2012年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽井岡山大學(xué)選拔賽

1、 2012年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽井岡山大學(xué)選拔賽 暨井岡山大學(xué)第五屆“井岡杯”全校數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 題目：基金的優(yōu)化方案問(wèn)題（a題）（本科組） 參賽隊(duì)員：姓名： 熊先德 學(xué)院：數(shù)理學(xué)院 班級(jí)：10數(shù)教一班 姓名： 楊泉 學(xué)院：化學(xué)化工學(xué)院 班級(jí)：10應(yīng)化本一姓名： 周亮紅 學(xué)院：商學(xué)院 班級(jí)：10經(jīng)濟(jì)本一 2012年4月22日 星期日 摘要 本文是一篇關(guān)于基金的使用計(jì)劃模型。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的背景下，人們?cè)絹?lái)越清醒地意識(shí)到：一個(gè)合理的數(shù)學(xué)應(yīng)用模型對(duì)于現(xiàn)今生產(chǎn)、投資、規(guī)劃等實(shí)際應(yīng)用項(xiàng)目的重要性,我們常會(huì)遇到一筆資金有很多不同的投資機(jī)會(huì)，面對(duì)這些機(jī)會(huì)，我們可以選擇不同的投資方式，從而使這筆資金在一

2、段時(shí)期內(nèi)達(dá)到的收益最大。 本文涉及的問(wèn)題是對(duì)某校的一筆基金，每年都要用一部分本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，每年的獎(jiǎng)金額大致相同，在可以將其投入科研和投入精品課程的兩種投資機(jī)會(huì)下（每種投資機(jī)會(huì)下又有多種方式），怎樣安排一個(gè)n 年的投資計(jì)劃使其每年可用于發(fā)獎(jiǎng)勵(lì)的獎(jiǎng)金額盡可能多，而在n 年后仍保留原有的基金數(shù)額不變,兩種不同的情形討論各自最優(yōu)的投資方案，雖然情形不同，但最終遵循著同一個(gè)準(zhǔn)則：在保證每年的基金m不變的情況下，最終實(shí)現(xiàn)每年發(fā)放獎(jiǎng)金數(shù)目最多，這一目標(biāo)在這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們首先考慮只投入科研不投入精品課程的方式。對(duì)于第一年，年初有一筆資金m100萬(wàn)，在還沒(méi)有投資的方式下是不可能發(fā)獎(jiǎng)金的，所以在第一

3、年年初不會(huì)發(fā)獎(jiǎng)金。由于3個(gè)月和6個(gè)月的投資利率都比較低，不會(huì)因?yàn)橐诘谝荒臧l(fā)獎(jiǎng)金而去投資3個(gè)月和6個(gè)月，按常理在第二年的年初發(fā)第一年的獎(jiǎng)金完全是合理的，并且假設(shè)第n+1 年的年初發(fā)第n 年的獎(jiǎng)金，所以在這種方式下，不可能采用3個(gè)月和6個(gè)月的投資方式，根據(jù)每年可用于投資的投資額等于當(dāng)年初（即前一年末）能收回的本利和減去當(dāng)年初發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)，但第一年初的投資額為m，我們建立了關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的一般線性規(guī)劃模型，并對(duì)m=100，n=10 用lingo 軟件求得其最佳投資方案為：每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額為2.126806萬(wàn)元，第一年投資一年期存款7.727369萬(wàn)元，二年期存款2.052902萬(wàn)元，三年期存款3.8

4、00681萬(wàn)元，五年期存款86.41005萬(wàn)元；第二年投資三年期存款2.005513萬(wàn)元，五年期存款3.717452 萬(wàn)元；再考慮科研和精品課程組合式的情況。在這種情況下,一般地投資一年期的精品課程，加上3個(gè)月或6個(gè)月的等待（由于投入的時(shí)間不定），需要占用三年時(shí)間，從而可將投資一年期的精品課程的投資方式看成相當(dāng)于二年期的考研投資方式，并計(jì)算出相應(yīng)的年利率。以此類推,第二問(wèn)是第一種情況的一種拓廣，我們也建立了其一般的線性規(guī)劃模型，并對(duì)m=100，n=10 給出了最好的投資方案（對(duì)于每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額相同）：每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額為 9.789863萬(wàn)元，第一年投資一年期存款9.789863萬(wàn)元，二年期存

