最小作用量原理與相位

1、最小作用量原理與相位注：為了方便不同層次讀者，本文不強調(diào)積分概念，但嚴格說一些乘積(如vt, Lt)應該理解為積分。1. xx 力學經(jīng)典力學中的牛頓力學，以牛頓的三個實驗定律為基礎和中心，建立實際 物理場景的數(shù)學模型之后，通過微積分等數(shù)學工具加以處理，以得到各種結(jié) 論。具體點說，我們首先通過牛頓第一定律建立了慣性的概念；其后，牛頓第 二定律在引入m表征慣性的基礎上定義了力F,并指出了 F=ma的關系，形成了 自洽的理論體系。牛頓第三定律補充說明了自然界中力的性質(zhì)，當然我們后來 發(fā)現(xiàn)，牛頓第三定律在很多情況下不適用，但因為牛一、牛二自成體系，即便 是牛三不成立的問題中也可以用來解決問題。對于要解

2、決的問題，往往在實際中可以分為兩類：條件與力有關，而問題與運動有關；或者條件與運動有關，問題則與力有 關。前一種問題從牛頓力學的角度看是正問題，因為牛頓力學的基本精神就在 于：力的條件決定運動情況。后一種問題則是反問題，是要用運動情況反推出 作用的力。正問題有如下例子：1合外力為0。由于合外力為0,加速度為0,故而做運動中速度v保持不 變，即勻速直線運動。2. 質(zhì)點在平衡位置附近,距離平衡位置 x 時,受力指向平衡位置,寫為 F=- kx。這種情況下，理論上可以證明物體運動 xt關系為三角函數(shù)關系 x=Acos(wt+fi)，這種運動稱為簡諧振動，A稱為振幅，w為圓頻率，wt+fi稱為相 位。

3、3質(zhì)點與某中心相距r，則作用力F=k/rA2，方向沿質(zhì)點與中心連線。當k0時，表示力指向中心，這時這種力最典型的有球?qū)ΨQ電荷、質(zhì)量分布產(chǎn)生的靜 電引力（庫倫定律）或萬有引力（萬有引力定律）。這時根據(jù)質(zhì)點能量不同， 軌道劃分為E0雙曲線。k0時，表示力背離中 心，典型的有靜電斥力，質(zhì)點軌道只能是雙曲線。以上列出了三種常見的最簡單的運動形式，實際上物理世界中有各種不同 的運動，也都可以從牛頓第二定律列出的方程出發(fā)加以解決。另一方面，以上 問題反過來問就成了反問題，反問題就有解是否唯一的疑問存在，即給定一種 運動形式，是否只有一種力的形式？一般來說這個問題沒有確定的答案。對于 上面的三個問題，問題1

4、顯然有唯一的力形式，即合外力 F=0。而牛頓在其名著 自然哲學的數(shù)學原理中證明了問題三的力形式也是唯一的。那么問題 2 呢？留作讀者思考。上面我們回顧了牛頓力學的基本內(nèi)容和方法，這套方法在拉普拉斯、泊松 和歐拉、高斯等大數(shù)學家的努力下發(fā)揚光大，一度統(tǒng)御著人類對大自然理解的 極限。然而，在這些數(shù)學家發(fā)展牛頓力學的形式結(jié)構(gòu)時，卻一不小心，遇到了一 個非常意外的發(fā)現(xiàn)。這最早要追溯到一位幾乎和牛頓同時代的業(yè)余數(shù)學家 費馬。費馬這個人非常有趣，本身工作不是做數(shù)學或物理，而是一位法官。他 在法律界內(nèi)有著剛正不阿的美名，卻只是把數(shù)學作為業(yè)余無事時的一個嗜好。 但就是這樣一個法律界人士，卻成為了那個時代最偉大

