法地MATLAB源碼

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)原創(chuàng)偏微分方程數(shù)值解法的 MATLAB源碼【更新完畢】說明：由于偏微分的程序都比較長(zhǎng)，比其他的算法稍復(fù)雜一些，所以另開一貼，專門上傳偏微分的程序 謝謝大家的支持！其他的數(shù)值算法見：./Announce/Announce.asp?BoardlD=209&id=8245004 1、古典顯式格式求解拋物型偏微分方程(一維熱傳導(dǎo)方程)function U x t=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)%古典顯式格式求解拋物型偏微分方程%U x t=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,p

2、hi,psi1,psi2,M,N,C)% 方程：u_t=C*u_xx 0 = x = uX,0 = t 0.5disp(r 0.5,不穩(wěn)定)end%計(jì)算初值和邊值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i);endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j);U(M+1,j)=psi2(t(j);end%逐層求解for j=1:Nfor i=2:MU(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j);endendU=U;%作出圖形mesh(x,t,U);title(古典顯式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像)xlabe

3、l(空間變量 x)ylabel(時(shí)間變量t)zlabel( 一維熱傳導(dǎo)方程的解 U)return;rh I r：nhh： kf Iriia r匸ih 右dt #1* liMH! fankModern里書比上豎訝唧口 aein古電昱rtuit.-比怛憶辱培釗|t#因鼻ILL 虧 dlL 弓門mi tsAi 州* IftHH TmIb tMltoMi HhdMfr Ha*?*k a btTq Jd jI k -工S聖 clrtLt盂2、古典隱式格式求解拋物型偏微分方程（一維熱傳導(dǎo)方程）function U x t=PDEParabolicClassicallmplicit(uX,uT,phi,ps

4、i1,psi2,M,N,C)%古典隱式格式求解拋物型偏微分方程%U x t=PDEParabolicClassicallmplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)% 方程：u_t=C*u_xx 0 = x = uX,0 = t = uT% 初值條件：u(x,0)=phi(x)% 邊值條件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)%輸岀參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示初值，第一列和最后一列表示邊值，第二行表示第2層%x -空間變量%t -時(shí)間變量%輸入?yún)?shù)：uX -空間變量x的取值上限%uT -時(shí)間變量t的取值上限%phi -初值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)

5、%psil -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)%psi2 -邊值條件，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)%M -沿x軸的等分區(qū)間數(shù)%N -沿t軸的等分區(qū)間數(shù)%C -系數(shù)，默認(rèn)情況下 C=1%應(yīng)用舉例：%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;C=1;%phi=inline(sin(pi*x);psi仁inline(0);psi2=inline(0);%U x t=PDEParabolicClassicallmplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);%設(shè)置參數(shù)C的默認(rèn)值if nargin=7C=1;end%計(jì)算步長(zhǎng)dx=uX/M;%x 的步長(zhǎng)dt=uT/N;%t 的步長(zhǎng)x=(0:M)*dx;

6、t=(0:N)*dt;r=C*dt/dx/dx;% 步長(zhǎng)比Diag=zeros(1,M-1);%矩陣的對(duì)角線元素Low=zeros(1,M-2);% 矩陣的下對(duì)角線元素Up=zeros(1,M-2);%矩陣的上對(duì)角線元素for i=1:M-2Diag(i)=1+2*r;Low(i)=-r;Up(i)=-r;endDiag(M-1)=1+2*r;%計(jì)算初值和邊值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i);endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j);U(M+1,j)=psi2(t(j);end%逐層求解，需要使用追趕法(調(diào)用函數(shù) Eqt

7、sForwardAndBackward ) for j=1:Nb1= zeros(M-1,1);b1(1)=r*U(1,j+1);b1(M-1)=r*U(M+1,j+1);b=U(2:M,j)+b1;U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);endU=U;%作出圖形mesh(x,t,U);title(古典隱式格式，一維熱傳導(dǎo)方程的解的圖像)xlabel(空間變量 x)ylabel(時(shí)間變量t)zlabel( 一維熱傳導(dǎo)方程的解U)return;此算法需要使用追趕法求解三對(duì)角線性方程組，這個(gè)算法在上一篇帖子中已經(jīng)給岀，為了方便，再給岀來追趕

8、法解三對(duì)角線性方程組function x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)%追趕法求解三對(duì)角線性方程組Ax=b%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)%x:三對(duì)角線性方程組的解%L:三對(duì)角矩陣的下對(duì)角線，行向量%D:三對(duì)角矩陣的對(duì)角線，行向量%U:三對(duì)角矩陣的上對(duì)角線，行向量%b:線性方程組 Ax=b中的b，列向量%應(yīng)用舉例：%L=-1-2 -3;D=23 4 5;U=-1-2 -3;b=61 -2 1;%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)%檢查參數(shù)的輸入是否正確 n=length(D);m=length

9、(b);n1= length(L);n2=length(U);if n-n1 =1 | n-n2 = 1 | n = mdisp(輸入?yún)?shù)有誤！) x=; return;end%追的過程for i=2:nL(i-1)=L(i-1)/D(i-1);D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);endx=zeros(n,1);x(1)=b(1);for i=2:nx(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);end%趕的過程x(n)=x(n)/D(n);for i=n-1:-1:1x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1)/D(i);endreturn;文案大全hh hd* iiMit TM

