西南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)線性代數(shù)作業(yè)答案

1、行列式部分的填空題1 .在5階行列式aij中，項(xiàng)313324332345351前的符號(hào)應(yīng)取 正 號(hào)。2.排列45312的逆序數(shù)為8 O-13.行列式-1中元素x的代數(shù)余子式是4.行列式5.行列式6.計(jì)算-2行列式部分計(jì)算題1計(jì)算三階行列式解:-1-2-1-1-1中元素-2的代數(shù)余子式是中，x的代數(shù)余子式是-1-11-5 O-4-1=(-4) x( -1 嚴(yán)2 .決定i和j,使排列解：i和j等于5或8O(1) 當(dāng)i=5, j=8時(shí)，排列7)=2，該排列為偶排列。(2) 當(dāng)i=8, j=5時(shí)，排列7)=5，該排列為奇排列。 所以當(dāng)i=8, j=5時(shí)，1 2 3 4 i 6 j 9 7為奇排列.排列

2、1 2 3 4 i 6 j 9 7貝U成為排列 1 2 3 4 5 6 8 9 7，N(1 2 3 4 5 6 8 91 2 3 4 i 6 j 9 7 貝U成為排列 1 2 3 4 8 6 5 9 7 , N(1 2 3 4 5 6 8 91 2 3 4 i 6 j 9 7為奇排列。3. (7分)已知解：D =2x ( x-2)當(dāng) x=0 或 x=2 時(shí)，D=0,所以，當(dāng)X H 0或X H 2時(shí),x0 H04. （8分）齊次線性方程組Zx + y + Z = 0 x + 幾y + z = 0 X + y + z = 0 有非零解，求解：D=仏-1)2如果方程組有非零解，則 D=0,5用克萊姆

3、法則求下列方程組：x+2y +4z=31 5x + y +2z =29 l3x- y + z =10 解：計(jì)算行列式12431D=512=-27 工 0D1 =293/1 11013141D2=5292= -108D3 =53101321-121-1= -812= -135所以:=3, yD3=4 , Z =D=5矩陣部分填空題0 1 014 6=14-6L1 0 o.L3-54 j11 6 2 -1”021.計(jì)算2342.已知矩陣A=(1, 2,3),12L33.若4階方陣A的行列式|A|=2，則|A3|=8。4.設(shè)A為3階矩陣，若已知IA =m,則一mA = -m4 .5.矩陣1132丿的

4、伴隨矩陣是211-3 17 .設(shè)A為2階方陣，|A|=2，則A-4矩陣部分計(jì)算題21.已知矩陣A =1，求矩陣A的秩.1 10解：對(duì)矩陣作以下初等變換:141-2L11L10可以看出:52 設(shè) A= 0L014-12j-2-2j4-1 J=201求A9 12140500043= 5-1廿4 23 102121J解:34=-2,A2 =(-1)1 七A1 =(-1)1 十= 5x(2) = 10 H0，所以A可逆。同法可得:=0,A21 = 0, A2 = 5, A23 ；= -10, A1 = 0, A32 = -15, A3 ；= 20.A21A-1iaaP3 .設(shè) A= 2解:A22A23

5、AS2-15A33L0-1020 j110L001-100，求A*和AT-1520=10 H0,所以A可逆。2-2A23 = 4，易得：人1 = 10， A2 = 10， A3 = 2，A21 = 0， A 22 = 5，Al =0，A32 =0，A33 = 2。10-104.設(shè) A=11L2解:L2-40110，A - A cA2J10-10-4易得：Ar = 6 ,00-11L500 ，求A-1。=6 HO，所以A可逆。A2 = -3，氏3= -3，A21 =0,A22 = 3 ,A23 = -1 ,人1 =0,A33 ：= 2。6-3-1aTa6-35 .設(shè) A = (aij)解:16L

6、3-1010為三階矩陣，若已知3 IAA = A a2|A|=2 ,4 =24 =160121613.求 l|A|A|.線性方程組部分填空題Ax=0的系數(shù)陣A的秩為r,當(dāng)r= n 時(shí)，貝U Ax=0只有零解；當(dāng)1. 設(shè)齊次線性方程組Ax=0有無窮多解時(shí)，其基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為_n-r.2. 設(shè)n1，n 2為方程組Ax=b的兩個(gè)解，則 n-n ?是其導(dǎo)出方程組的解。優(yōu)0 +73 .設(shè)a 0是線性方程組 Ax=b的一個(gè)固定解，設(shè) 7是導(dǎo)出方程組的某個(gè)解，則線性方程組 Ax=b的任意一個(gè)解3可表示為3 =4. 若n元線性方程組 Ax=b有解，R (A) =r,則當(dāng)r=n 時(shí),有惟一解；當(dāng)r v

