川大版高數(shù)第四冊(cè)課后答案目前最全的

1、 2. (2) 總-轡=塢貲,實(shí)部為暮虛部為務(wù)，模為 所以n = 2時(shí)，實(shí)部為-毎虛部為密、輻角為警 一 1,虛部為0,輻角為(2上+1)開，上=0,1,2, 警 + 2Ar7r, A: = 0, 1, 2, +甲 1-21 1-2 第一章部分習(xí)題解答 1. -2i； (2) -I； (3) 1; (4) -4; (5) 設(shè)( +紉尸=a +氏,于是 x2 y2 = a, 2xy = b.(1.1) 由此可得(嚴(yán)+滬尸=(工2 一/尸+ 42 = 02 +臚，因而必有工2 +滬=丁品+屏.聯(lián)合(1.1)中 第一式可解得 x2 寺(a + x/a? + 舁), y2 = 1(a + 血2 + 護(hù)

2、). 雖然可無得兩個(gè)工值，兩個(gè)2/值,但不能隨意組合這些值，必須使其滿足(1.1)中第二式.最終得 當(dāng) M0時(shí)，z 、 r 亠(/a+丁以 + 夕.b l-a+xT V=(V2 + 制2) 對(duì)于6 = 0的悄形，當(dāng)a0時(shí),其值為士邁；當(dāng)a V0時(shí),其值為土?心 ,輻角為 arctan 寺 + 2亦，k = 0, 土 1、土2、. 71 =2,3,4可知，三種悄況下模都是1.進(jìn)一 n = 2; n = 3; n = 4. + 2M, k = 0土 1,2,；n = 3 時(shí)，實(shí)部為 ；n =4時(shí)，實(shí)部為-芬虛部為-乎，輻角為 (3) 利用笫1題(5)的結(jié)果有 _ ，開_ 開/4+2fi7r l 另

3、外，因?yàn)? + 3 = 宓卞、所以v/T+7 = 2, n = 0?l.所以冗=0時(shí)，實(shí)部為Q呼、 虛部為模為02,輻角為哥+ 2血，fc = 0,l,2,.-;n=l時(shí),實(shí)部為一虛部 為-沿嚴(yán),模為他,輻角為普+ 2亦，上=0,1,土2,. (4) 因 皿+分=2請(qǐng)，故(俯+0-3 = 2-謬=一所以(v + i)-3的實(shí)部為0,虛部為一吉，模 為吉，輻角為一今+ 2上叭上=0,1,2,. (5) 實(shí)部為虛部為一乎，模為1,輻角為一號(hào)+ 2亦，上=0,1,2,. 3. 因刁=占,也=2e一碣，故乍2 = 2/尋=2(cos令+龍血令)，學(xué)=詔苔=寺(cos磊+讓in鈕. 2 =4 sin2

4、0. 4. 由z+1 = 2cos0得，(z + 2)=以+2+g = 4cos2 0.等式兩邊同時(shí)減去4得 所以z- = 土勿sin0.由此得z = ei9.所以 + 0干加 =2 cosmO. 2_1g 一試2tt 由2 = _亍 =才丁 知axgz = 警 1+閃2| +ef3 6. E ?3-i = 2e 請(qǐng)，故 z =(蟲 _ 2)6 = 26eiir = 26er.2jt_ (1 + 皿)-1。= 2f 丁 = 2-10esT = 2-(_l + y/3t). (3) (4) 由z4 = a4 = o4eiK得4個(gè)根為 =1 + 2i. = aet2nt1)gr 5 n = 0,1

5、,2,3. Zq =字 a(l +),zi =務(wù)a(1 + i),2 =乎 a(i 。，衍=乎 a(l i). 三0,即f(z)三0;若u2+v2 = r2#0,則上面的方程組只有零解, 即站=% = 0.再次利用C-R方程得嶼=% = 0.因此乞和u在區(qū)域D上為常數(shù)，所以 為常數(shù). 若Ref在D上是一常數(shù)，則由C-R方程可知 = J = 0因此u在區(qū)域D上也為常數(shù),所 以f(z)為常數(shù)P 5. 可利用求導(dǎo)公式fz) = - +辿進(jìn)行計(jì)算. (1) ex(xcosy y hh = 0, Uyy = 2a. 容易看出只有工=o時(shí)，即在虛軸匕+ “的=0成;立.但虛軸不是一個(gè)區(qū)域，而調(diào)和函數(shù)必須在

