解三角形及應(yīng)用舉例

1、5.5 解三角形及應(yīng)用舉例一 知識(shí)要點(diǎn)歸納：掌握三角形有關(guān)的定理：正余弦定理：a2=b2+c2-2bccos, b2 c2 a2,cos2bcasin Absin BcsinC2R利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：（ 1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（ 2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）利用余弦定理，可以解決以下兩類問題：（ 1）已知三邊， 求三角；（ 2）已知兩邊和它們的夾角， 求第三邊和其他兩角。內(nèi)角和定理： A+B+C=180 ， sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,C A B C A B cos =sin ,

2、sin =cos2 2 2 2面積公式：111 S= absinC= bcsinA= casinB222abcS= pr = p(p a)(p b)(p c) ( 其中 p=, r 為內(nèi)切圓半徑 )射影定理： a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA ；c = acosB + bcosA掌握正弦定理、 余弦定理及其變形形式， 利用三角公式解一些有關(guān)三角形中的三角函數(shù)問題兩定理的形式、 內(nèi)容、 證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視， 通過向量的數(shù)量積把三角形和 三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)， 用向量方法證明兩定理， 突出了向量的工具性， 是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例 另外， 解三角形問題可

3、能出現(xiàn)一解、 兩解或無(wú)解的情況， 這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角 定理及幾何作圖來(lái)幫助理解” 。二例題講解：例 1在 ABC 中，已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45 ，求 A,C 及邊 c解：由正弦定理得：sinA= asinB 3 sin45 3,因?yàn)?B=4590且 ba, b 2 2所以有兩解 A=60 或 A=120(1) 當(dāng) A=60 時(shí),C=180 -(A+B)=75 ， c= bsinC sin B2 sin75 6 2sin45 2(2)當(dāng) A=120 時(shí),C=180 -(A+B)=15 ，c= bsinC1 2 sin15 6 2sinB sin45 2思維點(diǎn)撥： 已知兩

4、邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問題，用正弦定理解， 但需注意解的情況的討論例 2：ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊分別是 a,b,c ，如果 a2b(b c) ，求證： A 2B證明： 用正弦定理， a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入 a2=b(b+c)中，得 sin2A=sinB sin B+sin C) sin2Asin2B=sinBsinC1 cos2A21 cos2B2=sinBsin( A+B)cosA=利用余b2 c2 a 22bc2 2 2a c b )2ac21=弦定理，b 2 c2) b( b c)2a2=b ( b+c ) ， 得c b 2， co

5、s2B=2cos2B 1=2 2b2bcb c)c 2 1= c2bb 。所以 cosA=cos2B.因?yàn)?A、B是2b( b c)cABC 的內(nèi)角，所以 A=2B.2） 該題根據(jù)命題特征，能否構(gòu)造一個(gè)符合條件的三角形，利用幾何知識(shí)解決解：由題設(shè) a2=b（b+c），得 a = b ，作出 ABC，延長(zhǎng) CA 到 D ，使 AD =AB= c， bca連結(jié) BD.式 表示的 即是 BCDCAC ， 所 以 BCD ABC. 所 以 1= D. BC又 AB=AD ，可知 2= D，所以1=2.，因?yàn)?BAC=2+D=22=21，所以A=2B.評(píng)述：近幾年的高考題中，涉及到三角形的題目，重點(diǎn)考查

6、正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換 .這是命題者的初衷。31例 3已知銳角 ABC中，sin（ A B）,sin（ A B），（ 1）求證： tan A 2tan2B ；552）設(shè) AB 3，求 AB邊上的高。剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（1）為鋪墊，解決（ 2）1）證明：sin（ A+B）= 3 ，sin（AB） = 1 ，55sin AcosBsin AcosBsin AcosBcos Asin B3cos A sin B51cos A sin B525 tan A =2.1 tan B =2.（2）解：3A+B， sin（A+B）= .25 tan