5、的數(shù)學家之一，當然也 被稱為業(yè)余數(shù)學家之王。我們知道，著名的費馬大定理就是他提出的一個猜 想，這個猜想直到 20 世紀 90 年代才被普林斯頓數(shù)學家懷爾斯以復雜的數(shù)學工 具證明。但今天我們要說的不是費馬大定理，而是他的另一個發(fā)現(xiàn)：最小光程原理，也就是 xx。2.xx先讓我們回顧下基本的光學知識，我們知道光在均勻介質(zhì)中走直線，而在 非均勻介質(zhì)中可能走折線甚至曲線，這可以完全由折射定律（斯涅爾定律）決定。也就是說，光線本質(zhì)上是走直線的，而之所以不走直線是因為外界的某些 影響，而這些影響可以用折射與反射定律加以描述。具體來說，當光線射入一 個介質(zhì)區(qū)域時，我們可以從光的初始入射方向出發(fā)，隨著光的直線運

6、動，直到 碰到折射率不同的分界面，發(fā)生滿足折射定律的折射，或者碰到反射面則反 射。這樣我們可以跟隨光線的運動，并預測光線方向的每一次轉(zhuǎn)變。這種做法 和牛頓力學對于力學中物體運動的描述有異曲同工之妙。圖 2，光線的折射我們還知道，兩點之間線段最短。那么這兩者會不會有什么深邃的聯(lián)系 呢？均勻介質(zhì)中，光的實際路程確實走了最短那條，那非均勻介質(zhì)中的光線， 是不是也有某種最短的性質(zhì)呢？如果是，這一定與折射率有關。沿著這條思 路，費馬發(fā)現(xiàn)了一個堪稱科學史上極具革命性的結(jié)論：任意介質(zhì)中，給定兩端點的光線，其 “光程 ”永遠取最小值。而所謂光程， 是一個新的概念，指折射率和光線實際長度的乘積。當折射率在空間不

7、同區(qū)域 有所不同時，不同區(qū)域內(nèi)的光線也要相應乘上不同的折射率。當空間折射率連 續(xù)變化時，光線就要分成無數(shù)無窮小的線段，分別乘以所在處折射率并求和。 由于折射率和光速有關系c=nv,可以馬上看出s=vt為光線在介質(zhì)中走過的真實 距離，而光程ns=nvt二ct,和時間成正比，即是說：光程最短實際上就是時間最短。從這一原理出發(fā),我們可以重新推出光的反射定律和折射定律。譬如對反 射定律,直接把兩端點的其中一點關于反射界面對稱過去,然后就容易找到兩 點間最短的連線,即真實光線,容易看出滿足反射定律。折射定律的導出留給 讀著思考。圖 1,反射定律的導出這個原理之所以說革命性,是因為他從根本上與基于折射定律

8、和反射定律 的幾何光學走了相反的一條道路。在幾何光學中,如果我們要研究光線的形 狀,就要從一個時刻出發(fā),跟隨光線運動并令光線在每個介質(zhì)不均勻處依據(jù)折 射定律或反射定律改變初始光線的方向,最終我們將得到一條符合實際的光 線。但費馬原理則反過來給出過兩固定點的光線應該有什么宏觀特征,再從這個特征出發(fā)，從各種不同可能的路徑中篩選出真實光線的軌跡。這不僅僅是方 法上的不同，更是觀念的一次洗禮。事實證明費馬原理背后的意義遠大于其在光學上的應用。一次，著名數(shù)學 家約翰。伯努利提了一個非常有趣的問題，即在地球重力場下，給定初末兩點 （不在一條鉛垂線上），問沿怎樣的軌道下滑最快？初看似乎直線最快，但很 容易發(fā)

