MatlabPDE工具箱有限元法求解偏微分方程

1、范文范例指導(dǎo)參考在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中，有很多問題都可以歸結(jié)為偏微分方程問題。在物理專業(yè)的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、近代物理課程中都可遇見偏微分方程。偏微分方程，再加上邊界條件、初始條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型，只有在很特殊情況下才可求得解析解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，采用數(shù)值計(jì)算方法，可以得到其數(shù)值解。偏微分方程基本形式L橢圓型2.拋物型V - (cVu) + au - f初始條件：U Q = I/ (f )3. 雙曲型d C- V ( V it) + au = f dr初始條件；Mq = u (f0 ) u 0 = u 7f0 )4. 本征值方程-V (cV t/) + tziz 二 Adu而以上的偏微分方

2、程都能利用PDE工具箱求解。PDE工具箱PDE工具箱的使用步驟體現(xiàn)了有限元法求解問題的基本思路，包括如下基本步驟:1）建立幾何模型2）定義邊界條件3）定義PDE類型和PDE系數(shù)4）三角形網(wǎng)格劃分5）有限元求解 6）解的圖形表達(dá)以上步驟充分體現(xiàn)在 PDE工具箱的菜單欄和工具欄順序上，如下ODraw ound a /這里以求解一牛單位圓盤的泊松方程為例亠泊松方程迪最筒單的橢圓型POE 問題.該問題的公式為-A = 1相當(dāng)于橢匱方程中c=t=l, a=0.邊界條件為U=0而該問題的fil確解為信面會(huì)與竝值解做對比匚具體實(shí)現(xiàn)如下。打開工具箱輸入pdetool可以打開偏微分方程求解工具箱，如下首先需要選

3、擇應(yīng)用模式，工具箱根據(jù)實(shí)際問題的不同提供了很多應(yīng)用模式，用戶可以基于適當(dāng)?shù)哪Ｊ竭M(jìn)行建模和分析。在Options菜單的Application菜單項(xiàng)下可以做選擇，如下02 -0 -0 2-ApplicationRefreshV Gereric ScahrGeneric SystemStructural Mrchanics,StressStructural Mechanics, Plane StrainElectrostaticsVagnetoitathcj屛匚 Power EtectromjgnetiEiCondurtive Media DCHeat TransferDiffusion或者直接在工

4、具欄上選擇，如下PDE 血S WffhH列表框中各應(yīng)用模式的意義為: Gen eric Scalar :一般標(biāo)量模式（為默認(rèn)選項(xiàng)）。 Gen eric System :一般系統(tǒng)模式。 Structural Mech.，Pla ne Stress :結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)力。 Structural Mech.，Pla ne Strai n :結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)變。 Electrostatics :靜電學(xué)。 Mag netostatics :電磁學(xué)。 Ac Power Electromag netics:交流電電磁學(xué)。 Con ductive Media DC :直流導(dǎo)電介質(zhì)。 Heat Tranfer :熱

5、傳導(dǎo)。 Diffusion :擴(kuò)散。此外，對它提供了可以根據(jù)自己的具體問題做相應(yīng)的選擇，這里要求解偏微分方程，故使用默認(rèn)值。于其他具體的工程應(yīng)用模式，此工具箱已經(jīng)發(fā)展到了Comsol Multiphysics 軟件,更強(qiáng)大的建模、求解功能。另外，可以在菜單 Options下做一些全局的設(shè)置，如下 l Grid :顯示網(wǎng)格l Grid Spaci ng ：控制網(wǎng)格的顯示位置l Snap :建模時(shí)捕捉網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，建模時(shí)可以打開l Axes Limits ：設(shè)置坐標(biāo)系范圍l Axes Equal :同 Matlab 的命令 axes equal 命令建立幾何模型使用菜單Draw的命令或使用工具箱命令可

6、以實(shí)現(xiàn)簡單幾何模型的建立，如下O各項(xiàng)代表的意義分別為I繪制矩形或方形；I繪制同心矩形或方形;I繪制橢圓或圓；I繪制同心橢圓或圓；I繪制多義線。這里只繪制一個(gè)圓如下r 一m Q |田 |?npD 血 4 %卻削formyia樣甲定義邊界條件選擇 Boundary 菜單下的 Specify Boundary Conditions，如下定義PDE類型和PDE系數(shù)選擇PDE菜單下的PDE Specifica tions，如下rH! PDE SpecificationI 回MTylHorPOECMThOtfltVttJCacIocHyperMtcftT 0Cane*三角形網(wǎng)格劃分選擇Mesh菜單下的In

7、itialize Mesh初始化三角形網(wǎng)格，再選擇 Refine Mesh改進(jìn)初始網(wǎng)格并細(xì)化網(wǎng)格，如下 初始化網(wǎng)格f PDE7odbc ” Untitkdl 込1.空上 也-txi.BZlz ”ik _-j QjrthpF Dr*w ilound*oPt Mesh 4ohrt 奧fft 遍 iMow Hp E o 3 勺咻 A A =4 代如ene*$l fomwto448 4 64)42002040609hfo 馬腫 la OYDUt aM dMbie zwn ftthre細(xì)化網(wǎng)格word版整理POtJooibox .UnLtl*a另外還可以進(jìn)一步選擇 Jiggle Mesh 微調(diào)網(wǎng)格。最后可以選擇Display Tria ngle Quality顯示三角形網(wǎng)格的質(zhì)量圖，其中 1表示質(zhì)量最好，0表示最差，如下有限元求解選擇Solve菜單下的Solve PDE選項(xiàng)進(jìn)行PDE問題的求解，如下解的圖形