7、 n 時(shí), 有無窮多解。r (A ) n5. A是mx n矩陣，齊次線性方程組 Ax=0有非零解的充要條件是6. n元齊次線性方程組 Ax=0僅有零解的充分必要條件是7線性方程組 Ax=b有解的充要條件是r(Ab)=r(A)&設(shè)U1是線性方程組 Ax=b的一個(gè)特解，V1,V2,，Vn+是其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則線性方程組Ax=b的全部解可以表示為 U=_Ui + q廣C2 2+ nC小n r1.求線性方程組2x1 -X2 +X4 = -1*X1 +3X2 -7X3 +4X4 =3 的通解.|3x1-2X2+X3 +X4 =-2解：對(duì)增廣矩陣（Ab)施以以下初等變換:(Ab)=21-1-7L32-

8、n3 T-212L3-1-272j10-714-7-710-7-23110-1-2L22-11L0 0所以:X1 =X3 X?2 =1+2X3 X4則原方程組的通解為:取X3 =G, X2 =C2 （其中G, C2為任意常數(shù)）X1 =c, C2X2 =1 +2c, -C21x3 =C1IX4 =c22 .求齊次線性方程組$1 七X2 +X3 -X4 =0+6X2 X3 -3X4 =0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系- 5x1 州0x2 +X3 5x4 =0解：對(duì)增廣矩陣（13L510A0 ）施以如下初等變換：1-1:0-f121-1:0-1-3-0T00Y0-01-5-000T0-0-01r1 20-1b0-

9、0T0 010b02610-10:0:00 000L0即原方程組與下面方程組同解:X21、對(duì)自由未知量1取值反10丿旣=2X2 +X41X3=0（其中X2, X4為自由未知量），即得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：Vi =r-211V2 :=廠0L1 JL03.求非齊次線性方程組的通解2 X1 + X2 一 X3 + X4 = 1+2x2 +X3 X4 =2Ab）施以如下初等變換:xi +X2 +2X3 + X4 =3解：對(duì)增廣矩陣（21-1-11211-1L1L2-110-1-2L0-15-1-1 rbr:一510L01所以:-1-2-1X1X21x3= 1-3X423-X4=1x42-1-6-2

10、-332_3212；：L:-6 j取x4=c （c取一切常數(shù)）則原方程組的通解為X1X2X3X43一一 c23=c2十1c2=c=14求方程組的通解=12x1 + X2 X3 x4 SXr -2X2 +X3 -3x4 =4X +4X2 -3X3 +5X4 =-2解：對(duì)增廣矩陣（Ab）作初等行變換，有:2-1-11-3 -22-2L1-3:-2L2-1-111-314101810-1410-18:10L7-11L-21-3-2 11-3-215-7L0L0所以X17+7X3X2X4=0取X3 =c(c為任意常數(shù))，則方程組的通解為:X13c7 7X2X3=c5.已知線性方程組Q +X2 + 2X

11、3 +3X4 =1x1 +2x2 + 3x3 冷=-43x1 X2 X3 2x4 =-4+ 3x2 - X3 - 冷=6(1)求增廣矩陣(Ab)的秩r (Ab )與系數(shù)矩陣A的秩(A)；(2)判斷線性方程組解的情況，若有解，則求解。解：(1)對(duì)增廣矩陣(Ab )施以以下初等變換:(Ab)=1L21-1-4-5-1-1-2-4-4-1-1:-6L0-5-4106 1-510-40L0-3-62727330L0-29-16515t9-1100L0r(Ab) = 4,r(A) = 4(2)因?yàn)?r(Ab) 4,r(A ) 4，即r r Ab)故方程組有解，且:-1:-1(Ab)=n，故方程組有唯一解

12、，其解為：X = -1X2 = 1X3 =0X4 =向量的線性關(guān)系填空題1 .向量 a = r 1 , 3, 5, 7) , 3 = r 8,b,5,7),若 a = 3 ,貝U 8= _,b=_32.已知向量 1= r 1, 2, 3), a2= r3, 2, 1),則 31+2口2= r 9, 10,10), a 1 2 =(-2, 0, 2)3.設(shè)向量組123線性無關(guān)，則向量組a 1 , % +02 , 口1 +2+3線性 無關(guān)4 .設(shè)向量81,82,83線性無關(guān)，則81,82,283線性無關(guān)5.設(shè)向量a,a2,a3線性無關(guān)，則向量 81,82, a3,0線性相關(guān)6.%,口2,(/3,(