5、款9.637210萬(wàn)元，三年期存款9.449675萬(wàn)元，四年期存款（即購(gòu)買(mǎi)三年期國(guó)庫(kù)券并存了一段時(shí)間的活期或半年期）71.68158 萬(wàn)元;當(dāng)然這樣處理會(huì)有誤差，經(jīng)過(guò)多次計(jì)算檢驗(yàn)，誤差大約在4%左右。但是與問(wèn)題簡(jiǎn)化的程度相比，我們認(rèn)為這是合算的；對(duì)于在基金到位后的第14年學(xué)校要舉行校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其它年度多30%，只需要在前述兩種情況下，在第十四年的約束式中將獎(jiǎng)金變額修改為1.3倍即可解決,得到14年后發(fā)放的獎(jiǎng)金額為 1.3*z=10.517542萬(wàn)元綜上所述，此模型最終要解決的是選擇最佳基金使用計(jì)劃，使得學(xué)?；饡?huì)能夠有充分的資金在基金會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)。這個(gè)模型的解決使我們更清楚了最優(yōu)化

6、模型的解決方法及l(fā)ingo軟件求解線性規(guī)劃問(wèn)題的方法。關(guān)鍵字：線性規(guī)劃模型，lingo軟件，投資計(jì)劃,投資方案一 問(wèn)題重述基金有廣義和狹義之分，從廣義上說(shuō)，基金是機(jī)構(gòu)投資者的統(tǒng)稱，包括信托投資基金、單位信托基金、公積金、保險(xiǎn)基金、退休基金，各種基金會(huì)的基金。在現(xiàn)有的證券市場(chǎng)上的基金，包括封閉式基金和開(kāi)放式基金，具有收益性功能和增值淺能的特點(diǎn)。從會(huì)計(jì)角度透析，基金是一個(gè)狹義的概念，意指具有特定目的和用途的資金。因?yàn)檎褪聵I(yè)單位的出資者不要求投資回報(bào)和投資收回，但要求按法律規(guī)定或出資者的意愿把資金用在指定的用途上，而形成了基金。而我們要研究的是學(xué)?；鹱顑?yōu)化分配問(wèn)題。某大學(xué)獲得了一筆數(shù)額為m 元

7、的基金，打算將其投入到學(xué)校教學(xué)或科研中。經(jīng)行家分析，投入到科研上，這筆基金給學(xué)校帶來(lái)的年平均收益情況見(jiàn)下表1（譬如某人或?qū)W科組申請(qǐng)到此基金的一部分作為科研經(jīng)費(fèi)，申請(qǐng)時(shí)間3個(gè)月，3個(gè)月期滿必須歸還?；饡?huì)）。假設(shè)投入到教學(xué)中，用于建設(shè)精品課程，分1年，3年，5年建設(shè)精品課程（建設(shè)期滿投入全部收回），行家估算，這筆基金給學(xué)校帶來(lái)的平均收益見(jiàn)表2。?；饡?huì)計(jì)劃在n年內(nèi)每年用部分收益獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，要求每年的獎(jiǎng)勵(lì)大致相同，且在n年末仍保留原有基金數(shù)額。校基金會(huì)希望獲得最佳基金使用計(jì)劃，以提高每年的獎(jiǎng)金額。設(shè)計(jì)一個(gè)使用方案，并對(duì)m=100萬(wàn)元，n=15年給出具體結(jié)果：1 只投入到科研上不投入到教學(xué)中；2

8、可投入到科研上也可投入到教學(xué)中；3 學(xué)校在基金到位后的14年（2019年）要舉行建校100周年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其他年度多30%。表1：科研基金年平均收益率（%）種類3個(gè)月6個(gè)月一年二年三年五年收益率（%）1.3681.5121.5841.8002.0162.232表2：教學(xué)基金年平均收益率（%）種類一年三年五年收益率（%）1.982.522.79二 模型假設(shè)1 行家對(duì)于投資帶來(lái)收益的估算是可靠的和科學(xué)的；2 每年學(xué)校的獎(jiǎng)金數(shù)額保持不變；3 收益的資金可以重復(fù)作為投資基金；4 各種投資方式的收益率在n年內(nèi)不會(huì)變化；5 投入的資金在使用期滿后能確保收回；6 投資方式的選擇不受收益率以