9、現(xiàn)先從較高點自由下落到較低點同樣高度的平面，再不變速地轉(zhuǎn)向（可 以利用一段圓弧軌道）平行移動到較低點將跟省時。實際上容易構(gòu)造出更加省時的方案，但是哪種方案最省時呢？伯努利把這 個問題公布出來，以挑戰(zhàn)當時在世的所有數(shù)學家，包括偉大的牛頓和他的哥哥 雅克布。伯努利。據(jù)說當時已經(jīng)是造幣局局長的牛頓在看到這個問題后，一下 就被吸引了過來，從傍晚開始一直算到凌晨兩點終于解決。而雅克布。伯努利 更是發(fā)展了一套完整的方法求解這條軌跡，為今后一個繁榮的數(shù)學分支：變分法奠定了基礎。但是不管是誰，在看到約翰本人的解法后都自愧不 如。約翰的解法以費馬原理為基礎，相當巧妙。他在空間中用折射率分布代替 重力場，使得不同

10、高度處有不同的折射率。由于折射率和光速的關系，則不同 高度光線有著不同的速度，約翰讓這些速度正好等于重力場中相應高度的質(zhì)點 具有的速度，就可以用用時最短的光線來確定用時最短的下滑路徑了。這一方 法完整的解決了這個難題，答案是滾輪線。其實從一系列不同的軌跡中，尋找具有某種極大或極小性質(zhì)的曲線，一直 以來是數(shù)學家樂于思考的一個問題。古希臘數(shù)學家研究過怎樣的閉合曲線，其 圍繞面積最大，發(fā)現(xiàn)是圓；費曼原理也需要求解給定初末端點，求解光程最短 的曲線。隨著伯努利問題的提出，現(xiàn)在這樣的問題和物理學中的力學似乎又產(chǎn) 生了千絲萬縷的聯(lián)系，就更讓人遐想連篇?；谡凵?、反射定律的幾何光學有 著與牛頓力學類似的基本

11、思想和處理問題的基本方略，那么有沒有可能找到一 個類似費馬原理的普適原理，為物體的運動軌跡也找到某種量取最小的判斷標 準？隨著微積分的發(fā)現(xiàn)，人們發(fā)現(xiàn)雅克布。伯努利解決上面那道難題的方法很 容易推廣到解決各類尋找極大、極小值曲線的難題。這套方法被數(shù)學家冠以變 分法之名，開始廣為流傳。數(shù)學方法的發(fā)展和普及反過來影響著物理學發(fā)展的 進程，這是亙古不移之理。 18 世紀，數(shù)學家開始用手頭的工具打造這樣一套基 于變分法的物理學。3. 最小作用量原理最小作用量原理，顧名思義，就是說給定運動的初末時間、位置，真實運 動取作用量最小的曲線。最小作用量原理最早應該追溯到與費馬、牛頓等人同 時代的大學者萊布尼茲，

12、后來由歐拉、莫陪督、拉格朗日等人發(fā)展完善。 1744，數(shù)學家莫陪督首先提出了這一思想。他認為對于給定了運動能量E、初末位置和時刻后，物體在整個過程中的動能與時間的乘積的兩倍 (2Ek*t)取最小。動能與時間的乘積是一個看起來有些奇怪的量，但是似乎又 表明了物體軌跡的某種整體性質(zhì)，于是被莫陪督稱為作用量,記為 S。上面莫陪督原理是在所有能量為 E的軌跡中選取，更一般的做法是取所有 不同的軌跡。，那就是：在給定初末時刻和初末位置后，拉格朗日量L和時間的乘積(作用量S=L)最小的路徑為真實路徑。其中拉格朗日量 L=Ek-V即動能和勢能的差。容 易看出，只取Ek+V=EF軌跡時，始終有V=E-Ek于是

