求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

1、 精心整理 練習(xí).已知數(shù)列an滿足ai =3， -and 答案：裂項(xiàng)求和 an =2-丄 n 評(píng)注：已知ai = a f(n) 其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函 數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng) an 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 、累加法 1 適用于：anan - f(n)這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一。 2 解題步驟：若 an 4 - an = f( n) (n _ 2)， a2 _ a f(1) 則玄-去二f(2) III III an 1 = f (n) n 兩邊分別相加得an1 -印f(n) k4 . I i . I 、V-x r 小 : 例1已知數(shù)列an滿足a.

2、 1二K 2n 1, a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 解：由 an an 2n 1 得 an i -a2n 1則 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 1 (n -2) n(n 一1)，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和 若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和； 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。 精心整理 二、累乘法 1適用于：anf (n)an這是廣義的等比數(shù)列，累乘法是最基本的二個(gè)方法之 2解題步驟：若 也=f (n)，則= f (1),冬二f(2)，川(，也二f(n) anaia

3、2an a n 兩邊分別相乘得，亠二a | f (k) alk 4 例2已知數(shù)列an滿足ani =2( n 1)5n %, a 3，求數(shù)列 佝的通項(xiàng)公式 解: 因?yàn)?an 1=2(n 1)5n an，a 3，所以 a. = 0， 則an 1 = 2(n 1)5n，故 an a ijj a3 a2 ana1 an 1 an _2a2 a1 二2(n-1 1)5n2(n-2 1)5心川2(21) 522(1 1) 51 3 = 2njn(n -1)3 2嚴(yán)(ni 21 3 n(n 4 =3 2n4 5 2 n! n(n) 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =3 2n4 5 2n!. 練習(xí).已知an1

4、= nan 5 7a1-1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 答案：an申 n 1)!(a1 +1)4 評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來(lái)的遞推關(guān)系式an 1二nan n -1,轉(zhuǎn)化為 an1n(an F若令bn=an ,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為bn廠nbn形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù) 列的通項(xiàng)公式. 三、待定系數(shù)法適用于an qa f (n) 基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列， 而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一 個(gè)函數(shù)。 1.形如 an 1 can + d,(c式0，其中at =a)型 精心整理 (1) 若c=1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)列; 若d=0時(shí)，數(shù)列 an為等比數(shù)列； (3) 求 若c =1且d

5、= 0時(shí)，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái) 解題步驟：設(shè)二c(an)，得ancan - (c - ，與題設(shè)a n 1二ca nd,比較系數(shù)得 、 ddd 9)，所以c-1，(c0)，所以有：* c-1c-丿 因此數(shù)列 d an C-1 構(gòu)成以a1 d c -1為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列, 、an +-=1 +-) cnJLan =佝 +) c 所以 c _ 1c _ 1 即：C-1 例3已知數(shù)列an中，a1 =1 =2an1(n _ 2)，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。 解：7an =2an1(n 2),. a. 1=2(an1) 又：1=2,.玄宀是首項(xiàng)為2,公比為2的等

6、比數(shù)列.an，1=2n，即an=2n-1 1 + 2 求通項(xiàng)an 1 a 2, an dan 練習(xí)已知數(shù)列an中，2 / 1 n 4 . 答案：a(1)1 _+ n 2.形如：an1二p n q (其中q是常數(shù)，且 十0,1) 若p=1時(shí)，即：anan qn ,累加即可. 若PF時(shí)，即：an 1= P an -k n q 求通項(xiàng)方法有以下三種方向: 精心整理 n + i. 兩邊同除以p .目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列 - -）n 6 二欝bnbn 二丄 C） 即：p q p q ，令p ,則p q ，然后累加求通項(xiàng). n + ii. 兩邊同除以q ，目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列 an 1

7、p an 1 n 斗 n 即：q q q q b anb p b 1 bnnbn 1bn 令 q ，則可化為 q q，然后轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法第一種情況來(lái)解。 iii. 待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列 設(shè)3n q =p（3 T）.通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng) 注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求 p = q,否則待定系數(shù)法會(huì)失效。 例4已知數(shù)列an滿足3n23n 4 3，31，求數(shù)列 曲 的通項(xiàng)公式。 解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)an 1二，2（a 3J），比較系數(shù)得h = -4, *2， n；1J 則數(shù)列已一4 3是首項(xiàng)為a4 3=_5，公比為2的等比數(shù)列, ! ； nJ. n J_

