有趣的追及問(wèn)題

1、有趣的追及問(wèn)題數(shù)學(xué)廣角同學(xué)們，龜兔賽跑的故事一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)吧，實(shí)際上龜兔賽跑是 行程問(wèn)題中的另一種情況，它是一種同向行程問(wèn)題，我們把它叫 做追及問(wèn)題。兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同向前進(jìn)，有一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體速度較快，另一個(gè) 運(yùn)動(dòng)物體速度較慢。如果慢的走在前，快的就能追上慢的，這就 產(chǎn)生了追及問(wèn)題。 求追及時(shí)間的關(guān)系式是： 追及時(shí)間 =追及距離 速度差。智慧密碼例 1 小明步行上學(xué)，每分行 75 米，小明離家 12 分后，爸爸發(fā)現(xiàn) 小明忘帶了書(shū)包騎自行車(chē)去追，每分行 375 米，爸爸出發(fā)多少分 后能追上小明分析畫(huà)出線段圖小明上學(xué)離家走了 12 分后，他爸爸才去追，由于爸爸速度比較 快，最后一定會(huì)追上小明。算術(shù)方法：從圖

2、中，可以看出，當(dāng)爸爸出發(fā)時(shí)，小明已經(jīng)行了 7512900 米，這實(shí)際上就是爸爸追小明的路程即路程差，而每經(jīng)過(guò)1分，爸爸要追上小明 37575300 米，這實(shí)際上就是速度差， 因此爸爸要追上小明，只要看這 900 米里包含有幾個(gè) 300 米，就 是爸爸追上小明需要幾分。解爸爸出發(fā)距小明的米數(shù) 7512900（米） 爸爸每分鐘比小明多行的米數(shù) 375 75300（米） 爸爸出發(fā)后追上小明的時(shí)間 9003003（分） 追及問(wèn)題的基本關(guān)系式：路程差速度差 追及時(shí)間 速度差路程差 追及時(shí)間 追及時(shí)間路程差 速度差 方程方法 ：用方程思想來(lái)解決這一類(lèi)問(wèn)題，關(guān)鍵之處是要找到等 量關(guān)系，觀察線段圖即可發(fā)現(xiàn)在爸

3、爸追上小明的時(shí)刻，小明和爸 爸所行的路程相等。解：設(shè)爸爸 x 分鐘可以追上小明。7512 + 75x = 375x375x 75x = 900300x = 900X = 3答：爸爸 3 分鐘可以追上小明。多長(zhǎng)時(shí)間追上環(huán)行路上的行程問(wèn)題，有著它獨(dú)特的方面，由 于環(huán)行的道路是封閉的，因此，環(huán)行路上的運(yùn)動(dòng)，計(jì)算行程時(shí)， 通常與環(huán)行道路的周長(zhǎng)有關(guān)。例 2 在 400 米的環(huán)行跑道上， A、B兩點(diǎn)相距 100 米，甲、乙兩 人分別從 A、B 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蚺懿?。甲每秒?5 米，乙每秒跑 4 米，他們每人跑 100 米，都要停 10 秒鐘。求甲 追上乙需要多少秒分析： 這道題初看時(shí)，由于他們

4、每人跑 100 米，都要停 10 秒鐘。似乎不太好解決。但如果將二人看成不停的跑，就很容易 算出甲追上乙的時(shí)間，這時(shí)再考慮在這期間所停留的時(shí)間，問(wèn)題 的解決就比較簡(jiǎn)單了。解答： 如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需： 100（ 5 4）=100（秒），甲在 100 秒中共跑： 5100=500（米），而甲在 跑 100 米、 200 米、 300 米、 400 米時(shí)共停留了 4 次，到了 500 米處恰好追上乙。不必計(jì)算停留的時(shí)間。所以，甲追上乙所需的 時(shí)間是： 100410=140（秒）說(shuō)明：甲跑到 500米處時(shí)，正好是乙跑完 400 米，并且休息 完 10 秒時(shí)。當(dāng)甲跑到時(shí)，乙恰好要出發(fā)，他

5、們兩個(gè)在這一瞬間 正好相遇。例 3 如圖， A、B 是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，小華在點(diǎn) A，小明 在點(diǎn) B，他們同時(shí)出發(fā)，反向而行。他們?cè)?C 點(diǎn)第一次相遇， C 點(diǎn)離 A點(diǎn) 100米；在 D點(diǎn)第二次相遇， D點(diǎn)離 B點(diǎn) 80米。求這 個(gè)圓的周長(zhǎng)分析： 第一次相遇，兩人合起來(lái)走了半圈，第二次相遇，兩 人合起來(lái)走了一圈，因此，從開(kāi)始出發(fā)到第二次相遇，兩人合起 來(lái)走了一圈半。也就是說(shuō)，第二次相遇時(shí)兩人合起來(lái)走的路程是 第一次相遇時(shí)合起來(lái)所走路程的 3 倍，因此，不難看出 AD 的距 離是 AC距離的 3 倍，所以再求圓周的長(zhǎng)度就比較簡(jiǎn)單了。解答：因?yàn)?AC=100米，AD的長(zhǎng)度是 AC長(zhǎng)度的 3 倍。A