13、L=2Ek-E由于所有不同的 軌跡有著一致的E,所以真實路徑就是2Ek最小的路徑。對于多粒子系統(tǒng)，則要 用總動能減去總勢能。譬如對剛體，就要用剛體平動動能加上轉(zhuǎn)動動能再減去 剛體系統(tǒng)總勢能。隨后，拉格朗日從最小作用量原理出發(fā)、依靠變分法推導出了牛頓第二定 律，并從牛頓第二定律反推出最小作用量原理，這就從數(shù)學上嚴格證明了最小 作用量原理和牛頓力學的等價。這樣，宏大巍峨的牛頓力學大廈，就這樣被歸結(jié)到一個簡單的原理，這不 能不說是物理學史上神妙驚人的一筆。而同時很多目的論者也開始鼓吹：最小作用量原理體現(xiàn)了上帝意志云云。實際上從數(shù)學上來說，微分方程求 解軌跡問題總是可以轉(zhuǎn)化為從一系列軌跡中選取一條具有

14、某種極大、極小性質(zhì) 的真實軌跡的變分問題。所以并不能說最小作用量原理的存在就一定體現(xiàn)了某種超自然力量或是自然界的根本性質(zhì)。但最小作用量原理確實在物理學上發(fā)揮 起了重要的作用，這無關神秘主義，而是其數(shù)學形式（某量取最小值）所帶來 的巨大便利。隨著數(shù)學家們的努力，建立在最小作用量原理上的分析力學漸漸完善了起 來。拉格朗日首先通過最小作用量原理推導出了一般性的剛體和約束系統(tǒng)中， 如何通過最小作用量原理導出和牛頓運動定律等價的方程組 拉格朗日方程 組；后來，哈密頓通過變量替換，得到了另一個等價方程組 哈密頓方程 組；而另一種更加抽象的、也是來自于變量替換思想的哈密頓 -雅克比形式也建 立了起來，其基本

15、想法是從最小作用量原理出發(fā)，得到作用量函數(shù) S滿足的方 程，再從S出發(fā)得到體系的狀態(tài)和演化規(guī)律。這里的作用量函數(shù)S（q,t），定義從某初始點 q0,t0 出發(fā)到達 q,t 的真實軌跡的作用量。最小作用量原理最大的好處在于普遍性，不管描述體系的參量是什么參 量，都可以納入最小作用量原理的形式。力學中，如果我們考慮的不是只用位 置等有限參量就可以描述的質(zhì)點和剛體，而是剛體甚至彈性體、流體，只要我 們能找到描述其狀態(tài)的方法（比如彈性體的形變大小和流體不同點的速度分 布），就可以想方設法引入拉格朗日量，并用最小作用量原理表述體系的物理 規(guī)律。又比如真空中的電磁場，引力場乃至強、弱相互作用場，其體系的演

16、化 規(guī)律都可以用最小作用量原理表示，只不過描述系統(tǒng)狀態(tài)的量為每一點的場強 或勢。最小作用量原理的另一個好處在于易于表現(xiàn)系統(tǒng)對稱性?，F(xiàn)代數(shù)學物理學中，對稱性被定義為體系經(jīng)過某種操作而在我們所關注的方面不發(fā)生變化的性 質(zhì)。比如常說的人的左右對稱性，即是交換左右部分人的外觀不發(fā)生變化（內(nèi) 臟位置顯然變了）。下面列出了幾個常見的對稱性：1.空間平移對稱性：系統(tǒng)空間坐標平移一個矢量，即 x-x+a,y-y+b,z-z+的操作，不改變系統(tǒng) 的任意狀態(tài)。換句話說，系統(tǒng)中坐標為（x,y,z）處的物理狀態(tài)和（x+a,y+b,z+c處的物 理狀態(tài)完全一樣，因此系統(tǒng)在平移后和原先重合。2.空間反演對稱性：系統(tǒng)空間坐

