抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版

1、抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 第五章 抽樣及參數(shù)估計(jì) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 1、抽樣 2、抽樣分布 3、參數(shù)估計(jì)方法 4、總體均值的估計(jì)區(qū)間 5、總體比例的區(qū)間估計(jì) 6、總體方差的區(qū)間估計(jì) 7、樣本容量的確定 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 基本概念 總體、個(gè)體、總體容量、樣本、樣本容量、抽樣、 參數(shù)、統(tǒng)計(jì)量 抽樣方法 隨機(jī)、分層 抽樣分布 樣本平均數(shù)：Z分布、t分布 樣本方差：卡方分布、F分布 參數(shù)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)：充分性、無偏性、有效性、一致性 區(qū)間估計(jì)：顯著性水平、置信度、置信區(qū)間 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體(population)：要研究的事物或現(xiàn)象的總體 個(gè)體(unit)：組成總體的每個(gè)元素(成員

2、) 總體容量(population size)：一個(gè)總體中所含個(gè)體的數(shù) 量 樣本(sample)：從總體中抽取的部分個(gè)體 樣本容量(sample size)：樣本中所含個(gè)體的數(shù)量 抽樣(sampling)：為推斷總體的某些重要特征，需要從 總體中按一定抽樣技術(shù)抽取若干個(gè)體的過程 參數(shù)(parameter)：反映總體數(shù)據(jù)特征的量數(shù) 統(tǒng)計(jì)量(statistic)：反映樣本數(shù)據(jù)特征的量數(shù) 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，只依賴于樣本；樣本均值、樣本方差 等都是統(tǒng)計(jì)量 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 民意調(diào)查 在1936年的美國總統(tǒng)選舉前，一份名為Literary Digest 雜志進(jìn)行 了一次民意調(diào)查。調(diào)查的焦點(diǎn)是誰將

3、成為下一屆總統(tǒng)是挑戰(zhàn)者， 堪薩斯州州長Alf Landon，還是現(xiàn)任總統(tǒng) Franklin Delano Roosevelt 為了解選民意向，民意調(diào)查專家們根據(jù)電話簿和車輛登記簿上的 名單給一大批人發(fā)了簡(jiǎn)單的調(diào)查表(電話和汽車在1936年并不像 現(xiàn)在那樣普及，但是這些名單比較容易得到)。盡管發(fā)出的調(diào)查表 大約有一千萬張，但收回的比例并不高。在收回的調(diào)查表中， Alf Landon非常受歡迎。于是該雜志預(yù)測(cè) Landon 將贏得選舉。但事 實(shí)上是Franklin Roosevelt贏得了這次選舉 調(diào)查失敗的主要原因是抽樣框出現(xiàn)了問題。在經(jīng)濟(jì)大蕭條時(shí)期由 于電話和汽車并不普及，只是富裕階層才會(huì)擁有

4、，調(diào)查有電話和 汽車的人們，并不能夠反映全體選民的觀點(diǎn) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)方法 描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 隨機(jī)原則隨機(jī)原則 總體參數(shù)總體參數(shù)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量推斷估計(jì)推斷估計(jì) 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 問題： 1、某研究人員想要了解濟(jì)南在校大學(xué)生每 周的自習(xí)時(shí)間，然而對(duì)于一個(gè)擁有幾十萬大 學(xué)生的城市來說，他的調(diào)查經(jīng)費(fèi)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠 的，那么這項(xiàng)調(diào)查還能進(jìn)行嗎？如果能進(jìn)行， 他該怎么進(jìn)行，并判斷結(jié)論的可靠性呢？ 2、某企業(yè)想調(diào)查消費(fèi)者對(duì)它的產(chǎn)品的認(rèn)知 程度，如

5、何進(jìn)行，并判斷結(jié)論的可靠性呢？ 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 1 1、抽樣、抽樣 概率抽樣(probability sampling) 隨機(jī)抽樣 按一定的概率以隨機(jī)原則抽取樣本 抽取樣本時(shí)使每個(gè)單位都有一定的機(jī)會(huì)被 抽中 每個(gè)單位被抽中的概率是已知的，或是可以 計(jì)算出來的 當(dāng)用樣本對(duì)總體目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì)時(shí)，要考慮 到每個(gè)樣本單位被抽中的概率 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 (simple random sampling) 從總體N個(gè)單位中隨機(jī)地抽取n個(gè)單位作為樣本， 每個(gè)單位入抽樣本的概率是相等的 最基本的抽樣方法，是其它抽樣方法的基礎(chǔ) 特點(diǎn) 簡(jiǎn)單、直觀，在抽樣框完整時(shí)，可直接從中 抽取樣本 用