6、一 個(gè)區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程亠, =()所以U = XJ/2不是調(diào)和函數(shù). 0.設(shè)U = 2jy.v=x2-y2.計(jì)算可得 = 2y, vy = -2y.因此CR方程只可能在=0時(shí)，即在實(shí)軸上 成立.但實(shí)軸不是一個(gè)區(qū)域.因此2功+龍(尹-滬)在復(fù)平面上無解析點(diǎn)，即它不是一個(gè)解析函數(shù). ii題中的f(r)應(yīng)更正為麗.否則，取f=z,則/(-)= 3，但z是解析函數(shù),而-不是無析函數(shù)(見 教材19頁上的例1和例2).進(jìn)一步，f(z)解析的區(qū)域D應(yīng)當(dāng)關(guān)于實(shí)軸對(duì)禰，否則麗可能無定義. 現(xiàn)在來證明更1E后的命題. 證法一 設(shè) f(z) = u(x,y)則 /(T) = u(x,-y) - iv(x,-y

7、) =(p(x,y)于(z)在區(qū) 域D內(nèi)解析 u(x,y),v(x,y)在。內(nèi)可微且 一(勺 y) =y), uy(x, y) = -vx(x, y).(2.3) 由于 p(x. y) = u(x, -y),諷眄 y) = -v(x, -y),并且 塞=%(z，-0)，窮=-吟(叭一y)，薯=-%(z, -y),窮=%(H, -s/) 從這些等式中不難推出(2.3)等價(jià)J：髦=鈴黔=貉.因此f(T)與7M的解析性等價(jià). 證法二令g(z) =麗,則 lim能)-皿)=向至二亜=血(心-仙)=怙嚴(yán))-仙), Z ZqZ ZqXxo T To /W*WO W Wq ) 其中3 = -,wo =莎由此

8、可知g(z)在2。的可微性與f(z)在詬的可微性是等價(jià)的.所以在關(guān)F實(shí) 軸對(duì)禰的區(qū)域內(nèi)/(T)與7W的解析性等價(jià). 12. 原題的條件表述不準(zhǔn)確，應(yīng)更改為設(shè)w = f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，并且在區(qū)域D內(nèi)ff(z)豐0. 下面我們?cè)诟购蟮臈l件下進(jìn)行論證.由在區(qū)域D內(nèi)關(guān)J： z的導(dǎo)數(shù)處處不為舉和教材124頁 上的定理6.1可知，V是關(guān)J： z的單葉解析函數(shù)4 (定義見教材123頁).因此3 = f(z)有反函數(shù) z =下面我們證明z = fw)在區(qū)域G = f(z)z G DP也是解析的.設(shè)zoeD,則fw) 在點(diǎn)wo = f(zo)可導(dǎo).事實(shí)上， lim廠誕)-廠(哎=lim 。=lim

9、十匕=亠. WT90W Wqz-zo f(z) f(zo) zZO /(-)尸(引) ZZQ 因?yàn)閆 = f-w)在區(qū)域G內(nèi)解析，所以C-R方程 dx dy dx dy丄 成立.證畢. 13. 該題中雙曲lE弦函數(shù)的定義印刷有誤，應(yīng)更止為sh =； 利用第7題的結(jié)論進(jìn)行證明. 17. 沿負(fù)實(shí)軸割破z平面意味肴幅角0的變化范圍限制在-兀V 0 V 7T.這時(shí)三個(gè)單值分支分別對(duì)應(yīng)圖 2.1中的I, H,皿區(qū).由w(i) = -i可知，應(yīng)取第三分支W3 =畔.又由=e-T.0 = -f.所以 w3(t) = ei3f = e譯=4- 0- 18. (1) ez = 1 4- i/3 = 2e*, z