9、外的其他因素影響；7 基金不會(huì)被用于教學(xué)和科研外的其他方面；8 基金是在計(jì)劃期第一年的1月1日到位，且n年內(nèi)基金數(shù)額不再追加。我們 把這一年作為問(wèn)題討論的第一年；9從第二年開(kāi)始每年的1月1日發(fā)獎(jiǎng)金一次，且第（n+1）年的1月11日發(fā)第n年的獎(jiǎng)金（第一年年初不發(fā)）；10 基金的每種使用方式是相互獨(dú)立的，科研基金和教學(xué)基金不能提前支取。11 在計(jì)劃期的n年中，科研基金和教學(xué)基金平均收益率不變。三 符號(hào)說(shuō)明 學(xué)校獲得的基金總額 z 表示每年的獎(jiǎng)勵(lì)師生的獎(jiǎng)金額 （單位：萬(wàn)元） 第年發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)額（=1，2，3,10,在只投資科研的情況下） 第年發(fā)放的獎(jiǎng)金數(shù)額（=1，2，3,10，在投資科研和教學(xué)的情況

10、下） 不同投資年限的利潤(rùn)（=1，2，3,5,在只投資科研的情況下） 不同投資年限的利潤(rùn)（=1，2，3,5, 在投資科研和教學(xué)的情況下） 第份資金的投資額（=1，2，3，14，在只投資科研的情況下） 第份資金的投資額（=1，2，3，14，在投資科研和教學(xué)的情況下）x ij 表示第 i 年對(duì)第j 種科研方式的投資額（第j 種存款方式表示j 年期科研基金 單位：萬(wàn)元） 表示i 年期科研基金平均收益率 表示半年期科研基金平均收益率 表示3個(gè)月科研基金平均收益率四 問(wèn)題分析問(wèn)題一的分析：對(duì)于申請(qǐng)的部分固定的基金m元，只投入到科研上不投入到教學(xué)中，由于我們假設(shè)每年發(fā)獎(jiǎng)金的時(shí)間在 1 月1 日，第n+1 年

11、的1 月1 日發(fā)第n 年的獎(jiǎng)金，而3月期和半年期投資利率比較低，因此我們可以推斷在此種情況下，3個(gè)月和6個(gè)月的投資方式不可能被采用，而只能采用一年期、二年期、三年期和五年期考研投資方式。十年的投資情況如下表所示。例如表中x11 表示第一年對(duì)一年期考研的投資額，一年后其本利和為1.0158*x11；x12 表示第二年對(duì)二年期考研的投資額，二年后其本利和為1.036*x12，其余類似。問(wèn)題二的分析:在這種情況下，由于投入精品課程的數(shù)額不定、投入的時(shí)間不定，給問(wèn)題的解決帶來(lái)很大困難，因此我們必須進(jìn)行適當(dāng)合理的簡(jiǎn)化。由于投資一年期的精品課程，從時(shí)間上算一般要占用二年時(shí)間（這里包括存3個(gè)月或6個(gè)月,等待

12、投入精品課程的時(shí)間；也包括精品課程期以后3月期或半年期等待至本年終的時(shí)間），因此我們可以將精品課程的投資方式看成是考研投資二年的投資方式。類似的道理，也可將三年期和五年期精品課程的投資方式分別看成是四年和六年定期考研的投資方式。問(wèn)題三的分析:校方要求學(xué)校在基金到位后的14年（2019年）要舉行建校100周年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其他年度多30%,即在本問(wèn)題是對(duì)第15年的獎(jiǎng)金數(shù)額有一個(gè)改變，這個(gè)問(wèn)題比較好理解,校方?jīng)]有規(guī)定是只投入到科研還是投入到精品課程中,所以可以在前兩個(gè)問(wèn)題的模型中改變第15年的獎(jiǎng)金,使獎(jiǎng)金增加1.3倍,分別代入兩個(gè)模型就能求得相應(yīng)的投資方式;反復(fù)短期的投資與一下子長(zhǎng)

