數(shù)值計算課后答案6匯編

1、學習 - 好資料習題六解答1、在區(qū)間 0， 1上用歐拉法求解下列的初值問題，取步長h=0.1。y10( y1)2ysin xe x(1)(2)y(0)2y(0)0解：取 h=0.1，本初值問題的歐拉公式具體形式為yn 1yn( yn1)2 (n0,1,2,)由初值 y0=y(0)=2 出發(fā)計算，所得數(shù)值結(jié)果如下：x0=0，y0=2；x1=0.1， y1y0( y01)2211x2=0.2， y2y1( y11)2101指出：可以看出，實際上求出的所有數(shù)值解都是1。2、用歐拉法和改進的歐拉法( 預(yù)測校正法 ) 求解初值問題，取步長h=0.1 。y x2 2 y(0 x 0.5) y(0) 1y解

2、：由預(yù)測校正公式y(tǒng)n+ 1ynhf ( xn , yn )ynhn+ 1 f ( xn , yn )2，f ( xn 1, yn 1 )取 h=0.1，本初值問題的預(yù)測校正公式的具體形式為yyn+ 1yn0.1 ( xn22 yn )n+ 1yn0.05(x22 yn ) (x22 yn 1)nn 1由初值 y0=y(0)=1 出發(fā)計算，所得數(shù)值結(jié)果如下：x0=0，y0=1；x1=0.1，y1y00.1(x22 y )0.8,00y1y00.05(x22y )( x22 y )001110.05(02)(0.1220.80.823、試導(dǎo)出解一階常微分方程初值問題yf ( x, y)(x0axb

3、)y(x0 )y0的隱式歐拉格式y(tǒng)n 1ynhf ( xn 1 , yn 1 )(n0,1,2,)更多精品文檔學習 - 好資料并估計其局部截斷誤差。解：在區(qū)間 x,x 上對常微分方程 y/(x)=f(x,y)兩端同時積分，得nn+1yn 1ynxn 1xnf (x, y( x) dx由右矩形公式得xn 1f ( x, y(x)dxhf (xn 1 , yn1)xn所以有差分格式y(tǒng)n 1 ynhf (xn1 , yn 1 )(n0,1,2,)這是所謂隱式歐拉公式。對于隱式歐拉法 yn1ynhf ( xn 1 , yn1 )(n0,1,2,)假定 yn y(x n) ，上式右邊的 yn 1 y(x

4、 n1 ) ，則yn 1ynhf ( xn 1, yn 1) y(xn ) hf ( xn 1, y(xn 1)y( xn ) hy (xn 1)將 y (x n 1) 按泰勒公式展開，上式為yn 1 y( xn ) hy (xn 1)y( xn )hy ( xnh)y( xn )h y (xn )hy (xn )將 y(x n 1) 按泰勒公式展開，得y(xn 1 )y( xnh)y(xn )hy (xn )h2h3y(xn )y (xn )3!2!兩式相減，得y(xn 1 ) yn 1h2y ( xn )h3 y( xn ) hy ( xn )y ( xn ) y( xn ) h y (

5、xn ) hy ( xn )2!3!h2y (xn ) O(h3 )2!即y(xn 1 ) yn 1h232!y ( xn ) O (h )所以，y(xn 1 ) yn 1O (h2 )指出：可以用多種方法導(dǎo)出，其中差商法、數(shù)值積分方法是簡單的方法。用導(dǎo)出。4、驗證改進的歐拉公式對任何不超過二次的多項式y(tǒng)ax2bxc準確成立，并說明理由。更多精品文檔學習 - 好資料解：因為yax2bxc所以 y2axbyexf 。記 f (x)exf ，設(shè) xiih , i 0,1,2,改進的歐拉公式為yi 1yih ( f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1)2yih( exf )(ex