10、 Ln(l 4- i/3) = In 2 4- i(j 4- 2Z;)7r, = 0, 1, 2, (2) z=e = i. 19. Hl z = re.z 1 = pe 得，p = yj(r cos 0 l)2 + r2 sin2 0 /l + r2 2r cos0.所以 Reln(s 1) = lnp = ln(l 4- r2 2rcos0). 4單葉解析西數(shù)的導(dǎo)數(shù)不霽于零.這一結(jié)論的證明耍用到儒歇定理,趙岀了教學(xué)范圍.所以盡管本題的條件町簡(jiǎn)述為“設(shè) w足關(guān)于2的單葉解析函數(shù)”，我們卻加上了導(dǎo)數(shù)不為不的假設(shè). 5非常數(shù)的解析由數(shù)把區(qū)域映射為區(qū)域.這一結(jié)論的證明也趙出了教學(xué)范詠 圖21 20

11、由對(duì)數(shù)函敬、一般無函數(shù)和描數(shù)函數(shù)的定義有 Ln(l + i) = In +i(?r/4 + 2fc?r), fc = O, 1, 2,. (1 + 訃=嚴(yán) M =eb %十“+2 加)=廣伍 “+2far)C08(ln g + 血血邁)肚=0, 1, 土 2, y = eLn3 二欣皿呵=eiin3e-2 = e-2cos(ln3) + i血血3), fc = 0?土1, 土2,. 護(hù)二尹亦=廣何2+2,丹在收斂圓周上處處發(fā)散因?yàn)樵趩挝粓A周上 (3) 和(5)見教材75頁例4. 2. 4 A仇rrf片 崗八、業(yè)分 也I蟲I砧呵上成立 知，展式在整個(gè)復(fù)平面上成立. (2)因?yàn)椤?注意該級(jí)數(shù)只有奇

12、數(shù)次項(xiàng)，是缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，不能用系數(shù)的比値判別法判斷收斂半徑利用lim 囚= OO,可知nlim 7(2卄1)人+1)； = 0所以展式在整個(gè)復(fù)平面上成立(也可從證明罟血是 整函數(shù)的角度討論) (4) 方法一: c4 =1 _ / sin 2zdz = 1-E 擊知 fQ (2?嚴(yán)訟 一 1 十(1 尸(2z嚴(yán)+2 _ 1 十(l)”(2z嚴(yán) 為 (2心2)! 洛(2伸 因?yàn)镃OS2Z是整函數(shù)，所以展式在整個(gè)復(fù)平面上成立. (5) 方法一： 方法二：由(sWzy = 2sinzcosz = sin2z =刀厲f 可知】, 因?yàn)閟ir?足整函數(shù)，所以展式在整個(gè)復(fù)平面上成立. 方法三：廿實(shí)上， 和(5)

13、可合在起討論.由 sin2 z + cos2 z = 2- 2o( 1尸(2z)2e (2n)! n=O cos z sin z = cos Iz = cos =丄 + 丄 f(WT = 1 + 2 F(-1)”嚴(yán) S)! _ 1(-l)n(2s)2n n= 1 22 2(2n)!2 厶 .211(1尸(2可2 (2n)! 22 厶 (2n)! n=O 7 (6) 3(1) (2) 占=(住)仝卽喀4逸N lim gd = lim q = 0.收斂半徑為 moon*oo 該級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，系數(shù)Cfc為 oo. 0, 如果 A: = n!,n = 0,l,2,. 否則. lim fc*oo y/

14、ck = 1- 4. 所以收斂半徑為1. 該級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，系數(shù)6為 n = 0, 2.4, n =3, 5， 于是 所以收斂半徑為1/4. Cn = n!/nn. -尸是 (n + 1)! nn lim 6 + = lim m8 Cnn一8 (n + l)n+1 Til (TTi7) =e 所以收斂半徑為 “ n=0n=O 當(dāng) 1 V|2| V8 時(shí), OO OO =(吉+荀丈吉= + 2亡肩 n=0 n+3* n=0 + 1 00 /1n = 2v-. n=ln=0 (3) 利用級(jí)數(shù)的柯西乘積公式有 ”800008OO Ar 號(hào)時(shí))= EE- = e 所以 2(以 + 1) oo =z n

15、= 1 n+1 z fc=o kn COS (n 4-1 Ac)! 對(duì)工科學(xué)生而言，寫出前面幾項(xiàng)即可，例如 心+ 1) 亡(_1)5 = +1一存_ n=0 3呂11呂 / n=0n=0 8 +力祜 n=0 - 1 . 1 =sin 1 cosk cos 1 sin z 1z 1 1 F (-1 尸 CQS11 (2n)! (z - l)2n + 召(2n+ 1)! (z - l)2n+1 nir4 . n7r 48 cos 1 sin4 21.寸21 (2 _ l)n 十厶 7n=0 亡血(l+p 1 n=0 sin - = sin (1 尹(-l)nsinl =L n=0 工、sin 1