13、期投資的關(guān)系；就像活期存款與長(zhǎng)期整存的關(guān)系，肯定是長(zhǎng)期投資的利率高。五 模型建立和求解 問(wèn)題一的模型： 基金只用于投資科研方面(1)不同方式的投資先后順序不同，對(duì)收益的影響 假定有一定數(shù)額的資金,先定期投資年再定期投資年與先定期投資年再定期投資年的本息和關(guān)系如何。（，=3個(gè)月，6個(gè)月，1，2，3，5） 令定期為年的投資年利率為，定期為年投資年利率為，則一定數(shù)額的資金先投資年再投資年，+年后的本利和為；先投資年再投資年，+年后本利和為；由乘法交換率可知 也即投資+年后的本利和與采用不同投資方式的先后順序無(wú)關(guān)。同理可推，如果不同投資的年限為（=1，2，3，），且那么不論這些投資的順序如何排列，在年

14、后的本利和不變。（2）一定數(shù)額的資金，在投資期限為5年內(nèi)的最佳投資方案 若投資期限為3個(gè)月，只有1種投資方案； 若投資期限為6個(gè)月，投資方案有兩種： 一次性投資6個(gè)月期限的項(xiàng)目 ； 先投資3個(gè)月期限的項(xiàng)目，回收資金后再投資3個(gè)月期限的項(xiàng)目。由3個(gè)月期限的年收益率為0.01368，可得3個(gè)月的收益率為 ；由6個(gè)月期限的年收益率為0.01512，可得6個(gè)月的收益率為 ；方案的收益為 方案的收益為 比較可知，方案的收益較高。若投資期限為1年，則投資方案有4種： 一次性投資1年期限的項(xiàng)目； 先投資6個(gè)月期限的項(xiàng)目，回收資金后再投資6個(gè)月期限的項(xiàng)目； 投資兩次3個(gè)月期限的項(xiàng)目，投資一次6個(gè)月期限的項(xiàng)目，

15、由上面（1）的結(jié)論可知，不論他們投資順序如何，結(jié)果一樣；先投資3個(gè)月期限的項(xiàng)目，回收資金后再投資3個(gè)月的項(xiàng)目，以此類推直到一年；方案的收益為 方案的收益為 方案的收益為 方案的收益為 比較可知，方案的收益最大。由可看出，若投資的期限大于6個(gè)月，一定選期限6個(gè)月的投資方案，而不是兩次3個(gè)月的投資方案；若投資期限大于1年，則一定選期限為1年的投資方案，而不是兩次6個(gè)月、四次3個(gè)月或一次6個(gè)月兩次3個(gè)月。所以，我們可以在以下的討論中只對(duì)優(yōu)化的投資方案進(jìn)行討論。利用所給的條件及各變量之間的關(guān)系可以得到每年的獎(jiǎng)金額與年數(shù)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最后帶入數(shù)據(jù)由此可得線性方程為:代入數(shù)據(jù)得:x11+x12+x13

16、+x15=100;x21+x22+x23+x25=1.01584*x11-z;x31+x32+x33+x35=1.036*x12+1.01584*x21-z;x41+x42+x43+x45=1.06048*x13+1.036*x22+1.01584*x31-z;x51+x52+x53+x55=1.06048*x23+1.036*x32+1.01584*x41-z;x61+x62+x63+x65=1.1116*x15+1.06048*x33+1.036*x42+1.01584*x51-z;x71+x72+x73=1.1116*x25+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x

17、61-z;x81+x82+x83=1.1116*x35+1.06048*x53+1.036*x62+1.01584*x71-z;x91+x92=1.1116*x45+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81-z;x101=1.1116*x55+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91-z;100=1.1116*x65+1.06048*x83+1.036*x92+1.01584*x101-z;一二三四五六七八九十十一x111.0158x111.036x121.06048x131.116x15x12x13x15x211.0158x211.036x

18、221.06048x231.116x25x22x23x25x311.0158x311.036x321.06048x331.116x35x32x33x35x411.0158x411.036x421.06048x431.116x45x42x43x45x511.0158x511.036x521.06048x531.116x55x52x53x55x611.0158x611.036x621.06048x631.116x65x62x63x65x711.0158x711.036x721.06048x73x72x73x75x811.0158x811.036x821.06048x85x82x83x85x911.