7、A=2tanB.tan（A+B）= 3 ，4即 tan A tan B = 3 .將 tanA=2tanB 代入上式整理得2tan2B 4tanB 1=0 ，解得1 tan AtanB 4tanB= 2 6 （負(fù)值舍去） .得 tanB= 2 6 ， tanA=2tanB=2+ 6 .設(shè) AB邊上的高為 CD，則 AB=AD+DB= CD + CD = 3CD .由 AB=3得 CD=2+ 6， tan A tan B 2 6所以 AB 邊上的高為 2+ 6 .評(píng)述：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和與差的公式以及應(yīng)用，分析和計(jì)算能力 .例 4：在ABC中， a,b,c 分別是角 A、 B、 C

8、的對(duì)邊長(zhǎng)，已知 a,b,c 成等比數(shù)列，且a 2 c2 ac bc ，求角 A 的大小及 b sin B 的值。c 剖析：因給出的是 a、b、c 之間的等量關(guān)系，要求 2b2用余弦定理 .由 b2=ac 可變形為 b = a，再用正弦定理可求 c解法一： a、 b、 c 成等比數(shù)列， b2=ac. 又 a2 c2=acbc， b2+c2 a2=bc. 在ABC 中，由余弦定理得A，需找 A 與三邊的關(guān)系，故可 bsinB 的值.c222b2 c 2 a2 bc 1 cosA= = = 2bc 2bc 2 A=60在 ABC中，由正弦定理得 sinB= bsin A ， a b2=ac， A=6

9、0 ，2 b sin B b 2 sin 60 c ac 解法二：在 ABC 中，由面積公式得 1 bcsinA= 1 acsinB.22 b2=ac， A=60 ， bcsinA=b2sinB. b sin B3 =sinA= . c2評(píng)述： 解三角形時(shí)， 找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理， 找兩邊兩角之間的關(guān)系常用 正弦定理 .1例 5在 ABC 中，已知 tanB3,cosC ,AC 3 6 ，求 ABC 的面積.3解法 1：設(shè) AB 、BC、CA 的長(zhǎng)分別為 c、a、b，31 由 tan B3,得B 60 , sin B,cos B.22又 sin C 1 cos2 C 2 2 , 應(yīng)

10、用正弦定理得3b sin Csin B8.sin A sin(B C) sinB cosC cos Bsin C3 1 1 2 3 3 2 31故所求面積 S ABC 1 bc sin A 6 2 8 3.解法 3：同解法 1 可得 c=8.又由余弦定理可得2a 2 8a 10 0.所得 a12 2 1 c 2 2ac cos B,即54 a 2 64 2a 8 , 24 6, a2 4 6. B 60 ,0 C 90 , 30 A 120 .由asin Ab 得, ab sin A b sin30sin B sin B sin B361323 2 3,而 a 2 4 6 3, 舍去 , 故

11、a 4 6.故所求面積 S ABC例 6 如圖，已知1 ac sin B 6 2 8 3 .2ABC是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形，M、N 分別是邊 AB、 AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過 ABC的中心 G，設(shè) MGA （31） 試將 AGM、 AGN的面積（分別記為 S1 與 S2）表示為 的函數(shù)112）求 y 12 12 的最大值與最小值S12 S22解：（1）因?yàn)?G 是邊長(zhǎng)為 1的正三角形 ABC 的中心，所以 AG 2 3 332MAG ，6由正弦定理 GMsin6GA得 GMsin（ ）66sin（ ）61則 S1 GM GA2sinsin12sin( 6)sin，同理可求得 S212sin（6）2）S112 S1221424 sin(2 sin26 sin （2 ） 72（3 cot2 ），6y max 240因?yàn)?2 ，所以當(dāng) 或 2 時(shí)，y 取得最大值3 3 3 3當(dāng) 時(shí)， y 取得最小值 ymin 2162三、小結(jié)：1利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：（ 1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；步求出其他的邊和角）求第三邊和其他兩角。（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)2。利用余弦定理，可以解決以下兩類問題：（ 1） 已知三邊， 求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角， 3邊角互化是解三角形問題常用的手段1