16、cos =X n=0 n! n! (一 1)廿 展開區(qū)域應(yīng)修改為1 V |z| V3 1 一丹 J =楊+磊 +最以+磊2 +磊 212 (尹 一 l)(z 3) 1 一丹十 73 1 T/133233 =_眉(7 + = + = + 戸 + (5) 因?yàn)?=1袞后一卯 莎KT_昭一丿何廠 所以 00 (-l)n d _ _lv- (” d _ y =盲嚴(yán) (2i + z-i)2 dz 2i + z 龍 2i (2i)n dz )(2i)n+1* _ _ _11 (z2 + I)2 (z i)2(z +1)2 (z i)2 (2i + z i)2 (z -)2 (-ir+1 n=l n(z -

17、叨-】 (2 卯+i =(-i)n+i n=l n(z - i)n3 (2i)n+1 oo =E(-X)n n=Q + 1)(2 -嚴(yán) (20X2 0 + *攬即止(黑-譏+ 2+i 1 十 11 亍(z+y z + i2(z + l)” 2幺 2n n=0fi=On=0 =丄+丄=I +1 2(1-2) Z 1-Z2 + 1-12 - (+1) 1 - 2n-x (2 +1 尸 1 (z + 1)(1 -(z + 1) OO i時(shí)，z=O為m 1階極點(diǎn).z = oo為本性奇點(diǎn). (6) 2=2上我,*=0.1,2,.為一階極點(diǎn)，2 = 2為非孤立奇點(diǎn). (7) X=kK-k = 0,土 1,

18、2,為一階極點(diǎn)，乙=g為非孤立奇點(diǎn). (8) 2=(2* + 1)衣,思=0,1,2,為一階極點(diǎn),z=8為非孤立奇點(diǎn). (_3：+2)2陽足多值函數(shù)，支點(diǎn)為1.2,oo,任-逹接這三個(gè)支點(diǎn)的連續(xù)曲線為支割線.對(duì)毎一 個(gè)單值解析分支，支割線上的點(diǎn)為非孤立奇點(diǎn). (10) z =(血+*)打,上=0, 土 1,2, 為一階極點(diǎn)，2 = oo為非孤立奇點(diǎn). (11) 利用lE弦函數(shù)的恭勒展式，求出 鈕吉 在z = l處的洛朗展式.注意到有無窮多負(fù)幕次項(xiàng)，于是 由定義可知2 = 1為本性奇點(diǎn).2 = 8為可去奇點(diǎn). (12) 當(dāng)沿實(shí)軸從左側(cè)和右側(cè)趨于1時(shí),e宀分別趨J： oc和0,而J 一 1趨J：

19、e - 1.所以z = 1為 本性奇點(diǎn).z = 2kivi,k = 0, 土 1, 土2, 為一階極點(diǎn)，z = X)為非孤立奇點(diǎn). 14. 當(dāng)mn時(shí),a是/ +(/的max(m,幾)階極點(diǎn)；當(dāng)m = n時(shí),a是不髙J： m階的極點(diǎn)或可去奇點(diǎn). (2) a是/的m + n階極點(diǎn). (3) 當(dāng)tn n時(shí),a是丄的m-陀階極點(diǎn)；當(dāng)m=侃時(shí)，a是丄的可去奇點(diǎn)；當(dāng)mn時(shí)，a是Z的 399 n - m階零點(diǎn) 15. 當(dāng)2 = a為f(z)的解析點(diǎn)或極點(diǎn)時(shí)，f(z)在點(diǎn)z = a的空心鄰域內(nèi)的羅朗展式無主要部分或主要 部分只有有限項(xiàng)，但卩(打在點(diǎn)2 = a的空心鄰域內(nèi)的羅朗展式的主耍部分有無窮多項(xiàng)，J：足諷