17、標全部反號，即x-x,y-y,z-z的操作，不改變系統(tǒng)的任意狀 態(tài)。這意味著系統(tǒng)原本（x,y,z處物理狀態(tài)和（-x,-y,-z處一致。3.時間平移和時間反演：系統(tǒng)時間平移一個量，如t-t+T;時間變?yōu)?t。需要說明的是，時間反演并不等于時間倒流，而不過是運動過程的倒放而 已。有趣的是前面所說的鏡面對稱操作（左右對稱）實際上可以用上面1、 2 兩種對稱操作表達，具體方法請讀著思考。自從相對論建立以來，對稱性研究已經(jīng)是物理學的一個基本方法。相對論 的基本原理要求物理定律在參考系變換下不變。具體說來，當我們進行參考系 變換時，描述體系的物理定律不能發(fā)生變化。這在最小作用量原理表述的物理 規(guī)律中，非常

18、容易實現(xiàn) 只要要求對任意時空軌跡，作用量不隨參考系變換 而改變即可。因為只有這樣，在不同參考系下篩選軌跡時才能得到同一個真實 軌跡。沿著這一思路，數(shù)學家 Noether 從最小作用量原理進而證明，體系的任 何一個對稱性都對應保證體系存在一個守恒量。這就把對稱性和守恒量聯(lián)系了 起來。具體地說，她證明了體系空間平移不變性（作用量S在空間平移下不變）反過來說，在現(xiàn)代物理學中，對稱性已經(jīng)是確定體系拉格朗日量的最重要 方法。如場論中的規(guī)范對稱性。為了理解場的規(guī)范不變性，我們先簡單介紹一 點量子力學知識。一點量子力學知識。首先量子力學有一個很基本的概念：測量將會引起被測量物體的改變，這本是經(jīng)典物理學中也常

19、見的概念，但 實際上由于微觀粒子各物理量很小，很容易受到測量的影響，而測量所用微觀 粒子（如光子）也有最小單位，使得測量工具無法無限細致，這樣這一點就更 加明顯。更重要的是，實驗表明微觀下的測量，往往會根本性地改變系統(tǒng)的性 質(zhì)。比如讓電子打向開有兩個平行狹縫的平板，再在平板后放置顯示屏，則電 子將在屏幕上形成干涉圖樣（這來自于微觀粒子波粒二象性）。而當我們對單 個電子測量其從哪個縫走過時，干涉圖樣竟然自動消失了！另一方面，我們知道微觀粒子有波粒二象性，即粒子的運動本質(zhì)上要用波（物質(zhì)波，或德布羅意 波）來描述。經(jīng)典力學告訴我們，波可以用空間分布的復振幅來描述，或者說 用不同位置處波動的振幅和相位

20、來描述，這對一個粒子來說是什么意思呢？根據(jù)物理學家玻恩的理解，既然當一大堆粒子一起運動時，波動描述了粒 子的運動，那么從經(jīng)典力學上又能證明波的模方正比于波攜帶的能量，再加上 德布羅意波的 E=hf 關系，容易發(fā)現(xiàn)波函數(shù)的模方實際上正比于每一點處的粒子 數(shù)，這應該正比于單個粒子在空間某點出現(xiàn)的概率，以上詮釋很快被物理學界 接受，稱為波函數(shù)的概率詮釋。而相位概念則比較麻煩，似乎很難找到對應的 物理意義，但實際上相位有著極為豐富和精巧的物理含義，且看下文分析。由于對物質(zhì)波的概率詮釋和上述關于測量的分析，我們發(fā)現(xiàn)，微觀粒子的 多個物理量往往不可能同時測準。譬如位置和動量，就是一對不能同時測準的 物理量

21、。更精確地說動量的不確定度乘以位置的不確定度大致與一個常數(shù) h 在 同一數(shù)量級，這個原理稱為不確定性原理或測不準原理。對于各種更加復雜的 系統(tǒng)，也可以發(fā)現(xiàn)其某些物理量之間有這類關系?？偠灾?，為了描述粒子或 其它量子系統(tǒng)的狀態(tài)，我們要用到在時空分布的復值函數(shù)：波函數(shù)psi,根據(jù)上面的分析|ps2為概率分布，而psi我們稱為概率幅分 布。至于在量子場論中，粒子本質(zhì)上被看做是場，粒子波函數(shù)psi于是被看做描述場的物理量,像位置、速度出現(xiàn)在粒子經(jīng)典拉格朗日量中一樣,出現(xiàn)在場的 拉格朗日量中。舉個例子,當電子被看做場時,電子波函數(shù)就提升為電子場的 場量,和電磁場的電勢、磁矢勢異曲同工。有了上面的知識,