13、/4是3維向量組，則2,口3嚴(yán)4線性 相 關(guān).7 零向量是線性相關(guān) 的,非零向量a是線性 無關(guān)線性關(guān)系部分證明題(注：下面的題目中只需選做的.3道題即可)1證明：如果向量組 a, P,Y線性無關(guān)，則向量組a + P, P + +a亦線性無關(guān).證：設(shè) k/a + P)+k2(P+Y)卄3(丫+a) =0 ，即：(k1+k3)a+(k1+k2)P+(k2+k3)Y=0因?yàn)橄蛄拷Ma,P,Y線性無關(guān)，故系數(shù)全為零,k % =0即： k1 + k2 = 0 = k1 = k2 = kg = 0:k2+k3 =0所以向量組a + P , P + Y, 丫 +a亦線性無關(guān)。2 .設(shè)向量3可由向量a 1, a

14、 2,a r線性表示,示，問向量組a 1 , a 2 ,a r-1 , a r與向量組 什么？3 設(shè)a 1, a 2是某個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，問方程組的基礎(chǔ)解系？a r-1 ,但不能由a 1, a 2,，a r-1線性表3是否等價(jià)？為a 1 , a 2,a r-1 ,a什a 2, 2a 1 a 2是否也可構(gòu)成該4.已知a 1= (1,0,1),5 =(2,2,0)03 =(3,5,2)，判定此向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)。解：對(duì)矩陣(ai ,02,03 )施以如下初等變換:10L-123 1 1-2-5200-23510L0-21-501L0-2-5201秩0L-123-52=2 1)線

15、性相關(guān)的充要條件是含有零向量若向量組 ,02,，cts線性相關(guān)，則Ct 1能由a2,Qs線性表示.錯(cuò)8、9、10、矩陣 若11、gfg是3維向量組，則3,口4線性相關(guān).對(duì)1,52,12、若同階方陣A與B都可逆,則A+B也一定可逆13、2矩陣A滿足A =A,則A=0或者A=E.錯(cuò)A,X,Y滿足AX=A丫且A工0 ,則X=Y.錯(cuò)是方陣,則A必可逆.錯(cuò)設(shè)矩陣A增加一行變成矩陣 B,則矩陣B的秩大于矩陣A的秩.特征值部分選擇題(單選題)1. A是n階正交矩陣，則A :(A) A=1(B) AAJE(C)(D)A1 = A2. A與B是兩個(gè)相似的n階矩陣，則A(A)存在非奇異矩陣P使paP = B(B)

16、 |A| H |B|(A)(C)存在對(duì)角矩陣D,使A與B都相似于 下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有(C )若向量a與P正交,則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,aa 與 bP 也正交(B)(C)(D)若向量卩與向量1,2都正交，則P與12的任一線性組合也正交若向量Ct與P正交，則Ct與P中至少有一個(gè)是零向量若向量Ct與任意同維向量正交，則a是零向量1，則A的特征值為1L0(A)5(A)(B)1,1,2(C)-1,1,21,0,1(B)n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是A有n個(gè)特征值A(chǔ)有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量(D)B （C） A 的行列式不等于零（D） A 的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根 單選： 1.2.3.4.5.6.已知四

17、階行列式 D 中第三行元素為（ -1，2， 0，1），它們的余子式依次分別為5，3，-7， 4，則 D 的值等于 C:-15行列式 A 的第一行元素是（ -3，0，4），第二行元素是（ 2，a， 1）,第三行元素是（ 5，0， 3 ），則其中元素 a 的代數(shù)余子式是： B:-29 排列 3721456 的逆序數(shù)是： C:8行列式 A 的第一行元素是（ k,3,4） ，第二行元素是 （-1,k,0） ，第三行元素是 （0,k,1） ，如果 行列式 A 的值等于 0 ，則 k 的取值應(yīng)是： 有三階行列式，其第一行元素是（ （8，9，5），則該行列式的值是： 有三階行列式，其第一行元素是（1，1，C

18、:5C:k=3 或 k=11），第二行元素是（ 3，1， 4），第三行元素是7.8.9.0，是（ 2， 0， -5），則該行列式的值是： 有二階行列式，其第一行元素是（ 2， A:-11 有二階行列式，其第一行元素是（ 1 ，1，B:-13），第二行元素是（ 3， -1），則該行列式的值是：2），第二行元素是（ -1，-1， 0），第三行元素3），第二行元素是（ 1，4），該行列式的值是 : B:1 n 個(gè)。下列n階（n2）行列式的值必為0的有：B:行列式非零元素的個(gè)數(shù)小于10、矩陣A為三階矩陣，若已知|A|=m,則|-mA|的值為C:-m*m*m*m11、矩陣A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0, 2，0），則矩陣A乘以A的轉(zhuǎn) 置是：C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4 ）。12、 矩陣A適合下面哪個(gè)條件時(shí)，它的秩為r. B:A中線性無關(guān)的列向量最多有r個(gè)。多選1、 向量組a1,a2,.,as線性無關(guān)的必要條件是：A : a1,a2,as都不是零向量。C:a1,a2,as中任意兩個(gè)向量都不成比例。D: a1,a2,as中任一部分組線性無關(guān)。2、 向量組a1,a2,.,as線性相關(guān)