線性方程組的消元解法[稻谷書苑]

1、1 線性方程組的 消元解法 第三章第三章 線性代數(shù)初步線性代數(shù)初步 2 矩陣及其運(yùn)算 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 線性代數(shù)線性代數(shù)作為獨(dú)立的學(xué)科分支直到20世紀(jì)才形 成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。 最古老的線性代數(shù)問題是線性方程組的求解線性方程組的求解， 在中國古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)方程章中， 已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上 相當(dāng)于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等 變換，消去未知量的方法。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 線性代數(shù)線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代 數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，比如 “以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時(shí)一個(gè)很自然 的想法。此外，很多實(shí)際問題的處理，最

2、后往往歸結(jié) 為線性問題，它比較容易處理；同時(shí)它也是研究理論 物理和理論化學(xué)等不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識。 隨著研究線性方程組線性方程組和變量的線性變換變量的線性變換問題的深入， 矩陣在1819世紀(jì)期間應(yīng)運(yùn)而生，為處理線性問題線性問題提 供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)線性代數(shù)的發(fā)展。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 本節(jié)的主要內(nèi)容本節(jié)的主要內(nèi)容 1、線性方程組、線性方程組 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 解的討論及其求解方法解的討論及其求解方法（m, n 未必相等）。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 2、數(shù)表、數(shù)表

3、mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 的線性運(yùn)算的線性運(yùn)算（重要的工具）。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 對二元一次方程組二元一次方程組 11 11221 21 12222 a xa xb a xa xb 我們在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過它的解法，但是實(shí)際問題中會(huì) 遇到未知量個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)都很多的一次方程組， 且未知量個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)未必相同。 1 線性方程組的消元解法線性方程組的消元解法 由于二元一次方程表示平面上的一條直線，所以 將一次方程稱為線性方程線性方程，將一次方程組稱為線性線性 方程組方程組。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 線性方程組的一般形式線性方程組的一般形式 否則稱為非齊次線性

4、方程組。 則稱方程組為 (1) 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 其中有 n 個(gè)未知量 ，m 個(gè)方程， 12 , n x xx 是未知量的系數(shù)， ij aR 是常數(shù)項(xiàng)。 (1,;1, )im jn 若右端常數(shù)項(xiàng) 均為零， 1, , m bbR 12 , m b bb 齊次線性方程組； 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 1、線性方程組是否有解？ 將要研究的問題將要研究的問題 3、有解時(shí)，如何求出全部的解？ 2、若有解，解是否唯一？ 研究的思路和途徑研究的思路和途徑 1、在中學(xué)代數(shù)中的加減消元法的基礎(chǔ)上，結(jié)合

5、 具體的線性方程組，導(dǎo)出求解一般方程組的通用方 法：高斯消元法； 2、從實(shí)際例子出發(fā)，利用高斯消元法觀察解存在 與否的判斷方法。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 求解線性方程組 123 123 123 224(1) 21(2) 442(3) xxx xxx xxx 解解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1， (-2)(2)+(1)，(-4)(2)+(3) 得 例例1 由 23 23 322(4) 342(5) xx xx 該方程組比原方程組少一個(gè)未知量。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 由(5)-(4) 得 由(-1/2)(6) 得 3 2 (7)x 最后，將(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2

6、(7)+(4) 得 2 36 (8)x 23 23 322(4) 342(5) xx xx 其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2， 3 24(6)x 這比原方程組又少了一個(gè)未知量。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 由(-1/3)(8) 得 2 2 (9)x 123 123 123 224(1) 21(2) 442(3) xxx xxx xxx 3 2 (7)x 2 36 (8)x 將(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由 (-2)(7)+(2)，(2)-(9) 得 1 1x 故原方程組的解為 123 1, 2, 2xxx 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 從上述求解過程可以看出從上述求解過程可以看