22、我們可以對量子場論中一個非常重要的概念： 規(guī)范場理論有一定了解了。由于概率才是物理上有意義的量,如果場（波 函數(shù)）整體乘以一個eAia,a為任意實數(shù)，則概率在空間處處不變，體系狀態(tài)應 該不變。這種不變性（對稱性）首先限制了體系的拉格朗日量的可能形式,并 導致了所謂 荷守恒”如電子場（將電子看做場得到 psi）對應電荷守恒。然 而,現(xiàn)代物理學家發(fā)現(xiàn)我們可以引入更精密的一種對稱性,它要求場乘以一個 eAia（x），其中a（x）是任意時空位置的函數(shù)時，體系拉格朗日量也不發(fā)生改變。別 看這只是小小的一個改變,它可是一出現(xiàn)就迅速成為粒子物理學家的寵兒,自 20世紀中葉為著名物理學大師楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)這

23、種對稱性后,它已經(jīng)成為現(xiàn)代量子場論的根基。這是因為結(jié)合微分幾何的數(shù)學工具，這種對稱性可以很 好地確定各種相互作用的拉格朗日量。4. 最小作用量原理的物理背景雖然從數(shù)學上說，最小作用量原理可以沒有物理意義，而這種普適性也一 度成為其優(yōu)點，但如果能找到合理的物理詮釋當然更好。在 20 世紀，著名物理 學家費曼就發(fā)現(xiàn)了如何用量子力學解釋最小作用量原理的方法。原來如前所述，量子力學中用波函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)，而作為復值函數(shù)的波 函數(shù)可以寫為Aexp（iS/hbar）的形式（hbar二h/2pi），其中A和S都是時空的函 數(shù)。早在量子力學建立之初，科學家就意識到量子力學基本方程薛定諤方程， 在令普朗克常量趨

24、于 0 時，應該恢復到經(jīng)典力學，這被稱為量子力學的準經(jīng)典 近似。而實際上，當 h 趨于 0 時，薛定諤方程和最小作用量原理形式的經(jīng)典力 學中的一個基本方程，哈密頓-雅克比方程直接對應，而波函數(shù)中的 S正好過渡 到SO,與哈-雅方程中出現(xiàn)的作用量對應。這是為我們理解最小作用量原理提供 了鑰匙。后來,物理學家費曼提出了另一種不同的量子力學形式。在他看來,量子 力學中粒子不僅可以具有確定的軌跡,還同時在每一個軌跡上運動,只有當外 界物理環(huán)境逼的粒子不得不現(xiàn)身的時候（測量）,粒子才會出現(xiàn)在某個固定的 位置。在費曼之前,人們已經(jīng)可以用薛定諤方程計算粒子從一點運動到另一點 的概率和概率幅（初末處有位置測量儀器）,而費曼引入了粒子沿不同軌跡的 概率幅，并認為這些概率幅相加才是總概率幅。具體來說，粒子從A點沿某路徑到達B點的概率幅，可以寫成exp（iS/hbar）的形式，隨路徑不同有不同的 S從前面關于準經(jīng)典近似的討論中得到啟發(fā)，對任意軌道，S應該都等于其作用量。然后我們將所有不同路徑的貢獻疊加,也就得到了從一點到另一點的總 概率幅。這被稱為量子力學的路徑積分形式。從這種形式出發(fā),我們只要知道 了經(jīng)典情形下系統(tǒng)的拉格朗日量 L，就可以得到任何一條路徑的作用量 S,接著