6、f )( i 0,1,2, )2ii 1y0c將上式對 i 從 0 到 n 1 求和并利用初值條件得n1 h(exif ) (exif )cyn21i0eh n1( xixi1)nfhceh n 1(i1)h)nfhc2 i2 i(ih00eh2n1(ii1)nfhceh2( n1in1(i1)nfhc2i02i0i02n121 n(neh(2in)nfhceh (21)n)nfhc2i022e(nh)2fnhc12fnhc2e(nh)21 exn2fxnc axn2bxnc2所以，改進的歐拉法對任何不超過二次的多項式y(tǒng)ax2bxc準確成立。補充題（一）1、用歐拉公式求解初值問題y0.9y(0

7、 x 1)1 2xy(0) 1當 x 取步長為 h=0.02 ，用歐拉公式解初值問題0,0.02,0.04,0.10 時的解。2、取步長為 h=0.2 ，用歐拉公式解初值問題更多精品文檔學習 - 好資料yyxy2 (0x0.6)y(0)1。答案1.解：將 f ( x, y)0.9代入歐拉公式，得本初值問題的歐拉公式的具體y1 2 x形式為：ynyn0.9yn0.018）1h1yn ，5（,4,3n,2,1,01 2 xn12 xn取 h0.02由初值 y0=y(0)=0 出發(fā)計算，所得數(shù)值結(jié)果如下：用歐拉公式求解的計算結(jié)果nxnyny( xn )y( xn ) yn001.00001.0000

8、010.020.98200.98250.000520.040.96600.96550.00050.0630.94891.95030.00140.080.93360.93540.0018450.100.91000.92130.0113事實上，利用變量分離法，很容易求得該初值問題的準確解為： y( x) (1 2x) 0.45 表中 y( xn ) 的第一列就是精確解 y( x) 在 x xn 處的值。 y( xn ) yn 表示 y n 的局部截斷誤差，從表中可以看出，隨著 n 的增大， y( xn ) yn 的值也在增大。所以，歐拉公式雖然計算簡便， 對一些問題有一定的使用價值， 但是它的誤差

9、較大， 所得的數(shù)值解精度較低。2.解：將 f ( x, y )y xy 2代入歐拉公式，得本初值問題的歐拉公式的具體形式為：yn 1yn hf ( xn , yn ) yn0.2( yn xn yn2 )更多精品文檔學習 - 好資料0.8yn0.2xn yn2取步長為 h=0.2 由初值 y0=y(0)=1 出發(fā)計算，所得數(shù)值結(jié)果如下：y(0.2)y10.8 y00.2x0 y020.810.20120.8y(0.4)y20.8y10.2x1 y120.80.8 0.20.20.820.6144y(0.6)y30.8y20.2x2 y220.80.61440.20.40.614420.4613

10、補充題（二）1 、證明對任意的參數(shù)t，如下的龍格庫塔方法是二階的。yn 1ynh (k2k 3 )2k1f ( xn , yn )k2f ( xnth, ynthk1)k3f ( xn(1 t )h, yn (1 t )hk1 )分析與解答1、證明：因為 k1f ( xn , yn ) y ( xi )k2f ( xnth, ynthk1)f ( xn , yn )thf x (xn , yn )thk1 f y ( xn , yn )O(h2 )y ( xn )thf x ( xn , yn )thy ( xn ) f y (xn , yn )O(h2 )k3f ( xn(1 t )h, y

11、n(1 t)hk1)f ( xn , yn ) (1 t) hfx (xn , yn ) (1 t )hk1 f y ( xn , yn ) O( h2 )y ( x )(1t )hfx(xn, y)(1 t) hy ( x ) fy(x, y) O(h2 )nnnnn則yn 1ynhk 3 )(k2h2yn( y ( xn )thf x ( xn , yn )2y (xn )(1t )hf x ( xn , yn )(1thy ( xn ) f y ( xn , yn )t) hy ( xn ) f y ( xn, yn )O (h2 )O (h2 )ynh2h23hy ( xn )f x ( xn , yn )y (xn ) f y ( xn , yn ) O( h )22而 y(xn