10、fafiHMiBKa*在以后的程序中，我們都取 C=1，不再作為一個(gè)輸入?yún)?shù)處理3、Crank-Nicolson隱式格式求解拋物型偏微分方程 需要調(diào)用追趕法的程序function U x t=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)%Crank-Nicolson隱式格式求解拋物型偏微分方程%U x t=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)% 方程：u_t=u_xx 0 = x = uX,0 = t aahMpHflfc aa*i n-;a a bi al吸hui：皿踐止it氐.-壷爐骨辱耳欄;w a函it_ 工se

11、險(xiǎn)*量虛4、正方形區(qū)域Laplace方程Diriclet 問題的求解需要調(diào)用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解線性方程組function U x y=PDEEIIipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)%正方形區(qū)域Laplace方程的Diriclet邊值問題的差分求解%此程序需要調(diào)用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解線性方程組%U x y=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)% 方程：u_x

12、x+u_yy=0 0=x,y=ub% 邊值條件：u(0,y)=phi1(y)%u(ub,y)=phi2(y)%u(x,0)=psi1(x)%u(x,ub)=psi2(x)%輸岀參數(shù)：U -解矩陣，第一行表示 y=0時(shí)的值，第二行表示第 y=h時(shí)的值%x -橫坐標(biāo)%y-縱坐標(biāo)%輸入?yún)?shù)：ub -變量邊界值的上限%phi1,phi2,psi1,psi2-邊界函數(shù)，定義為內(nèi)聯(lián)函數(shù)%M -橫縱坐標(biāo)的等分區(qū)間數(shù)%type -求解差分方程的迭代格式，若type=Jacobi，采用Jacobi迭代格式%若type=GS，采用Guass-Seidel迭代格式。默認(rèn)情況下，type=GS%應(yīng)用舉例：%ub=4;

13、M=20;%phi仁inline(y*(4-y);phi2=inline(0);psi仁inline(sin(pi*x/4);psi2=inline(0);%U x y=PDEEIIipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,GS);if nargin=6type=GS;end%步長(zhǎng)h=ub/M;%橫縱坐標(biāo)x=(0:M)*h;y=(0:M)*h;%差分格式的矩陣形式 AU=K%構(gòu)造矩陣AM2=(M-1)A2;A=zeros(M2);for i=1:M2A(i,i)=4;endfor i=1:M2-1if mod(i,M-1)=0A(i

14、,i+1)=-1;A(i+1,i)=-1;endendfor i=1:M2-M+1A(i,i+M-1)=-1;A(i+M-1,i)=-1;endU=zeros(M+1);%邊值條件for i=1:M+1U(i,1)=psi1(i-1)*h);U(i,M+1)=psi2(i-1)*h);U(1,i)=phi1(i-1)*h);U(M+1,i)=phi2(i-1)*h);end%構(gòu)造KK=zeros(M2,1);for i=1:M-1K(i)=U(i+1,1);K(M2-i+1)=U(i+1,M+1);endK(1)=K(1)+U(1,2);K(M-1)=K(M-1)+U(M+1,2);K(M2-

15、M+2)=K(M2-M+2)+U(1,M); K(M2)=K(M2)+U(M+1,M);for i=2:M-2K(M-1)*(i-1)+1)=U(1,i+1);K(M-1)*i)=U(M+1,i+1);endxO=ones(M2,1);switch type%調(diào)用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組 AU=K case JacobiX=EqtsJacobi(A,K,xO);%調(diào)用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組 AU=K case GSX=EqtsGS(A,K,x0);otherwisedisp(差分格式類型輸入錯(cuò)誤)return;end%把求解結(jié)果化成矩陣型式for i=

16、2:Mfor j=2:MU(j,i)=X(j-1+(M-1)*(i-2);endendU=U;%作出圖形mesh(x,y,U);title(五點(diǎn)差分格式Laplace方程Diriclet問題的解的圖像)xlabel(x)ylabel(y)zlabel(Laplace 方程 Diriclet 問題的解 U)return;J5、一階雙曲型方程的差分方法 function U x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type)%一階雙曲型方程的差分格式%U x t=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type

17、)% 方程:u_t+C*u_x=00 = t = uT, 0 = x 1disp(|C*r|1, Lax-Friedrichs差分格式不穩(wěn)定！)end%逐層求解for j=1:Nfor i=2:MU(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j)/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2;endend%Courant-lsaacson-Rees差分格式case CourantlsaacsonReesif C0disp(C0，采用前差公式)if C*r0，采用后差公式)if C*r1disp(Courant-Isaacson-Lees差分格式不穩(wěn)定！)end%逐層求解for j=

18、1:Nfor i=2:MU(i,j+1)=C*r*U(i-1,j)+(1-C*r)*U(i,j);endendend%Leap-Frog(蛙跳)差分格式case LeapFrogphi2=input(請(qǐng)輸入第二層初值條件函數(shù)：psi2=);if abs(C*r)1disp(|C*r|1， Leap-Frog 差分格式不穩(wěn)定！)end%第二層初值條件for i=1:M+1U(i,2)=phi2(x(i);end%逐層求解for j=2:Nfor i=2:MU(i,j+1)=U(i,j-1)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j);endend%Lax-Wendroff差分格式case LaxWendroffif abs(C*r)1disp(|C*r|1, Lax-Wendroff差分格式不穩(wěn)定！)end%逐層求解for j=1:Nfor i=2:MU(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2+CA2*rA2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j)/2; endend%Cran