等價無窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

1、等價無窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用XX(XX學(xué)院XX學(xué)院 山西XX )摘要：等價無窮小替換是求函數(shù)極限的常用方法之一，本文討論了等價無窮小在四則運算、變上限積分、冪指運算中的應(yīng)用，并通過實例分析了等價無窮小求極限的優(yōu)勢及常見錯誤關(guān)鍵詞：等價無窮??；替換；極限1 引言在微積分中極限處于十分重要的地位，極限求法眾多，而等價無窮小替換是一類重要的方法在求極限時，靈活運用等價無窮小，往往會使一些復(fù)雜的問題簡單化但現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材中，只給出積、商運算中等價無窮小因子的替換規(guī)則，對四則運算、變上限積分及冪指運算等廣泛使用的情況未能提及本文作了一個比較系統(tǒng)和全面的總結(jié)及適當(dāng)?shù)耐卣?，并對等價無窮小求極

2、限的優(yōu)勢和常見錯誤舉例分析，以加深對等價無窮小性質(zhì)的認(rèn)識和理解2 等價無窮小的定義及性質(zhì)定義1如果函數(shù)當(dāng)(或)時的極限為零，那么稱函數(shù)為當(dāng)(或)時的無窮小定義2設(shè)與都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小，且，如果，就說與是等價無窮小，記作常用的等價無窮?。寒?dāng)時，關(guān)于等價無窮小，有三個重要性質(zhì)：性質(zhì)1與是等價無窮小的充分必要條件為性質(zhì)2設(shè)，且存在，則性質(zhì)3 ，3 等價無窮小在求函數(shù)極限中的應(yīng)用3.1 含四則運算的等價無窮小替換定理2表明求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替因此，如果用來代替的無窮小選得適當(dāng)?shù)脑?，可以使計算簡化?求極限解當(dāng)時，因此例2 求極限解 注意時，用到

3、了性質(zhì)3利用等價無窮小因子替換求極限，可以大大減少計算量，但利用等價無窮小因子替換求極限應(yīng)注意在求極限的乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，在加減運算中，等價無窮小的替換是有條件的關(guān)于加減運算能否用等價無窮小來替換求極限，很多教材上都沒有涉及到，只是強調(diào)加減情況不能隨意使用，這就會使人產(chǎn)生困惑，下面就加減項的等價無窮小替換作一些補充性質(zhì)4設(shè)，且，若，則；若，則證明若，因為，所以，又由定理2，所以，即同理，若，即定理3說明，在求極限時，若某個因子是兩個無窮小之差（或和）時，只要這兩個無窮小不等價，這個因子就可以用相應(yīng)的等價無窮小之差（或和）替換推論設(shè)，且，為常數(shù)，則當(dāng)存在時，有例3求極限解當(dāng)時

4、，所以例4求極限解當(dāng)時，所以例5求極限解因為當(dāng)時，且，所以注當(dāng)與等價，則未必有以上三例說明了加減運算并不是絕對不能作等價無窮小替換，只要滿足一定條件即可3.2 含變上限積分函數(shù)的等價無窮小替換性質(zhì)5 設(shè)，為時的無窮小量，且與在上連續(xù)，則有證明因為，所以利用定理4，在求解有關(guān)積分上限函數(shù)的極限時可簡化很多步驟注當(dāng)時，常用的變上限積分的等價無窮小有，例6求極限解由于當(dāng)時，性質(zhì)6若，與在上連續(xù)，則證明例7 求極限解因為，所以當(dāng)時，所以3.3冪指函數(shù)的等價無窮小替換對于型函數(shù)求極限，當(dāng)滿足一定條件時，可以根據(jù)以下定理求解性質(zhì)7在自變量同一變化過程中，均為無窮小量，若，且，則證明例8 求極限解當(dāng)時，所以

5、例9 求極限解，當(dāng)時，所以在求解型的冪指函數(shù)的極限時，運用這個定理可減少計算量，起到簡化的作用但并不是所有的型極限都要化為的形式來求極限3.4 利用泰勒公式構(gòu)造等價無窮小來求極限在加減運算中，等價無窮小的替換是有條件的，這里補充一些新的等價無窮小，同時開辟一條新途徑把不能用等價無窮小替換的加減運算問題，通過恒等變形的方法直接轉(zhuǎn)化為能用等價無窮小替換，把利用等價無窮小求極限的方法大大推進一步事實上利用泰勒公式就可以構(gòu)造出一系列新的等價無窮小例如求的等價無窮小，由于，從而有，于是得到同理，當(dāng)時，用泰勒公式可得：，有了上述的等價無窮小，我們就可以通過恒等變形的方法，把不能用等價無窮小替換的加減運算問

6、題轉(zhuǎn)化為能用等價無窮小替換，這種技巧的理論依據(jù)如下： 若，都存在且有限，則也存在且有限 若存在，但不存在，則也不存在例10 求極限 解 當(dāng)時，所以例11求極限解當(dāng)時，所以4 用等價無窮小求極限時應(yīng)注意的問題4.1和其他方法結(jié)合運用在很多題目中，往往需要綜合運用等價無窮小、洛必達法則、重要極限和泰勒公式等相關(guān)知識才能達到簡化運算的目的例12求極限解例13求極限解例14求極限解由于函數(shù)的分母中，因此只需將函數(shù)分子中的與分母中的和分別用佩亞諾余項的麥克勞林公式表示，即：，所以4.2 等價無窮小求極限的誤區(qū)在求極限的乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，在加減運算中，等價無窮小的替換是有條件的在利用等

7、價無窮小求極限時往往容易出錯，究其原因，是弄不清楚替換的原理及對象，另外就是對等價無窮小的概念不清楚如例3，利用洛必達法則或性質(zhì)4中求加減運算的方法求解：但若直接用等價無窮小替換來解：當(dāng)時，故得到的結(jié)果是相同的，于是得出錯誤的結(jié)論：極限式中的加減項也可以無條件的用等價無窮小替換求解對于加減運算，每一項用等價無窮小替換后，一般來說，其分子（分母）已不再與原分子（分母）為等價無窮小量，因此這樣得到的結(jié)果一般是不正確的對于求極限，由于，所以這也是錯誤的，因為等價無窮小替換，本身是針對無窮小而言的，而時，及根本不是無窮小，也就不能用該法則5小結(jié)極限計算是微積分理論中的一個重要內(nèi)容，等價無窮小量替換又是極限運算中的一個重要的方法，以其快捷、簡便、適用性強等優(yōu)點成為一類代表算法利用等價無窮小量替換計算極限，主要是指在求解有關(guān)無窮小的極限問題時利用等價無窮小量的性質(zhì)、定理施行的等價無窮小量替換的計算方法，通常與洛必達法則一起使用，目的是使解題步驟簡化，減少運算錯誤進行等價無窮小量代換的原則是整體代換或?qū)ζ渲械囊蜃舆M行代換，而在加減運算中的替換是有條件的參考文獻1同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)第六版M北京：高等教育出版社2007 2 劉玉