數(shù)列知識點常用結(jié)論

1、 數(shù)列知識點及常用結(jié)論 、等差數(shù)列 (1) 等差數(shù)列的基本公式 通項公式：an 印(n 1)d (從第1項印開始為等差) am (n m)d (從第m項am開始為等差) am (n m)d an am nd anam n m 前n項和公式: n(a1 Sn an) 2 na1 n(n 1)d 2 (2) 證明等差數(shù)列的法方 定義法：對任意的n,都有an an (d為常數(shù))an為等差數(shù)列 等差中項法：2an 1 an (n an為等差數(shù)列 通項公式法：an =pn+q (p，q為常數(shù)且 an為等差數(shù)列 即：通項公式位 n的一次函數(shù)，公差d p，首項a1p q 前n項和公式法：Sn 2 pn qn

2、 (p, q為常數(shù)) an為等差數(shù)列 即：關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù) (3) 常用結(jié)論 若數(shù)列an ,bn為等差數(shù)列，則數(shù)列ank , kgan, anbn,kanb (k, b為非零常數(shù))均為等差數(shù)列. 若 m+n=p+q (m , n, p, q N ),則 an am = ap aq. 特別的,當n+m=2k時，得a. am= 2ak 在等差數(shù)列an中，每隔k(k N*)項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍 仍為公差為3d的等差數(shù) 為等差數(shù)列，且公差為(k+1)d(例如：a1, a4, a7, a10 列) 2 83kS2ka2k1a2k2a3k，則Sk,S2kSk,SkSk仍成

3、等差數(shù)列，且公差為 k d 若Sn為等差數(shù)列an的前n項和，則數(shù)列也為等差數(shù)列 n an 3，(n 1) SnSi i,(n 2) 此性質(zhì)對任何一種數(shù)列都適用 求Sn最值的方法: I:若印0 ,公差d0， 則當ak 0時，則 ak 10 若a1 0， ak0 則當時，則 ak 10 Sn有最大值 且最大； Sn有最小值，且Sk最小; 2 II:求前n項和Snpnqn的對稱軸，再求出距離對稱軸最近的正整數(shù)k， 當n k時，Sk為最值，是最大或最小，通過 Sn的開口來判斷。 二、等比數(shù)列 (1) 等比數(shù)列的基本公式 n 1 通項公式：an aq(從第1項a1開始為等比) an amqn m(從第m

4、項am開始為等差) 前n項和公式： a1 (1 qn) Sn 1,(q 1)，Snna1,(q 1) 1 q (2) 證明等比數(shù)列的法方 定義法：對任意的n,都有an 1 qan(an 0) q (q 0) an為等比數(shù)列 2 等比中項法：an an1( a“ 1an 1 0)an為等比數(shù)列 通項公式法：an aqn1(a,q是不為0的常數(shù)) an為等比數(shù)列 (3) 常用結(jié)論 若數(shù)列務(wù) , bn為等比數(shù)列，則數(shù)列 anbn (k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列. * 若 m+n=p+q (m , n, p, q N ),貝V ang3m=apg3q. 2 特別的，當n+m=2k時，得angam= ak

5、 在等比數(shù)列an中，每隔k(k N*)項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等 k 13 比數(shù)列，且公比為 q(例如：ai，a4，a?，印。 仍為公比q的等比數(shù)列) 若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記 2 aa2ak，?2k2a1ak2a2k，EkEka2k 1a2k 2a3k， 則Sk，S2k Sk，S3k S2k仍成等比數(shù)列，且公差為qk 三、求任意數(shù)列通項公式 an的方法 (1 )累加法：若an滿足an+1 =an+f(n)利用累加法求：a. ai ai) (a3 a2) (a4 a3) (an an 1 ) 例題：若ai 1,且 an i an 2n，求：an 練習(xí)題：若數(shù)列an滿足an

6、 1 an 2n 10，且ai 0 (2)累乘法：若an滿足an 1 f(n) an利用累乘法求：an g(亠) an 1 analg()g()g( )g aia2a3 例題：在數(shù)列an中, ai 1 2,an1 練習(xí)題：在數(shù)列an中，a11且an nan 1，求：a n (提示：1 2 3 (3 )遞推公式中既有Sn，又有an，用逐差法 an Sn=1 Sn Sn 1 n 2 特別注意：該公式對一切數(shù)列都成立。 (4)若an滿足an 1 1，且 a11，求：an pan q,( p q),則兩邊加：x ，在提公因式P,構(gòu) P 1 造出一個等比數(shù)列，再出求：an 例題：已知數(shù)列an，滿足：an