6、樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì)比較方便 局限性 當(dāng)N很大時(shí)，不易構(gòu)造抽樣框 抽出的單位很分散，給實(shí)施調(diào)查增加了困難 沒有利用其它輔助信息以提高估計(jì)的效率 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 分層抽樣 (stratified sampling) 將抽樣單位按某種特征或某種規(guī)則劃分為不同的層， 然后從不同的層中獨(dú)立、隨機(jī)地抽取樣本 優(yōu)點(diǎn) 保證樣本的結(jié)構(gòu)與總體的結(jié)構(gòu)比較相近，從而 提高估計(jì)的精度 組織實(shí)施調(diào)查方便 既可以對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，也可以對(duì)各層的 目標(biāo)量進(jìn)行估計(jì) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 系統(tǒng)抽樣 (systematic sampling) 將總體中的所有單位(抽樣單位)按一定順序排 列，在規(guī)定的范圍內(nèi)隨機(jī)地

7、抽取一個(gè)單位作為 初始單位，然后按事先規(guī)定好的規(guī)則確定其它 樣本單位 先從數(shù)字1到k之間隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)字r作為 初始單位，以后依次取r+k，r+2k等單位 優(yōu)點(diǎn)：操作簡(jiǎn)便，可提高估計(jì)的精度 缺點(diǎn)：對(duì)估計(jì)量方差的估計(jì)比較困難 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 整群抽樣 (cluster sampling) 將總體中若干個(gè)單位合并為組(群),抽樣時(shí)直接 抽取群，然后對(duì)中選群中的所有單位全部實(shí)施 調(diào)查 特點(diǎn) 抽樣時(shí)只需群的抽樣框，可簡(jiǎn)化工作量 調(diào)查的地點(diǎn)相對(duì)集中，節(jié)省調(diào)查費(fèi)用，方便 調(diào)查的實(shí)施 缺點(diǎn)是估計(jì)的精度較差 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 2 2、抽樣分布、抽樣分布 (sampling distributio

8、n) 在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由每一個(gè)樣本算 出的該統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的相對(duì)頻數(shù)分布或概率分布 是一種理論分布 隨機(jī)變量是樣本統(tǒng)計(jì)量 樣本均值, 樣本比例，樣本方差等 結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本 提供了樣本統(tǒng)計(jì)量長遠(yuǎn)我們穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行 推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依 據(jù) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 樣本均值的抽樣分布 容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率 分布 一種理論概率分布 進(jìn)行推斷總體總體均值的理論基礎(chǔ) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 3,43,33,23,13 2,42,32,22,12 4,44,34,24,14 1,4 4 1,3 321 1,21,1

9、1 第二個(gè)觀察值第一個(gè) 觀察值 所有可能的n = 2 的樣本(共16個(gè)) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 3.53.02.52.03 3.02.52.01.52 4.03.53.02.54 2.5 4 2.0 321 1.51.01 第二個(gè)觀察值 第一個(gè) 觀察值 16個(gè)樣本的均值 (x) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 樣本均值的分布與總體分布的比較 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 樣本均值的抽樣分布 與中心極限定理 X 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 中心極限定理 (central limit theorem) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 抽樣分布與總體分布 正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布非正態(tài)分布 樣本均

10、值樣本均值 正態(tài)分布正態(tài)分布 樣本均值樣本均值 正態(tài)分布正態(tài)分布 樣本均值樣本均值 非正態(tài)分布非正態(tài)分布 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 樣本均值的抽樣分布 (數(shù)學(xué)期望與方差) 樣本均值的數(shù)學(xué)期望 樣本均值的方差 重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 樣本比例的抽樣分布 (比例proportion) 總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位 總數(shù)之比 不同性別的人與全部人數(shù)之比 合格品(或不合格品) 與全部產(chǎn)品總數(shù)之比 總體比例可表示為 樣本比例可表示為 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 容量相同的所有可能樣本的樣本比例的 概率分布 當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分 布可用正態(tài)分布近似 一種理論概

11、率分布 推斷總體總體比例的理論基礎(chǔ) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 樣本比例的抽樣分布 (數(shù)學(xué)期望與方差) 樣本比例的數(shù)學(xué)期望 樣本比例的方差 重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 3 3、參數(shù)估計(jì)方法、參數(shù)估計(jì)方法 估計(jì)量與估計(jì)值 (estimator & estimated value) 參數(shù)估計(jì)(parameter estimation)就是用樣本統(tǒng)計(jì)量 去估計(jì)總體的參數(shù) 估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱 如樣本均值，樣本比例，樣本方差等 例如: 樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量 參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示 估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值 如果樣本均值 x =80，