7、出 加減消元法的基本思想就是：利用方程之間的算 術(shù)運(yùn)算，每次消去一個(gè)未知量，得到一個(gè)比原方程 組少一個(gè)未知量的方程組，一次一次進(jìn)行下去，直 至得到便于求解的一個(gè)形式簡單的方程。 為了便于將此方法應(yīng)用到任意形式的方程組的求 解，仍以例例1為例，完整規(guī)范的寫出它的解題步驟。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 解解：第一步，為了便于運(yùn)算，互換(1)與(2)的位置 123 123 123 21(2) 224(1) 442(3) xxx xxx xxx 第二步，消去第一個(gè)方程下面的各個(gè)方程中的 x1， (1)-2(2)，(3)-4(2) 得 求解線性方程組 123 123 123 224(1) 21(2) 442(3)

8、 xxx xxx xxx 例例1 1 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 123 23 23 21 (2) 322 (4) 342(5) xxx xx xx 123 123 123 21(2) 224(1) 442(3) xxx xxx xxx (1)-2(2)，(3)-4(2) 得 第三步，消去第二個(gè)方程下面的各個(gè)方程中的 x2， (5)-(4) 得 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 此時(shí)方程組中下一個(gè)方程比上一個(gè)方程少一個(gè)未 知量，形狀如階梯，稱此方程組為階梯形方程組。 123 23 23 21 (2) 322 (4) 342(5) xxx xx xx 第三步，消去第二個(gè)方程下面的各個(gè)方程中的 x2， (5)-(4) 得

9、123 23 3 21(2) 322 (4) (6)24 xxx xx x 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 第四步，使(6)中的 x3 的系數(shù)變?yōu)?，(-1/2)(6) 得 123 23 3 21(2) 322 (4) (6)24 xxx xx x 第五步，消去(2)(4)中的 x3， 123 23 3 21(2) 322 (4) (7)2 xxx xx x (2)-2(7)，(4)+2(7) 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 第五步，消去(2)(4)中的 x3， 123 23 3 21(2) 322 (4) (7)2 xxx xx x (2)-2(7)，(4)+2(7) (-1/3)(9) 得 第六步，使(9)中的 x2

10、 的系數(shù)變?yōu)?， 12 2 3 3 (8) 3 6 (9) (7) 2 xx x x 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 (-1/3)(9) 得 第六步，使(9)中的 x2 的系數(shù)變?yōu)?， 12 2 3 3 (8) 3 6 (9) (7) 2 xx x x 第七步，消去(8)中的x2， 12 2 3 3(8) 2 (10) (7)2 xx x x (8)-(10) 得 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 第七步，消去(8)中的x2， 12 2 3 3(8) 2 (10) (7)2 xx x x (8)-(10) 得 由此得到了方程組的解。 思考思考：上述求解過程用到了哪些方法，從而逐步 對原方程組進(jìn)行消元變簡？ 1 2 3 1

11、2 2 x x x 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 用到了如下三種變換用到了如下三種變換 1、交換兩個(gè)方程的順序； 3、用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程后加到另一個(gè)方程上； 2、用一個(gè)非零常數(shù)乘某個(gè)方程； 稱上述三種變換為線性方程組的初等變換。 初等變換的作用在于初等變換的作用在于 將方程組的形式變的簡單易求，且新方程組與原 方程組是同解方程組。 用消元法求解線性方程組的實(shí)質(zhì)用消元法求解線性方程組的實(shí)質(zhì) 對方程組施行一系列同解的初等變換，將它逐步 化簡以求其解。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 思考思考：方程組的解和未知量符號有沒有關(guān)系？ 那和什么有關(guān)呢？沒有 和未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項(xiàng)有關(guān)！ 問題問題：在用初等變換求解方程組時(shí)，

12、本質(zhì)上是 對什么在運(yùn)算？什么在變化？ 未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項(xiàng)！ 基于此，在解題時(shí)可將未知量舍去不寫；此時(shí)就 出現(xiàn)了由未知量系數(shù)以及右端常數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)表： 經(jīng)初等變換求解線性方程組的這一思路，反映了 一般線性方程組的求解規(guī)律。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 此數(shù)表是按各數(shù)在方程組中的相對位置排成的。 加上常數(shù)項(xiàng)得數(shù)表 (1) (2) 稱上述矩形表為矩陣，橫的排稱為行， 豎的排稱為列，其中的數(shù)稱為矩陣的元素。 矩陣(1)稱為方程組的系數(shù)矩陣，記為A，矩陣(2) 稱為方程組的增廣矩陣，記為.A 123 123 123 224 21 442 xxx xxx xxx 212 112 414 A 2124 11

