比例線段與相似性質(zhì)和判定

1、 j比例線段與相似性質(zhì)和判定 考綱要求 內(nèi)容 基本要求 略咼要求 相似三角形 了解兩個三角形相似的概念 會利用相似三角形的性質(zhì)與判定進行簡 單的推理和計算；會利用三角形的相似解 決一些實際問題 知識講解 比例的性質(zhì) a c b d a c b - a c b d a c b d a c b d a c b d a c b d 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ad bc,這一性質(zhì)稱為比例的基本性質(zhì)，由它可推出許多比例形式 c a b a b b a b b -J -（反比定理）; c b（或-）（更比定理）; d b b a c d -（合比定理）; d d c d （分比定理）; d

2、 c d c d （合分比定理 ）； （b d n n 0） m -（等比定理）. n b 二、成比例線段 1比例線段 對于四條線段a , b, c, d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如衛(wèi) b d （即a:b c:d ）,那么這四條線段a , b , c, d叫做成比例線段，簡稱比例線段. 2 比例的項 在比例式a （ a:b c:d ）中，a , d稱為比例外項，b ,c稱為比例內(nèi)項，d叫做a,b , c的第四 b d 比例項. a b 三條線段一 - （a: b b :c）中，b叫做a和c的比例中項. b c 3 .黃金分割 * ACB 如圖，若線段AB上一

3、點C把線段AB分成兩條線段 AC和BC （ AC BC ）,且使AC是AB和BC的比 例中項（即AC2 AB BC ）則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學上匕例線段與相似性質(zhì)和判定教師版Page 1 of 11 5135 AC 丁AB 0.618AB，BC TAB 0.382ab，AC 與 AB 的比叫做黃金比. 三、平行線分線段成比例定理 1 .定理 兩條直線被三條平行線所截，截得的對應(yīng)線段成比例. 2 .推論： 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例. 3. 推論的逆定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的

4、延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角 形的第三邊. 4. 三角形一邊的平行線性質(zhì) 平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成 比例. 如圖，AB II CD II EF，則 AC BD , CE DF 下，AE稱為全，上述比例式可以形象地表示為 CE DF AC AC BD， 上上 下下， AE BF， AE 下 下 上 ，上 上， 全 A LI 5 1 CE BD D匸.若將AC稱為上，CE稱為 BF 上下 全，全 B D E F X ”字型.則有 當三條平行線退化成兩條的情形時，就成了 BC II EF AE AF , AE A

5、F EF . EB FC AB AC BC A ”字型, 學案提升 考點一：比例的性質(zhì) ?考點說明：如果要考查多以選擇和填空為主，重點掌握等比性質(zhì) 【例1】若X y Z，則* y 3Z的值為 3 45 3x 2y z 【答案】25 4 畢業(yè)班解決方案 初三數(shù)學上匕例線段與相似性質(zhì)和判定教師版 Page 2 of 11 【答案】 4 【拓展】若a b a c b c k，則k的值為 cba 【答案】 2或 1 提示：等比性質(zhì)， 若 a b c 0 時，k 空-_c)2，若 a b c 0 ,則 k 1 a b c 【例2】 已知x :y:; z 1:3:5 ，求 3y z的值 x 3y z 【解

6、析】 解法一: 設(shè) x y z k，貝U x k , y 3k , z 5k x 3y z k 9k 5k 5 1 3 5 x 3y z k 9k 5k 3 解法二 :由 x :y: z 1:3:5 得 y 3x, z 5x x 3y z x 9y 5x 5 x 3y z x 9x 5x 3 【答案】 5 3 【鞏固】 已知： x y z 求 x y 3z. 2 3 4 3x y 【解析】 設(shè)- y z k x 2k,y 3k,z 4k，代入 x y 3z 中得原式11 2 3 4 3x y 3 1，則 4 ace d f 【解析】由-及比例的性質(zhì)可知: b d f 4 -e 1 也可用過渡量

7、”來求! b d f 44 【答案】11 3 考點二：黃金分割 ?考點說明：如果要考查可能出現(xiàn)在22題之中，需要掌握黃金分割的定義 【例3】如圖所示，樂器上的一根弦 AB 80 cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點 C是靠近點B 的黃金分割點（即 AC是AB與BC的比例中項），支撐點 D是靠近點A的黃金分割點，貝U 【解析】 【答案】 【例4】 AC cm , DC cm 點C是靠近點B的黃金分割點， AC:AB 又點D是靠近點A的黃金分割點, DC AC BD AB 80.5 80 40.5 40 80 .5160 專，即AC專AB 40.5 40 , 80 40 540 , 80

8、BD 80.5 160 如圖所示，在黃金分割矩形 ABCD AB BC 中，分出一個正方形 ABFE，求匹 2CD 畢業(yè)班解決方案 初三數(shù)學.比例線段與相似性質(zhì)和判定.教師版 Page 3 of 11 AED 【解析】/ AB AC 5 1 .BC2 2 AB5 1 BC AB 2 5 1 AB 5 1 BC AB BC BF FC , AB .FC 5 1 【答案】 CD CD 2 FC 5 1 CD 2 考點三：平行線分線段成比例定理 ?考點說明：平行線分線段成比例定理的考查多數(shù)以選擇或填空的形式展開 【例5】如圖，DE II BC,且DB AE，若AB 5, AC 10,求AE的長. 【