20、幻土 人打,以打/，孵在點(diǎn)2 = “的空心鄰域內(nèi)的羅期展式的主要部分有無窮多項(xiàng).所以2 = a m 為偶數(shù) 2k 時(shí)，Resf(z) = 2=0z=0ZK + 1)! (2) 記 ek =,m- 1. Res f(z)= 先=- m14 m1m1 . k 了 c - 4 陳如一若()嗚尸=律苕(申)=_;: (3) Res f(z)= 一 ,ResfG) = v 7 ea 八 f(0 - a)m，z八 f (0_a)m (4) Res/() = e. (5) 由 cos()z = cos (z + 可得 cos2 在 z = 27r, Ar = 0, 土 1,士2, 的泰勒展式 (一i)n(z

21、 一 2耘j加 (2 2 (Z 2AT7T)2 2 2kir + z 2k7r 是 1 _ C08Z = C _ 2化尸_ C _ 2行)(二_汰次尸 丄心“24十720十 _(Z - r)2 (Z _ 2切4 12360 z 1 COS Z (z 2k7T)2 電(z 2A：7r)2 (z 2fc7T)4 212+ 360 + 1 仏兀2 (z - 2亦尸+ z 一 2血 240 4A：7r,2fc7r z 2kn (z - 2fc7T)2 + Z-2k7T + T + 6 所以Res f(z) = 2,上=0,士1.,2 z=2fcx 由 sin(n) z = sin(2 + 號(hào))可得 s

22、in z 在 z = 2fc7r, k = 0, 土 1, 土2,的泰勒展戒 .W7T 總皿/“ xn 占(一1尸(Z - 2亦嚴(yán)+1 S1D2 =_ (Z 一 2fc7T)n = X ， ra=On=0 n= 0 (2w + 1)! sin3 s (z 一 2血)3 11 z - 2/ttt)3 r (Z - 2fc?r)2 16- + 上式推導(dǎo)的最后一步雖可使用得級(jí)數(shù)的乘法和除法計(jì)算得到，但使用下面的公式會(huì)更方便. 一 s c(a 1) 2a(a 1) -(a n 4- 1) “ (1 +Z)a = 1+02 +_ Z2 + +丹 +卜| V L 當(dāng)。為復(fù)數(shù)時(shí)，這個(gè)公式給出的足主值支的條勒

23、展式.號(hào)一方面，J - 1在z = 亦七= 01.2的泰勒展式為 (z 2Ar7r)2 (z 2fc?r)3 一2“+( 2 + 6 + 是 111 L (z - 2A:tt)2 z - 2Ar7r)2 + 2(z 一 2血)+ _!卜 +2+ 112I (z 2賦)2 + 2(z 一 2血)+ + 所以蕊丿2 因?yàn)?2fcjr ,A: = 0, 1?2, . n-0 n.丿 “0 5/ 所以曲心=亡顧f n=O vz (8) 因?yàn)?眉(T)生需)Q展), 8(1)卄1 宀十丄 所以啓fO =名!(.+ 1)!2加+】“ ,=(舉處 ) = J；：；芻=(-g + S心 0 1，2,. (10

24、) ia l 丄廠 -znzj! (m 1)! (m+l)!(m1)! 理S f(z)= 3(1) 因?yàn)?丄1 +蘭+ ：2十6 1 1 =歹+ +， 所以 i = 27ri Res r = 0. J|x|=1 z sinzz=o zsinz 積分路徑c是以Z = l+i為心半徑為辺的圓周，被積函數(shù)的極點(diǎn)1,1位于c內(nèi). =2F 固+(Z- i尸( + 1) 1 =27TI +（2 -1）2（十）心 =2加（一* + 扌）=一*趙 解法一：因?yàn)?Res f(z)= 產(chǎn)_1(2 2)!(加-加+1 必“】(z- b)” z=a _ (一)1)!2( _) (1 xn 1(2 c2n+l 7而FF

25、(i 護(hù)一】 1 dz1 (z - a)n 所以 (z a)n( b)n dz =27ri Res f(z) + Res =0. z=b 解法二：在1 V |打V +oo內(nèi)，由公式（5.1）有 /W= (一 a)” _ b) = (X - 7) (J 7) =圭(1+ / + ) (1 + ), 71= 1,2, 由此可知負(fù)-如項(xiàng)L的系數(shù)為0,即R-/W = 0,所以 （4）因?yàn)?廠齊吋=_2肝險(xiǎn)弘）=0. 眩于（Z）= 2+云 z=t - 2?； e-2i 2T 所以 解法一：令Z =則 (5)利用第2題(5)中的結(jié)果有 z、1+z 3 = 丁二本 1 + 2fc7T + Z 2k7T 2