19、0158x911.036x12x92x93x95x(10)11.0158x(10)1x(10)2x(10)3x(10)5表11：第i年對(duì)第j種科研方式的投資額（第j 種存款方式表示j年期科研基金） 經(jīng)過(guò)lingo軟件計(jì)算得：年份投資方式投資金額（萬(wàn)元）獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)年份投資方式投資金額（萬(wàn)元）獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)第一年x117.7273692.12686第六年x6102.12686x122.052902x622.052902x133.809681x630x140x640x1586.41005x650第二年x2102.12686第七年x7102.12686x220x720x232.005513x732.0

20、05513x240x740x253.717452x750第三年x3102.12686第八年x8102.12686x320x820x330x830x340x840x350x850第四年x4102.12686第九年x9102.12686x420x920x430x930x440x940x450x950第五年x5102.12686第十年x10102.12686x520x1020x530x1030x540x1040x550x1050由上式得每年發(fā)放的獎(jiǎng)金額為2.126806萬(wàn)元，第一年投資一年期存款7.727369萬(wàn)元，二年期存款2.052902萬(wàn)元，三年期存款3.800681萬(wàn)元，五年期存款86.41

21、005萬(wàn)元；第二年投資三年期存款2.005513萬(wàn)元，五年期存款3.717452 萬(wàn)元問(wèn)題二的模型;在這種情況下，由于投入精品課程的數(shù)額不定、投入時(shí)間不定，給問(wèn)題的解決帶來(lái)很大困難，因此我們必須進(jìn)行適當(dāng)合理的簡(jiǎn)化。 由于投資一年期的精品課程，從時(shí)間上算一般要占用二年時(shí)間（這里包括存3個(gè)月或6個(gè)月,等待投入精品課程的時(shí)間；也包括精品課程期以后3月期或半年期等待至本年終的時(shí)間），因此我們可以將一年精品課程的投資方式看成是考研二年的投資方式。類似的道理，也可將三年期和五年期精品課程的投資方式分別看成是四年和六年定期存款的投資方式。經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)枚舉計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：定理1：對(duì)于任何一種精品課程，因

22、為投資精品課程只能在發(fā)行的當(dāng)月施行，所以發(fā)行的月份也就是投入的月份，在某一年當(dāng)中的任何月份投入（也即購(gòu)買(mǎi)）所取得的收益是相同的（1月1 日和7月1日除外）。證明： 假設(shè)在某一年第n 月投資m年期的精品課程，ph 為活期利率，pb 為半年期利率，又設(shè)pm 為精品課程利率，a 為第n 年初準(zhǔn)備用于投資m 年期的精品課程的資金額。當(dāng) n7 時(shí)：首先，將a 萬(wàn)元的資金存(n-1)個(gè)月，到期時(shí)的本利和為：a 1+ (n-1)ph/12然后再將a 1+ (n-1)ph/12萬(wàn)元的資金用于投資m 年期的精品課程券，到期時(shí)的本利和為：a 1+ (n-1)ph/12 (1+m*pm)然后再將a 1 + (n-1

23、)ph/12 (1+m*pm)萬(wàn)元的資金存入6個(gè)月期，到期時(shí)的本利和為：a 1+ (n-1)ph/12 (1+m*pm) (1+pb/2)最后，將a 1+ (n-1)ph/12 (1+m*pm) (1+pb/2) 萬(wàn)元的資金存為3個(gè)月，到期時(shí)的本利和為a 1+ (n-1)ph/12 (1+m*pm) (1+pb/2) 1+(7-n)ph/12 = a(1+m*pm) (1+pb/2) 1+ ph/2 +(n-1)(7-n)ph2/12 2 當(dāng) n7 時(shí)：首先，將a 萬(wàn)元的資金存為6個(gè)月，到期時(shí)的本利和為：a (1 + pb/2)然后再將a (1+ pb/2)萬(wàn)元的資金存為（n-7）個(gè)月活期，到

24、期時(shí)的本利和為：a (1+ pb/2)1+(n-7)ph/12然后再用a (1 + pb/2)1+(n-7)ph/12萬(wàn)元的資金投資m 年期的精品課程，到期時(shí)的本利和為：a (1 + pb/2)1+(n-7)ph/12（1+mpm）最后，將a (1 + pb/2)1+(n-7)ph/12（1+mpm）萬(wàn)元的資金存為3個(gè)月活期，到期時(shí)的本利和為a 1 + (n-7)ph/12 (1+m*pm) (1+pb/2) 1+(13-n)ph/12 = a(1+m*pm)(1+pb/2) 1+ph/2+(n-7)(13-n)ph2/12在式中，(n-1)(7-n)ph2/12 9ph2/122=ph2/1