12、則80就是 的估計(jì)值 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 點(diǎn)估計(jì) (point estimate) 用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參 數(shù)的估計(jì)值 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)；用 兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì) 無法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息 由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的 估計(jì)值很可能不同于總體真值 一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來 衡量的，這表明一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無法給出估 計(jì)的可靠性的度量 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 區(qū)間估計(jì) (interval estimate) 在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)估計(jì)區(qū) 間，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差

13、而得到 根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體 參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量 比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95% 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 區(qū)間估計(jì) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置 信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的 比例，也稱置信度 表示為 (1 - l 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% l 相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10 置信水平 (confidence level) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 由樣本估計(jì)量構(gòu)造出的總體參數(shù)在一定置信水平 下的估計(jì)區(qū)間 統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包

14、含真正 的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 如果用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中有95%的區(qū)間 包含總體參數(shù)的真值，5%的區(qū)間不包含總體參數(shù) 的真值，那么，用該方法構(gòu)造的區(qū)間稱為置信水 平為95%的置信區(qū)間。同樣，其他置信水平的區(qū) 間也可以用類似的方式進(jìn)行表述 置信區(qū)間的表述 (confidence interval) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體參數(shù)的真值是固定的，而用樣本構(gòu)造的區(qū) 間則是不固定的，因此置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū) 間，它會(huì)因樣本的不同而變化，而且不是所有 的區(qū)間都包含總體參數(shù) 實(shí)際估計(jì)時(shí)往往只抽取一個(gè)樣本，此時(shí)所構(gòu)造 的是與該樣本相聯(lián)系的一定置信水平(比如95%) 下的置信區(qū)間。我們只能

15、希望這個(gè)區(qū)間是大量 包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可 能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè) 置信區(qū)間的表述 (confidence interval) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 當(dāng)抽取了一個(gè)具體的樣本，用該樣本所構(gòu)造的區(qū)間是 一個(gè)特定的常數(shù)區(qū)間，我們無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生 的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值，因?yàn)樗赡苁前?總體均值的區(qū)間中的一個(gè)，也可能是未包含總體均值 的那一個(gè) 一個(gè)特定的區(qū)間總是“包含”或“絕對(duì)不包含”參數(shù) 的真值，不存在“以多大的概率包含總體參數(shù)”的問 題 置信水平只是告訴我們?cè)诙啻喂烙?jì)得到的區(qū)間中大概 有多少個(gè)區(qū)間包含了參數(shù)的真值，而不是針對(duì)所抽取 的這個(gè)樣本所構(gòu)

16、建的區(qū)間而言的 置信區(qū)間的表述 (confidence interval) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 置信區(qū)間的表述 (95%的置信區(qū)間) 我沒有抓住參數(shù)！我沒有抓住參數(shù)！ 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 使用一個(gè)較大的置信水平會(huì)得到一個(gè)比較寬的置信區(qū) 間，而使用一個(gè)較大的樣本則會(huì)得到一個(gè)較準(zhǔn)確(較 窄)的區(qū)間。直觀地說，較寬的區(qū)間會(huì)有更大的可能 性包含參數(shù) 但實(shí)際應(yīng)用中，過寬的區(qū)間往往沒有實(shí)際意義 l比如，天氣預(yù)報(bào)說“在一年內(nèi)會(huì)下一場(chǎng)雨”，雖然這很有 把握，但有什么意義呢？另一方面，要求過于準(zhǔn)確(過窄) 的區(qū)間同樣不一定有意義，因?yàn)檫^窄的區(qū)間雖然看上去很 準(zhǔn)確，但把握性就會(huì)降低，除非無限制增加樣本量，

17、而現(xiàn) 實(shí)中樣本量總是有限的 區(qū)間估計(jì)總是要給結(jié)論留點(diǎn)兒余地 置信區(qū)間的表述 (confidence interval) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 置信區(qū)間與置信水平的關(guān)系 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 4 4、總體均值的估計(jì)區(qū)間、總體均值的估計(jì)區(qū)間 正態(tài)總體、方差已知 或非正態(tài)總體、大樣本 正態(tài)總體、方差未知、小樣本 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 正態(tài)總體、方差已知 或非正態(tài)總體、大樣本 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本) 1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30) 2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z 抽樣及

18、參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本) 25袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5 102.6107.5 95.0108.8115.6 100.0123.5102.0101.6102.2 116.6 95.4 97.8108.6105.0 136.8102.8101.5 98.4 93.3 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本) 36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù) 233539273644 3642464331

19、33 425345544724 342839364440 394938344850 343945484532 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本) 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 正態(tài)總體、方差未知、小樣本 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差未知、小樣本) 1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,但方差() 未知 小樣本 (n 30) 2. 使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、方差未知、小樣本) 16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510152014801500 1450148015101520 1480149015301510 1460146014701470 抽樣及參數(shù)估計(jì)宋廷山版 總體均值的區(qū)間