26、2 + Z 2k7r 2 (z 2 上 7T)2 + z 2A?7T 2 + 4A:tt (Z 2 7ri, a 0時(shí),f(z)= 在該點(diǎn)的留數(shù)為 (珅+以)2 所以 由此可得，當(dāng)a V0時(shí)有 綜介兩種悄形可得 6 在上半龍平面只有一個(gè)二階極點(diǎn)2 = aiy它 d J 陰人)=石丁麗 1 z=ai 硏 o占宇心=2衣幺=冷 匚=壇 廠 T2 Aoo （止+以尸 (3)/(?)= , 2 , : 2 小在上半z平面有兩個(gè)一階極點(diǎn)z=iz=3i. (2*+ 1)z + y； 磐f()= (z + ( + 9)x=.=儲(chǔ)， 加=(十總+i)l廣忐 所以 Zoo (R+l)(h + 9)血=如(頁 +

27、 就)= zeimz覧丄 Qfc (4)本題中的條件 1可放寬為 0. /(2)= -有四個(gè)一階極點(diǎn)叫=葩亠4 0,1,2, 3.X + COST 為3亠1). -一 在上半z平面的極點(diǎn)只有兩個(gè)z =ao = ae和z = ax =ae = -g-遙，所以 5*8111 mi f (5)推導(dǎo)過程見教材112頁上的例11. 廣00血 血 Loo TT = (6)我們先推導(dǎo)一個(gè)一般的結(jié)果.考慮由分式給出的函數(shù)子匕)=需，其中F(z)和Q(z)在勺Moo 都解析.若巾是Q9)的一階寒點(diǎn)，則當(dāng)尸(切)# 0時(shí)，中為f(z)的一階極點(diǎn)；當(dāng)尸(切)=0時(shí), 兀為/(z)的可去奇點(diǎn).不論哪種悄形，都有 (5

28、.2) D ft P(2o) 2=2。 設(shè)/=U則的奇點(diǎn)為 ,r 一 1,廠十 1,2r- 1. 這些奪點(diǎn)要么是/(習(xí)的-階極點(diǎn)，要么足/(習(xí)的可去奇點(diǎn).f(z)在這些點(diǎn)處的留數(shù)可用剛推導(dǎo) 出的公式(52)統(tǒng)一計(jì)算.注意z = 1既是分子的一階零點(diǎn)也是分母的一階零點(diǎn)，所以是f(z) 的可去奇點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)做解析點(diǎn)處理.因此f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn).f(z)在上半z平面上的奇點(diǎn)(一 階極點(diǎn)或可去奇點(diǎn))為Zk = e上=1,2,”一 1.所以 (2q+l)i_g(2p+】)令 _e(2p+i)平 = Et fc=o % 1 (2+l)xi1 c(2p+l)iri - 2r f_ 1 _ e(2p+L)4

29、7TI T 7vi 7T =2? 7T _1i 1 - e(2g+1)i _ e(2p+i) e-畔*e27ri ex (爭(zhēng))- sin (誓)+ cos (筆嚴(yán)兀)二sin (畔町 cot cot 6(1)取實(shí)K 0 r /?,我們有 fR尹一嚴(yán) , I 2ti(r24-l)2dr = fR eT 2i Jr x(z2 + l)2 dx + （工2 +丄尸必 設(shè) 3 =）2, Cr：z = Rei6（0 0 tt,R 充分大），Cr :z = re（0 0)時(shí)有 e=e 1.因此zf(z) = 0 在 Cr 上一致成立, / 0的悄形取實(shí)數(shù)0 VV “n一 于是所求傅氏解為：七/I /2(l

30、 + X)(-lX0) (1 - X)(0 X 1),試求其傅氏解。 9=0. 卩(x)= 2 將前題之初始條件改為： 解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題： cn=i (JA(1 + G Sin 供 + 力(1 G sill 強(qiáng)百 =普(J： sin 爭(zhēng) g + J： sin 爭(zhēng)f + j： g siii 爭(zhēng)f)=詈 sin 號(hào) 3今有一弦. 為 /. u(x.t) = y -fsin警cos呼Yin nI 英兩端兀=和* = 1為所周定.作自由搖動(dòng)，它的初位移為0。初速度 (XW2“,其中c為常數(shù).Qapl.試求其傅氏解。 解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題： Dn =禽了山呼f = (