25、6 (1+pb/2)在式中， (n-7)(13-n)ph2/12 29ph2/122=ph2/167 最后的投資總收益近似為：a(1+m*pm) (1+pb/2) 1+ ph/2與n 無(wú)關(guān)。 證畢關(guān)于上述結(jié)論的說(shuō)明：對(duì)于1月1日投資的m年期精品課程，則不需要等待投入，而是立即投資，資金占用時(shí)間為m年，因而m+1的投資收益會(huì)高于a(1+m*pm) (1+pb/2) 1 + ph/2；同樣對(duì)于7月1日投入的m 年期精品課程 ，整個(gè)投資過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)兩次半年期存款方式，因而最后的投資收益也會(huì)高于a(1+m*pm) (1+pb/2) 1 + ph/2。對(duì)于這兩天可另外處理.由定理1，無(wú)論投資精品課程

26、是在哪一個(gè)月，我們均可以看作是在該年的1 月1 日，而投資精品課程從理論上分析是宜早不宜遲，因此投資精品課程次數(shù)的增加只相當(dāng)于考研投資問(wèn)題。這樣第二種情況就可認(rèn)為是第一種情況的一種拓廣。根據(jù)如下公式可計(jì)算出投資三種精品課程相當(dāng)于定期存款的年利率如表四所示。相對(duì)利率= 表2-1:為投資精品課程原收益率與相對(duì)收益率種類一年（兩年的科研）三年（四年科研）五年（六年科研）原收益率1.982.522.79相對(duì)收益率1.7262.22772.5984表2-1表2-2:投入科研與精品課程的收益率投資期限投入科研投入精品課程3個(gè)月1.3686個(gè)月1.512一年期1.584 二年期1.8001.726三年期2.

27、016四年期 2.2277五年期2.232六年期 2.5984表2-2表2-3：投資期限對(duì)應(yīng)的收益率符號(hào)投資期限投入科研設(shè)置收益率符號(hào)3個(gè)月1.368ps6個(gè)月1.512pb一年期1.584p1二年期1.800p2三年期2.016p3四年期 2.2277p4五年期2.232p5六年期 2.5984p6表2-3看表里就可以選擇最優(yōu)的不同年的收益率，綜合最優(yōu)的得到最好的收益率p相似第一問(wèn)得到線性方程為:x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 = mx21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 = (1 + p1 ) x11 -zx31 + x32

28、+ x33 + x34 + x35 + x36 = (1 + 2 p2 ) x12 + (1 + p1 ) x21 - zx41 + x42 + x43 + x44 + x45 + x46 = (1 + 3 p3 ) x12 + (1 + 2 p2 ) x22+ (1 + p1 ) x31-zx51 + x52 + x53+x54+x55 + x56 = (1 + 4 p4 ) x14 + (1 + 3 p3 ) x23 + (1 + 2 p2 ) x32 + (1 + p1 ) x14 - zxi1+xi 2+xi 3+xi 4+xi5+xi 6 = (1 +6 p6 ) x(i -5)6

29、+ (1 + 5 p5 ) x(i -5)5 + (1 + 4 p4 ) x(i -4 )4 + (1 + 3 p3 ) x(i-3)3+ (1 + 2 p2 ) x(i-2 )2 + (1 + p1 ) x(i -1)1-zx61+x62+x63+x64+x65=(1 +5 p5 ) x15 + (1 + 4 p4 ) x24 + (1 + 3 p3 ) x33 + (1 + 2 p2 ) x42+(1+p1)x51-z x71+x72+x73+x74 = (1 +6 p6 ) x16+(1 + 5 p5 ) x25 + (1 + 4 p4 ) x34 + (1 + 3 p3 ) x43 +