9、解析】 Q DE II BC AD AE AD AE AB AC DB EC AB 5, AC 10, BD AE AD AB 1 AD DB AEAE AE AC 2 ，AE EC AC AE 10 AE AE 1 10 AE 10 AE 2 3 【答案】 10 3 【例6】 如圖, 已知 DE II BC ,EF II AB，則下列比例式中錯誤的是 A . AD AE B. CE EA AB AC CF FB C. DE AD D. EF CF BC BD AB CB 【答案】C 畢業(yè)班解決方案 初三數(shù)學.比例線段與相似性質(zhì)和判定.教師版 Page 4 of 11. 2DE , AA 【解

10、析】由DE II BC，可得AD AE ，故A正確由EF II AB ,可得 EF CF CE AB AC AB CB CF 確.由DE II BC，可得 DE AD ，而 AB BD , C錯誤. BC AB EA，故D , B正 FB 【拓展】如圖, ABC中，D為BC邊的中點，延長AD至E，延長AB交CE的延長線于P 若AD 求證：AP 3AB 【答案】過點D作PC 的平行線，交AB于點 H . Q HD II PC,AD 2DEAH AD PH DE 2 AH HD II PC,BD BH BD CD1 PH CD BH PH AP AH PH 3PH,AH BH AB 2PH AB

11、BH PH AP 3PH 3AB 老師可引導學生通過作如下輔助線來證此題： 2PH 2BH 3, AC 9，貝U AB的長為 【例8】 如圖，在 OCE 中, AD II BE、BD II CE，若 OA 【答案】 3 提示：設(shè) AB x , OA 則 OB 3 x, BC 9 x, OA AB 代入即可求得 OD OB DE BC 【例7】 已知，如圖邊長為 2的等邊 ABC , DE II BC 【答案】丄 2 畢業(yè)班解決方案 初三數(shù)學上匕例線段與相似性質(zhì)和判定.教師版 Page 5 of 11 求證：BC AB 1 BP BQ 【答案】證明過程略。 提示: BC DQ AQ AQ AB

12、AQ AB BQ BP PQ BQ， BQ BQBQ BQ 【例9】 已知，如圖在平行四邊形 ABCD , P為BC上任一點，連接 DP交AB的延長線于Q ABQ 考點四：梅涅勞斯定理 ?考點說明：梅涅勞斯型在選擇和填空中考察較多, 需要熟練掌握該定理以提高解題速度 梅涅勞斯定理：如果一條直線與 ABC的三邊 AB、BC、CA或其延長線交于 F、D、E點，那么 AF BD CE FB DC EA 證法一：如左圖, 過 C 作 CG II DF 1 這條直線叫 ABC的梅氏線, ABC叫梅氏三角形. DB DC .AF FB FB FG， BD CE AF FB FG 1 DC EA FB FG

13、 AF EC FG AE AF 證法二： .AF 如中圖，過 A作AG II BD交DF的延長線于G AG BD BD CE DC FB BD， DC DC ，EA AG AF BD CE AG BD DC 1 三式相乘即得： FB DC EA BD DC AG 證法三： 如右圖, 分別過 A、B、C作DE的垂線，分別交于 H1、H2、 H3 貝V有 AHi II BH2 II CH 3, AF BD CE AH1 所以 FB DC EA bH2 業(yè)坐1 CH 3 AHi 【例10】如圖，在 ABC中，M是AC的中點, E是 AB上一點，且 AE 丄AB，連接EM并延長，交BC 4 的延長線于

14、D，則 BC CD A 畢業(yè)班解決方案初三數(shù)學上匕例線段與相似性質(zhì)和判定教師版Page 6 of 11 【答案】2 【解析】以上這些解法均屬于常規(guī)解法，下面介紹特殊的解法: 看 ABC為直線EMD所截，由梅涅勞斯定理可知，AE BD CM i EB DC MA f 1t, BDBC 又 AE -AB，AM CM，故 32 4DCCD 上述圖形是一個經(jīng)典的梅氏定理的基本圖形，解類似的題時，梅氏定理的運用能夠帶來立竿見影 的效果，很快得出答案，梅氏定理的證明見變式1,先講變式1再介紹本解法 【例11】如圖，在 ABC中，D為BC邊的中點，E為AC邊上的任意一點， BE交AD于點0 AO 【答案】（

15、1）A0 AD 2 3 ； 【解析】梅氏定理，看 AO DB CE OD BC EA AO AD t AE 1 （2）當時， AC 3 ADC被直線BOE所截可知 AE 1 1，而 AC n 1 1 ;當膽1時，jAO 2 AC 4 AD CE nAE， BD CD，故 AO AD 【鞏固】如圖, （1）如果E是AD的中點，求證： AF 1 FC 2 ； AD是 ABC的中線，點 E在AD上, （2）由（1）知，當E是AD中點時, 重合），上述結(jié)論是否仍然成立， 當歴 AC F是BE延長線與AC的交點. AF FC 若成立請寫出證明，若不成立，請說明理由 1 2 ED AE成立，若E是AD上任