31、cos 于-cos 呼) B、 u(x. r) = v -(cos平 _ cos 學(xué)Q) sin 哼sin 呼 a 4今有一弦，其兩端向定在兀=0和X = I兩處，在開始一瞬間，它的形狀是一條以 過 x = 2點(diǎn)的鉛垂線為對(duì)稱拋物線，其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h假定沒有初速度，試用付氏方法 求弦的振動(dòng)情況： ,* 小 (o, 0),(.h)及a.o) (一 1 一士g) 解*設(shè)其拋物線方程為(x-G =-2p(y-5),將點(diǎn)2代入得: a = p = ,b = h 2 8h,故方程為 y = h4h (0 x 0) 5求解混合問逆 u(x. 0) = sin 竽叫(x 0) = sin于(0 x 0)

32、6一求解混合冋題 r(r 0)=忌平go) = r(7-x),(0 V x V 7) 解：所求問題為一維波動(dòng)方程的混合問題： u (x, t)=W(q cos-2L + Z)n sin嚀9 sin n=l Cw=f fZ sin 苧 sin 呼 d： = (0? y 豐 3) w /Jo z z 5 l.a = 3) D=島層(1)血站=拱.;為2數(shù)) 0 .為偶數(shù)) 30 uQx.t) = v互嚴(yán)sin 號(hào)為奇數(shù)且n 工 3) 0=1 (cos4- 8a siii sill (w = 3) 第八章熱傳導(dǎo)方程的付氏解 1. 一根長(zhǎng)為/的樞軸它的初溫為常數(shù)0,其兩端的溫哎保持為0,試求在樞軸上溫

33、度 的分布情況。 解：所求問題為熱傳丫方程混合問題，其付氏解為: 8 = - y n=l 其中：a峠認(rèn)血竽 = n/rx sin ； (-cos / n/r tl7T na7r)t g)=三如尸 故：w=l njr (.Y, 0)= 5.有一兩端無界的樞軸，其初始溫度為 z/(x.Z) = fX ear Sncos(/x) J/ 度分布為?！?l(|x|l),試求在樞軸丄的溫 ut =a廿xx (/0) (AO)=0(X)(vxvs) 解：所求問題為熱傳導(dǎo)方程初值問題， 其付氏解為.心)=仁小*)“ (“) cos(“r) + B(“)sin(“x) _ 2J。e-(/Wfl)* ” 么(“)

34、cos(/x) + B(/) sm(/x)求解狄利克宙問題 知常數(shù)C 4 例 v a. 0. （-7T &蘭；T） ,其中a., a為已 ?心&)=申+ 7 其付氏解為：亠 W-1 Z（占”cos ”0 + Bnsin n6）rn An 其中： =sill er 117V 2“ Bn =寺 Q /（）sin 和（pdp =務(wù)廣 =0 .（廠.&）=孕+ 爲(wèi)（sinnacos”?！?3.求解狄利克雷問題 Ncos&（-x s &蘭x）其中a為已知常數(shù)。 8 ”（尸.&）=誓4- zQz7COS7?（9 4-5wsilln6rn 解：其付氏解為：-】 其中: 當(dāng)u=i時(shí), =A 禺才有值叢=專Fe

35、os如g + 專 sin 爐 cos 仏=嚴(yán)斗，f（9）CO91 強(qiáng)（P _ J_ J2jt cos cos ?7（pd5(x) KttO -i4 = 5(w) 13、試證明* + V c - 0 證明：1匚於)喬帀化(x) (arctailf) “ =arc tail 丄 f _ p(a tailu )du A =奴 0)=%丫) 第十章波動(dòng)方程的達(dá)氏解 2. 驗(yàn)證(I)=送(X + ) + ( )%滿足波動(dòng)方程嶺=品 . (、f 、丫 、2/屮(x + C)+2(x_/)m 證明j x.t) = tg(x + at) + (x-ary- . cosO + m) 4. “沖士時(shí)2 而coJ(