6、D=AC 3=1003=300（米）半個(gè)圓的周長(zhǎng)： 30080=220（米） 整個(gè)圓的周長(zhǎng)： 2202=440（米） 說(shuō)明：這道題還可以從另一個(gè)角度進(jìn)行考慮。由于 C到 D兩 人共走了一個(gè)圓周，由 A、B到 C兩人共走了半個(gè)圓周，所以， CD的長(zhǎng)度是 AC長(zhǎng)度的 2 倍。因此，同樣可以判斷出 AD 的距離 是 AC 距離的 3 倍。例 4 如圖，沿邊長(zhǎng)為 90 米的正方形，按逆時(shí)針的方向，甲 從 A出發(fā)，每分鐘走 65 米，乙從 B出發(fā)，每分鐘走 72 米，當(dāng)乙 第一次追上甲時(shí)是在正方形的哪一條邊上分析：這是一道環(huán)行追及問(wèn)題， 這類(lèi)問(wèn)題可以先看成 “直線” 的追及問(wèn)題，求出乙追上甲所用的時(shí)間，

7、再回到環(huán)行路上的追及 問(wèn)題，根據(jù)乙這段時(shí)間所走的路程，推算出應(yīng)在正方形的哪一條 邊上。解答： 先求追上甲時(shí)乙所用的時(shí)間：270903（ 7265）= 7 （分） 再求這段時(shí)間乙所走的路程：270 1277772 7 =7 （米）由于，正方形每邊長(zhǎng) 90 米，因此：112777 777 =（472） 90 777 這樣不難看出，乙走的比 7 圈零兩條邊還多 7 米，所以， 當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，甲和乙應(yīng)在正方形的 AD 邊上。說(shuō)明：如何將直線上的追及問(wèn)題， 與環(huán)行道路的特點(diǎn)相結(jié)合， 是這道題得以解決的關(guān)鍵。 牛刀小試 1、一輛面包車(chē)的速度是每小時(shí) 60千米，在面包車(chē)開(kāi)出 30 分鐘 后，一輛小轎車(chē)

8、以每小時(shí) 84 千米的速度從同一地點(diǎn)出發(fā)沿著 同一行駛路線去追趕面包車(chē)，多少時(shí)間后追上2、姐姐步行的速度是每分鐘 75 米，妹妹步行的速度是每分鐘65 米，在妹妹先出發(fā) 20分鐘后姐姐去追趕妹妹， 問(wèn)姐姐多少 分鐘后追上妹妹這時(shí)離出發(fā)地多少米3、實(shí)驗(yàn)小學(xué)組織學(xué)生排隊(duì)步行去郊游，步行速度是每秒 1 米， 排頭的王老師以每秒米的速度趕到排尾，然后立即返回排頭，共 用 10 分鐘，求隊(duì)伍的長(zhǎng)度。4、兄妹兩人同時(shí)從家出發(fā)去 1080 米遠(yuǎn)的學(xué)校上學(xué)，哥哥騎車(chē)每 分鐘走 360 米，妹妹步行每分鐘走 60 米，哥哥到校門(mén)口時(shí)，發(fā) 現(xiàn)忘帶課本，立即原路返回，問(wèn)哥哥再次由家出發(fā)在離學(xué)校多遠(yuǎn) 處追上妹妹5、有

9、甲、乙、丙三輛汽車(chē)，各以一定的速度從 A 地開(kāi)往 B 地。 乙比丙晚出發(fā) 10 分鐘，經(jīng) 40 分鐘追上丙；甲比乙晚出發(fā) 20 分 鐘，經(jīng) 50 分鐘追上乙，那么甲出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間追上丙 俱樂(lè)部陳景潤(rùn)不愛(ài)玩公園，不愛(ài)逛馬路，就愛(ài)學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)起來(lái)，常 常忘記了吃飯睡覺(jué)。有一天，陳景潤(rùn)吃中飯的時(shí)候，摸摸腦袋，哎呀，頭發(fā) 太長(zhǎng)了，應(yīng)該快去理一理，要不，人家看見(jiàn)了，還當(dāng)他是個(gè)姑娘 呢。于是，他放下飯碗，就跑到理發(fā)店去了。理發(fā)店里人很多，大家挨著次序理發(fā)。陳景潤(rùn)拿的牌子 是三十八號(hào)的小牌子。他想：輪到我還早著哩。時(shí)間是多么寶貴 啊，我可不能白白浪費(fèi)掉。他趕忙走出理發(fā)店，找了個(gè)安靜的地 方坐下來(lái)，然后從口袋里掏出個(gè)小本子，背起外文生字來(lái)。他背 了一會(huì)，忽然想起上午讀外文的時(shí)候，有個(gè)地方?jīng)]看懂。不懂的 東西，一定要把它弄懂，這是陳景潤(rùn)的脾氣。他看了看手表，才 十二點(diǎn)半。他想：先到圖書(shū)館去查一查，再回來(lái)理發(fā)還來(lái)得及， 站起來(lái)就走了。誰(shuí)知道，他走了不多久，就輪到他理發(fā)了。理發(fā) 員叔叔大聲地叫： “三十八號(hào)！誰(shuí)是三十八號(hào)快來(lái)理發(fā)！ ”你想想， 陳景潤(rùn)正在圖書(shū)館里看書(shū)，他能聽(tīng)見(jiàn)理發(fā)員叔叔喊三十八號(hào)嗎