16、意 丄時，些 n 1 AD 不 (1) 當AE 1 -時，求 AO的值； AC 2 AD (2) 當AE 1 1養(yǎng) 、時， 求-AO的值； AC 3 4 AD (3) 試猜想 AE1 -時AO的值，并證明你的猜想 AC n 1 AD 【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論依然成立 【拓展】在 ABC中，底邊BC上的兩點E、F把BC三等分，BM是AC上的中線，AE、AF分別交BM 于 G、H 兩點，求證： BG:GH:HM 5:3:2 畢業(yè)班解決方案 初三數(shù)學上匕例線段與相似性質(zhì)和判定教師版 Page 7 of 11 【解析】利用梅涅勞斯定理，得 把 BCM看成梅式三角形, 把 BCM看成梅氏三角形,

17、 考點五：相似三角形的性質(zhì) AF看成梅氏線, 故 MH 1 HB 4 AE看成梅氏線， 故 MG 1 -，所以 BG:GH : HM 5:3: 2 GB 1 ?考點說明：利用相似三角形的性質(zhì)如對應(yīng)邊成比例，求線段的長，或者轉(zhuǎn)化角度。 【例12】如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形, 則 BF:FD （） A. 4: 5B.4:9 C. 4:10D. 5: 9 【答案】B E 為 BC 上一點，AE 交 BD 于 F。若 BE: EC 4:5 , 【例13】已知E為梯形 ABCD 一腰AB上一點，且AE: EB 2:1 , EF II BC交CD于F , AD 5 , EF 7 , 則BC長為（）

18、 A. 8 C.10 B. 9 D. 11 A E- B M - / E B A AD EC 【答案】A提示：方法一，分別取 AE、DF中點，連接MN，則MN6 , BC 2EF MN 8 2 方法二：過點 D 作 DH II AB 交 EF 于 G，則 BH AD 5 , FG 2 ,二 CH 3 ,二 BC 8 【例14】如圖，在梯形 ABCD中，AB II CD , AB a , CD b , E為邊AD上的任意一點, EF II AB，且 EF交BC于點F 若E為邊AD上的中點，貝U EF （用含有a , b的式子表示）； 若E為邊AD上距點A最近的n等分點（n 2，且n為整數(shù)）， 則

19、EF （用含有n , a , b的式子表示） C -F l I B 【答案】丄衛(wèi),b （n 1）3提示：參考例7方法二 2n 【例15】如圖，n 1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)厶B2DQ的面積為3 , B3D2C的 面積為S2， BnQnCn的面積為Sn，則S2=； Sn = （用含n的式子表示） 【例16】 如圖，在 ABC中，AB 6 , AC 4 , P是AC的中點，過 P點的直線交 AB邊于點 Q，若以A、 Q為頂點的三角形和以 A、B、C為頂點的三角形相似，則 AQ的長為（ 【答案】 A. 3 B. 3或- 3 D.f 3 考點四：相似三角形的判定 提示： G D1

20、 AC1C2D2 AC2 B2C2 AC2 B3C3 AC3 ?考點說明：熟練掌握相似三角形的判定方法， 【例17】如圖，小正方形的邊長均為 1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與 ABC相似的是（） 【答案】 【例18】在ABC中, B 25，AD是BC邊上的高，且AD2 BD DC，貝U BCA的度數(shù)為 【答案】65或115 注意分類討論，如圖有兩種可能 【例19】如圖，已知 DAB EAC，若再增加一個條件就能使結(jié)論 AB DE AD BC成立，則這個條件可 以是 【答案】答案不唯一，如 【例20】已知：如圖，點 P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)一點, PB 3, BF BP于點B，試在射

21、線BF上 找一點M，使得以點 B,M,C為頂點的三角形與 ABP相似，作圖并指出相似比 k的值. 【答案】k 1或4提示：已知， ABP CBF 欲使以點B,M ,C為頂點的三角形與 ABP相似，只要使 3 畢業(yè)班解決方案 初三數(shù)學.比例線段與相似性質(zhì)和判定教師版 Page 9 of 11 111 ABP及 CBF的兩邊對應(yīng)成比例. 【例1】已知等腰直角 ABC中, 的垂線，交斜邊 AB于 求證：BL LK . E、D分別為直角邊 BC、AC上的點，且CE CD，過C、D分別作AE ,K . 則CE CF ，于是可證 ACE也 BCF , 于是1 2, 1 F 90 , 2 F 90 二 AE BF CL II KD II BF , .CD KL 1 CF BL - BL LK . 若MABC內(nèi)任一點， AM , BM , CM 求證： MD AD ME FM BE CF 1 . 【答案】延長AC至F，使CF CD