30、 (1 + 2 p2 ) x52+(1+p1)x61-zx81 + x82 + x83 =(1 +6 p6 ) x26+ (1 + 5 p5 ) x35 + (1 + 4 p4 ) x44 + (1 + 3 p3 ) x53 + (1 + 2 p2 ) x62+(1+p1)x71-zx91 + x92 =(1 +6 p6 ) x36+ (1 + 5 p5 ) x45 + (1 + 4 p4 ) x54 + (1 + 3 p3 ) x63 + (1 + 2 p2 ) x72+(1+p1)x81-zx101 =(1 +6 p6 ) x46+ (1 + 5 p5 ) x55 + (1 + 4 p4

31、) x64 + (1 + 3 p3 ) x73 + (1 + 2 p2 ) x82+(1+p1)x91-zm=(1 +6 p6 ) x56+ (1 + 5 p5 ) x65 + (1 + 4 p4 ) x74 + (1 + 3 p3 ) x83 + (1 + 2 p2 ) x92+(1+p1)x101-z代入數(shù)據(jù)得線性方程組為:x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 =100x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 = 1.01584*x11 -zx31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 =1.036* x12 +

32、 1.01584*x21 - zx41 + x42 + x43 + x44 + x45 + x46 = 1.06048*x13 +1.036*x22+ 1.01584* x31-zx51 + x52 + x53+x54+x55 + x56 = 1.089108*x14 +1.06048*x23 + 1.036*x32 + 1.01584* x14 - zx61+x62+x63+x64+x65=1.116*x15 + 1.089108* x24 + 1.06048* x33 +1.036*x42+1.01584*x51-z x71+x72+x73+x74=1.155904*x16+1.1116*

33、x25+1.089108*x34+ 1.06048*x43 + 1.036*x52+1.01584*x61-zx81 + x82 + x83 =1.155904*x26+ 1.1116* x35 +1.089108*x44 + 1.06048*x53 +1.036*x62+1.01584*x71-zx91 + x92 =1.155904*x36+ 1.1116* x45 +1.089108*x54 + 1.06048*x63 +1.036*x72+1.01584*x81-zx101 =1.155904*x46+ 1.1116* x55 +1.089108*x64 + 1.06048*x73 +

34、1.036*x82+1.01584*x91-z 100=1.155904*x56+ 1.1116* x65 +1.089108*x74 + 1.06048*x83 +1.036*x92+1.01584*x101-z經(jīng)過(guò)lingo軟件計(jì)算的：年份投資方式投資金額（萬(wàn)元）獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)年份投資方式投資金額（萬(wàn)元）獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)第一年x119.6372109.789863第六年x6109.789863x129.449675x620x139.231540x630x1471.68158x640x150x650x160x660第二年x2109.789863第七年x7109.789863x220x720x230

35、x730x240x740x250x750x260x760第三年x3109.789863第八年x8109.789863x320x820x330x830x340x840x350x850x360x860第四年x4109.789863第九年x9109.789863x420x920x430x930x440x940x450x950x460x960第五年x519.6372109.789863第十年x10109.789863x529.449675x1020x539.231540x1030x548.988882x1040x558.807002x1050x5694.98182x1060xi1是第i年科研基金一年期

36、的方式xi2是第i年課程基金一年期的方式xi3是第i年科研基金三年期的方式xi4是第i年課程基金三年期的方式xi5是第i年科研基金五年期的方式xi6是第i年課程基金五年期的方式問(wèn)題三的模型 校方要求學(xué)校在基金到位后的14年（2019年）要舉行建校100周年校慶，基金會(huì)希望這一年的獎(jiǎng)金比其他年度多30%,即在本問(wèn)題是對(duì)第15年的獎(jiǎng)金數(shù)額有一個(gè)改變，這個(gè)問(wèn)題比較好理解,校方?jīng)]有規(guī)定是只投入到科研還是投入到精品課程中,所以我們只需要在問(wèn)題一和問(wèn)題二中第四年（因第四年的1 月1 日發(fā)的獎(jiǎng)金是用于第三年）的約束等式中，將獎(jiǎng)金額y 改為1.3y 即可求出最佳投資方案利用所給的條件及各變量之間的關(guān)系可以得到

37、每年的獎(jiǎng)金額與年數(shù)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，列出方程:x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 = m、x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 = (1 + p1 ) x11 -zx31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 = (1 + 2 p2 ) x12 + (1 + p1 ) x21 - zx41 + x42 + x43 + x44 + x45 + x46 = (1 + 3 p3 ) x12 + (1 + 2 p2 ) x22+ (1 + p1 ) x31-zx51 + x52 + x53+x54+x55 + x56