8、 n1n 所以 an -4 3=-5 2 即 an =4 35 2 n十n出 聖其目+弓 解法二（兩邊同除以q ）：兩邊同時(shí)除以3得：33 33 ,下面解法略 n出估 第=豊/梓）n 解法三（兩邊同除以p ）:兩邊同時(shí)除以2得：丫 2n 32 ，下面解法略 3形如an1 = pakn b（其中 幼是常數(shù)，且k=0） 待定系數(shù)法解題步驟： 通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為（an xn y p（an4 x（n -1） y）； 精心整理 比較系數(shù)求x、y;解得數(shù)列（an Xn y）的通項(xiàng)公式；得數(shù)列曲的通項(xiàng)公式 ai,2an - an i = 6n - 3a 例5在數(shù)列an中，2，求通項(xiàng)an.（待定系數(shù)法） 解：原

9、遞推式可化為2（an Xn y）=an x（n ）y 比較系數(shù)可得：x=-6, y=9,上式即為2bn =bnA ,c c 9 一 6n + 9 是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)2，公比為2 an -6n 9 =9 (1)nan =9 ( 6n 一9 2 ，故2。 練習(xí)在數(shù)列an中，a1 ,an 1 =3an 2n,求通項(xiàng)an.（逐項(xiàng)相減法） 解：=，an 卅=3an +2 n,二 n2 時(shí)，a3a +2 (n1)， 兩式相減得 an _ an =3(an an)+2 令 bn =an* -an，則 bn =3bn十2 知 bn =5 2 即 an 1 -an =5-1 5 on 115-11 an=，3

10、-n-an =一 3 一 n 一 再由累加法可得 22.亦可聯(lián)立解出22 2 4形如anpana n b n c(其中a,b,c是常數(shù)，且a = ) 基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。 例6已知數(shù)列an滿足an2an 3n2 4n 5, a1，求數(shù)列 佝的通項(xiàng)公式。 解：設(shè) an i x(n 1)2 y(n 1) z = 2(an xn2 yn z) 比較系數(shù)得x =3,y =10,z =18， 所以 an1 3(n 1)2 10(n 1) 18=2(an 3n2 10n 18) 精心整理 由 a13 12 10 1 18 =1 31 =32 =

11、0 ,得 an 3n2 10n 18 = 0 2 則 an 1 3(n V) 1(n J 18 =2，故數(shù)列an 3n2 10n 18為以 a1 3 12 10 1 18 = 1 31 =32 an+3n +10n+18 為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 =32 2nJ，則an=2n3n2-10n-18。 5形如an 2二pan 1 qan時(shí)將a“作為f (n)求解 分析：原遞推式可化為an .2.1 = ( P ：*J(an 1 Lan)的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列 也aj為等比數(shù)列。 例7已知數(shù)列an滿足an廠5務(wù)1 -6務(wù),印一2 =2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

12、 解.設(shè) an 2 an 1 = (5 )(an 1 an ) . Ii 二二：( ,辦0 例10設(shè)正項(xiàng)數(shù)列4*滿足a1 =1 , an=2anA ( n 2).求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解：兩邊取對(duì)數(shù)得：log2 =12 log2n 丄 log；n 1 = 2（log；n1）,設(shè) bn =助 2 * 1 j則 bn = 2bn_1 L bn p? 是以2為公比的等比數(shù)列, 1 b1 = log2 1 =1=1 2n=2n， log；n 1 = 2nlog；n=2n-1 , , , 練習(xí)數(shù)列冷J中 a1 = 1 an =2 9n (n2),求數(shù)列 ?的通項(xiàng)公式. 2-22 答案: 六、倒數(shù)變換法 適

13、用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng) 2a 例11已知數(shù)列an滿足ani =匹,印=1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an +2 解: 求倒數(shù)得 1 11 1 =十 an 12anan 1 an 1 - 1為等差數(shù)列,首項(xiàng)1 =1, an 1ana1 公差為2 1 1 J（i 七、階差法(逐項(xiàng)相減法) 1、遞推公式中既有Sn ,又有an 分析：把已知關(guān)系通過(guò)an二川 轉(zhuǎn)化為數(shù)列或Sn的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的方法 6 -恥,n2 求解。 1 例12已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=-(an 1)(an 2),且a2,q,a成等比數(shù) 6 精心整理 列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 1 解：對(duì)任意 n，N 有 S-(an 1)(an 2) 6 - 當(dāng) n=1 時(shí)，3 =印(a1 1)(a1 - 2)，解得 印=1 或 a2 6 - 當(dāng) n2 時(shí)，& 廠6(an1)(an“2) -整理得：(an anJ)(an -anJ -3) =