36、x + m) 4 代入等式成立。R卩為所證。 4試求 出方程?？?一2切+尹匕=0 的 通解為 “(XJ)= gxy)InX +肖(卩)，其中卩和0為充分光滑的任意函數(shù)。 解：叫=叫冬+=，企十f.(1) U=(亠)+ (us)77x=y (q b +(6)疔y (y 蟲 +u 辦 + (yu“ 醫(yī) + %)+ b (x 弓伽)+ Q叫 + x(yu + 知) =2xyu + lx1 yu + x2urjrj 一 2x2y2u 一 2x2yu + 2xyu + xu = 0 Rp+ 2xvii. + xun = 0 m” + 2尸作 + = 故ti(x.y) = p(xylnx + (xy)為

37、方程的通解。 - = x2 + siii y. yo x. v =o u(0. y) = siiiy 5.試用行波法求解定解問題: “(x. 0 ) = x o 解：將方程的兩邊對(duì)y積分得：4=hMy + jinWy+(x) = *y g + g】(x) g(x) = Jq(x)dx 再對(duì)X積分得“() =寧-“ + g(X)+ /(刃 和/(y)由定解條件確定。則有g(shù)(0) + /(y) = siny 所以 /(y) = siny_g(0) _x + g(x) + /(0) = x 所以 第-一章格林公式 Au = 0 p a u (a.p) = A cos )- ”0)/ +q2 _2aQ

38、cos(卩一卩。) 本題中/) = Acos0,于是 、1 節(jié) 力 cos%(a。) u(p.(p) = ； 7皿 將上 17T * a +q 2a/?cos( %) s = p_ 試中的分子與分母同除以并記 a ,得 “(pp) = 土&竺迢網(wǎng) 2tt J。1 2&cos( 網(wǎng)) cos% =(z + z_1) = - 另三=嚴(yán)，則 wo 2、7 2z , cos _ *0 ) = J-)+ 只一刊)=lZz1 + 一并代入上試中積分，于是得： 1 +廠 sez2 - (l + /)z + eeQ 7Jcos0(a2-p2)-1 =J /2dcos 卩。)如 =五叫 z 1內(nèi)有奇點(diǎn)石= ei

39、p .n z = 一.詔0 令分母為零，得到被積函數(shù)的奇點(diǎn)，,故在 習(xí)=,且均是單極點(diǎn)，故有留數(shù)定理有： gf(*) + T(0) =托、COS0 一1上/、r I =Z2-T/V resf(zk ) = n i 2i臺(tái)八VL w(p.o?) = pcosa? 的格林函數(shù)，并由此求解狄 %+5 = F(0j) = /(y)(0yoo) m(x,0) = 0 5求區(qū)域：0 xoo.0y0) 1.求函數(shù)x的Fornier變換。 解：Qj Fourier變換的定義有： F) = F sin ax taxBOXp(tQ)x 二三嚴(yán)心匚一推 2/x C eos (n ) X o dx 0 J 8 sin

40、 (c + e) x jr o 心 l_eev0,于是有 0.q0 嚴(yán) sin(a + e)x ax = 孕.evO 員 7T F 得 3)若 0. c ty V 0. d + q 0,故有: p)-JX_ 7T 嚴(yán) 5in(a + e)x兀 ax = X 2 . 怙龍2 sin ax sin ax F =0 F =0 于是 _ x _ 9 同理如果0VO,貝1 .X- O l-x2,|x|l R A 1的FoTb變換o /(*) = 2求函數(shù) 解：/(X)在Hxdx = -(sin ecosey) ill FouHer變換公式有 ut = arii co x 0 w(x.0) = cosx

41、解：對(duì)定解問題各項(xiàng)以X為變就施行Fourier變換，并記 F“(x.r) =u(x.t) eiCifxdx = fi(gf) F cosx = J： cos xiC3xdx = q(co) du + aariico.t) = 0 則定解問題化為I(Q.0)= (O),它的解為 方(e.r) = 0(e)eY Q f cosx*F_1 莊心 它的逆變換得： “(x.r) = F_1 q)co)ea T 4卜三jy 宀0=皿遇圖。=出戶 aqo* qCOS X / x t、12 w(x.r) =I e 4丹 cos(x 了”歹=| e %” cos = ea , cosx lay7Tt JyayjTTt jQ2 1.求下列函數(shù)的Laplace變換 (1) 解： 第十四章Laplace變換 eaT. 由Laplace變換的定義有 ea, = J；eateptdt =.