7、 1 2an 習(xí)題2:已知數(shù)列an滿足：a1 2，且Sn an n，求：an 習(xí)題1 :已知數(shù)列an滿足：an 1 3an 1 且 ai 1，求：an (5)若an滿足am pan ，則兩邊同時除以：p 構(gòu)造出一個等差數(shù)列, 再求出：an 例題：已知an滿足: ai 2an 2n1，求:an 解：an 1 n 2an 2 n 2n_ an -，既有: 2 anan n 1 n 22 所以: ai 公差 -的等差數(shù)列 2 an 2n (n 1) 所以: 2n n 2n 1 習(xí)題1 ：已知an 1 3an 3n 1且 a1 求: an 習(xí)題2：已知an 1 n 1 2an 3 2 且 a11，求：

8、an (六)待定系數(shù)法：若an滿足以下關(guān)系: an 1kanf n都可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個等比數(shù)列來： 溫馨提示：提k，對f (n)待定系數(shù) 例題1 :已知數(shù)列an滿足ani 2an 3 5n，印6，求數(shù)列an的通項公式 解：an i x 5n1 2(an x 5n) a. i 2a. 3x 5n，與原式對應(yīng)得，x 1 a5n 1 ani 5n1 2(an 5n)an 1 5n2 an 5 所以：an 5n是首項a1 51 1，公比q 2的等比數(shù)列 既有：an 5n 2n1 an 5n 2n 1 例題2:已知數(shù)列an滿足an 1 3an 5 2n 4，內(nèi)1，求數(shù)列的通項公式 解：an 1 x

9、 2n 1 y 3(an x 2n y) an 1 3an x 2n 2y， 與原式對應(yīng)得：x 5,y2 a 5 2n 12 an1 5 2n1 2 3(an 5 2n 2)% 1 ： 2n / 3 an 5 22 所以：an52n2是首項為：a15212 13，公比q3的等比數(shù)列 既有：an5 2n 2133n 1an133n15 2n2 （七）顛倒法：若an滿足：an 1 ，用顛倒法; 所以: C a an an 1 an C an 1 an 1 an CanC 1 1 an 1 C an C an C an C an an C 1，所以: C - 是以首項為: an -，公差d 丄的等差

10、數(shù)列 aiC 例題1 :已知an 1 2 a. an 2 且a1 2，求：an 例題2:已知an1 an 3an 3an 1，且 a1 1，求：an （八）倒數(shù)換元法 若數(shù)列a,滿足：時缶， 則顛倒變成 1 B an C an 1 A an 然后再用兩邊加: 或者待定系數(shù)法既可求出 ，再顛倒就可得到: an an 例題：若數(shù)列 an 滿足: an 2an-，且 a1 3 1，求: an 解：an 2an an 3 an an 1 1) 所以: 既有: an an 1 an 1 亍 an 是首項為: an 1 1 an （|）n1 an 若用待定系數(shù)法: an 1 2an an 3 an 1 丄

11、 2 an 法同上; 習(xí)題：已知3an 1 an 2an 1 1 ，兩邊加: 2 1 得: 丄1 ?丄 an 12 an 2，公比: 3門12門2 2 an an 的等比數(shù)列; 2 2門2 3n 1 2n an an 1 2 an an 且 a11 求: an 1 X） 1 x與原式子對應(yīng)得 2 X 1，然后的方 an X 四、求前n項和Sn的方法 （1）錯位相減求和 主要適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的數(shù)列的前 n項和；或者是等差與等 比的商的前n項和；（是商的時候，適當轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式）。既：設(shè)an aa 為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求：an bn或n的前n項和常用此方法（ 都轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

12、乘積 bnbn 形式） 例題1 :已知數(shù)列an 2n，數(shù)列bn的前n項和Sn n2 2n，求數(shù)列a. g的前 n項和Tn 3n 1 例題2 :求數(shù)列an 丁的anbn的前n項和Sn 習(xí)題 1:求：Sn 1 2 4 227 23 . (3n 2) 2n 習(xí)題2：設(shè)數(shù)列an （2nn 11），求an的前n項和Sn 3 (2) 裂項相消求和 適用于an 的形式，變形為: n (n k) 1 n (n k) 例題：求數(shù)列an 寸的前n項和Sn 習(xí)題1 :求數(shù)列an 市的前n項和S” 1 1 1 習(xí)題2:求數(shù)列12，.2.3-n .n 1,的前n項和 (3) 、分組法求和：有些數(shù)列是和可以分成幾部分分開求，在進行加減; 例題：求an 3n 2n 1的前n和Sn ？ 習(xí)題1：已知務(wù)是一個遞增的等差數(shù)列且 a2 a4 4514，a.前n項和為& 2n 1