13、21 4142 A 定義定義1 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 對于一般的線性方程組對于一般的線性方程組 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa A 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 111211 212222 12 n n mmmnm aaab aaab A aaab 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 增廣矩陣可以看成線性方程組的簡便寫法，因此 對于方程組的加減消元法用到的三種初等變換也只 對增廣矩陣進(jìn)行，反映在矩陣上即為 3、用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行后加到另一行上， 1、交換矩陣的某兩

14、行，記為 2、用一個(gè)非零常數(shù)乘矩陣的某一行，記為 記為 123 123 123 224 21 442 xxx xxx xxx 2124 1121 4142 A ; ij rr ; i k r . ij rk r 稱此三種變換為矩陣的行初等變換。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 由此對方程組的消元過程就可寫成對方程組的增 廣矩陣的行初等變換。 求解線性方程組 123 123 123 224(1) 21(2) 442(3) xxx xxx xxx 例例1 解解：方程組的增廣矩陣 2124 1121 4142 A 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 互換(1)與(2)的位置得 123 123 123 224(1) 21(2) 44

15、2(3) xxx xxx xxx 2124 1121 4142 A 123 123 123 21 224 442 xxx xxx xxx 12 1121 2124 4142 rr (2)-2(1)，(3)-4(1) 得 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 (2)-2(1)，(3)-4(1) 得 123 23 23 21 322 342 xxx xx xx (3)-(2) 得 21 31 21121 0322 40342 rr rr 123 123 123 21 224 442 xxx xxx xxx 12 1121 2124 4142 rr 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 32 1121 0322 0024 rr 123 2

16、3 23 21 322 342 xxx xx xx (3)-(2) 得 21 31 21121 0322 40342 rr rr 123 23 3 21 322 24 xxx xx x （行階梯形矩陣）（階梯形方程組） (-1/2)(3) 得 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 32 1121 0322 0024 rr 123 23 3 21 322 24 xxx xx x (-1/2)(3) 得 123 23 3 21 322 2 xxx xx x 3 1121 1 03222 0012 r (1)-2(3)，(2)+2(3) 得 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 123 23 3 21 322 2 xxx xx x 3 1

17、121 1 03222 0012 r (1)-2(3)，(2)+2(3) 得 12 2 3 3 3 6 2 xx x x 13 23 21103 0306 20012 rr rr (-1/3)(2) 得 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 12 2 3 3 3 6 2 xx x x 13 23 21103 0306 20012 rr rr (-1/3)(2) 得 12 2 3 3 2 2 xx x x 2 1103 1 01023 0012 r (1)-(2) 得 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 12 1001 0102 0012 rr 1 2 3 1 2 2 x x x 12 2 3 3 2 2 xx x x 2 1103

18、 1 01023 0012 r (1)-(2) 得 （行最簡階梯形矩陣） 階梯上第一個(gè)元素為1，同列的其它元素都為零。 從而原方程組的解為 123 1, 2, 2xxx 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 上述解法的基本思路和步驟上述解法的基本思路和步驟 反復(fù)利用矩陣的行初等變換，逐步將線性方程組 的增廣矩陣化成行最簡階梯形矩陣，從而求出方程 組的解。 此種方法稱為高斯消元法，它是解線性方程組的 最一般、最有效的方法。 將一個(gè)矩陣化為行最簡階梯形矩陣共分兩步將一個(gè)矩陣化為行最簡階梯形矩陣共分兩步 化行階梯形：從上到下，從左到右； 化行最簡階梯形：從下到上，從右到左。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 在我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作九章

19、算術(shù)(約公 元3世紀(jì))第八章“方程”(線性方程組)中有如下一問： 今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)(產(chǎn)量) 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十 四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗， 問上、中、下禾一秉幾何？ 該書中列出了如下的方程組(中國古代的書寫形式 是自上而下，從右到左)： 例習(xí)例習(xí) 上禾秉數(shù) 中禾秉數(shù) 下禾秉數(shù) 斗數(shù) 試列出此問題的方程 組，并用高斯消元法求 出其解。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 上禾秉數(shù) 中禾秉數(shù) 下禾秉數(shù) 斗數(shù) 123 123 123 3239 2334 2326 xxx xxx xxx 32139 23134 12326 A 13 12326

20、 23134 32139 rr 21 31 12326 01518 04839 2 3 rr rr 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 12326 01518 04839 32 12326 01518 001233 4rr 2 3 12326 01518 11 001 4 1 12 r r 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 12326 01518 11 001 4 23 13 71 120 4 17 010 4 11 5 3 001 4 rr rr 12 37 100 4 17 010 4 11 001 4 2rr 上禾一秉，九斗四分 斗之一；中禾一秉，四 斗四分斗之一；下禾一 秉，二斗四分斗之三。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 討論下列

21、線性方程組解的情況，并從幾何上 給以說明。 思考思考 (1) 無解， 12 12 23 24 ) 2 (1 xx xx 12 12 23 24 ) 6 (2 xx xx 12 12 20 23 ) 0 (3 xx xx 12 12 20 24 ) 0 (4 xx xx 平行但不重合； (2) 無窮多解，平行且重合； (3) 唯一解，相交但不重合； (4) 同(2) 。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 解線性方程組 例例2 23 123 12 336 25 37 xx xxx xx 033 6 121 5 130 7 A 12 121 5 033 6 130 7 rr 解解：方程組的增廣矩陣 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用

22、 2 121 5 1 011 23 000 0 r 121 5 033 6 130 7 31 121 5 033 6 011 2 rr 32 121 5 1 033 63 000 0 rr 有何特點(diǎn)？ 12 103 1 2 011 2 000 0 rr 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 則同解方程組為，即 則原方程組的解為 有何特點(diǎn)？ 103 1 011 2 000 0 13 23 31 2 xx xx 令 x3 = k， 13 23 31 2 xx xx 1 2 3 31 2 xk xk xk 顯然方程組有無窮多解，稱上述含任意常數(shù)的解為 方程組的通解通解。 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 解線性方程組 例例3 1234

23、 1234 1234 134 31 21142 32233 451 xxxx xxxx xxxx xxx 1131 1 21114 2 3223 3 10451 A 解解：方程組的增廣矩陣 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 1131 1 21114 2 3223 3 10451 A 21 31 41 21131 1 301560 01760 01762 rr rr rr 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 1131 1 01560 01760 01762 32 42 1131 1 01560 001200 001202 rr rr 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 43 1131 1 01560 001200 00002 rr 1131 1

24、01560 001200 001202 同解方程組最后一個(gè)方程 0 =2 是矛盾方程！ 所以方程組無解， 此時(shí)稱該方程組是不相容的或 矛盾的。 有何特點(diǎn)？ 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 由以上由以上3例思考例思考 1. 線性方程組都有解嗎？若有解，解一定唯一嗎？ 2. 如何判斷解的各種情況？ 不一定！ 唯 一 解 無 窮 多 解 無解 1121 0322 0024 121 5 033 6 000 0 1131 1 01560 001200 00002 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 線性方程組解的判定方法線性方程組解的判定方法 將線性方程組的增廣矩陣化為行階梯形矩陣后： 1. 若出現(xiàn) (0, , 0, d) 0 的非零

25、行，則無解； 2. 若不出現(xiàn) (0, , 0, d) 0 的非零行，則有解，且 . 非零行行數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，則有唯一解； . 非零行行數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，則有無窮多解。 無解 1131 1 01560 001200 00002 唯 一 解 無 窮 多 解 1121 0322 0024 121 5 033 6 000 0 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 求解齊次線性方程組 解解：對系數(shù)矩陣施行行初等變換化為行最簡階梯形 齊次線性方程組解的情況齊次線性方程組解的情況 例例4 1234 1234 1234 220 2220 430 xxxx xxxx xxxx 1221 2122 1143 A 21 31 21221 0364 0364 rr rr 教學(xué)運(yùn)用教學(xué)運(yùn)用 12 5 102 3 24 012 3 0000 rr 齊次線性方程組解的情況齊次線性方程組解的情況 1221 0364 0364 32 1221 0364 0000 rr 2 1221 1 4 0123 3