38、= (1 + 4 p4 ) x14 + (1 + 3 p3 ) x23 + (1 + 2 p2 ) x32 + (1 + p1 ) x14 - zx61+x62+x63+x64+x65+x66=(1 +5 p5 ) x15+ (1 + 4 p4 ) x24 + (1 + 3 p3 ) x33 + (1 + 2 p2 ) x42+(1+p1)x51-z x71+x72+x73+x74+ x75+ x76 = (1 +6 p6 ) x16+(1 + 5 p5 ) x25 + (1 + 4 p4 ) x34 + (1 + 3 p3 ) x43 + (1 + 2 p2 ) x52+(1+p1)x61-

39、zx81+x82+x83+x84+ x85+ x86 =(1 +6 p6 ) x26+ (1 + 5 p5 ) x35 + (1 + 4 p4 ) x44 + (1 + 3 p3 ) x53 + (1 + 2 p2 ) x62+(1+p1)x71-zx91+x92+x93+x94+ x95+ x96 =(1 +6 p6 ) x36+ (1 + 5 p5 ) x45 + (1 + 4 p4 ) x54 + (1 + 3 p3 ) x63 + (1 + 2 p2 ) x72+(1+p1)x81-zx101+x102+x103+x104+ x105 =(1 +6 p6 ) x46+ (1 + 5 p

40、5 ) x55 + (1 + 4 p4 ) x64 + (1 + 3 p3 ) x73 + (1 + 2 p2 ) x82+(1+p1)x91-zx111+x112+x113+x114=(1 +6 p6 ) x56+ (1 + 5 p5 ) x65 + (1 + 4 p4 ) x74 + (1 + 3 p3 ) x83 + (1 + 2 p2 ) x92+(1+p1)x101-zx121+x122+x123=(1 +6 p6 ) x66+ (1 + 5 p5 ) x75 + (1 + 4 p4 ) x84 + (1 + 3 p3 ) x93 + (1 + 2 p2 ) x102+(1+p1)x

41、111-zx131+x132=(1 +6 p6 ) x76+ (1 + 5 p5 ) x85 + (1 + 4 p4 ) x94 + (1 + 3 p3 ) x103 + (1 + 2 p2 ) x112+(1+p1)x121-zx141=(1 +6 p6 ) x86+ (1 +5 p5) x95 + (1 + 4 p4 ) x104 + (1 + 3 p3 ) x113 + (1 + 2 p2 ) x122+(1+p1)x131-zm=1 +6 p6 ) x96+(1 +5p5) x105+(1 + 4 p4 ) x114 + (1 + 3 p3 ) x123 + (1 + 2 p2 ) x

42、132+(1+p1)x141-1.3*z代入表格中的數(shù)據(jù)使得:x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 =100x21 + x22 + x23 + x24 + x25 + x26 = 1.01584*x11 -zx31 + x32 + x33 + x34 + x35 + x36 =1.036* x12 + 1.01584*x21 - zx41 + x42 + x43 + x44 + x45 + x46 = 1.06048*x13 +1.036*x22+ 1.01584* x31-zx51 + x52 + x53+x54+x55 + x56 = 1.089108*x14

43、 +1.06048*x23 + 1.036*x32 + 1.01584* x14 - zx61+x62+x63+x64+x65+x66=1.116*x15 + 1.089108* x24 + 1.06048* x33 +1.036*x42+1.01584*x51-z x71+x72+x73+x74+x75+x76=1.155904*x16+1.1116*x25+1.089108*x34+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x61-z x81+x82+x83+x84+x85+x86=1.155904*x26+1.1116*x35+1.089108*x44+1.06048*

44、x53+1.036*x62+1.01584*x71-zx91+x92+x93+x94+x95+x96=1.155904*x36+1.1116*x45+1.089108*x54+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81-zx101+x102+x103+x104+x105=1.155904*x46+1.1116*x55+1.089108*x64+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91-z x111+x112+x113+x114=1.155904*x56+1.1116*x65+1.089108*x74+1.06048*x83+1.036*x92+

45、1.01584*x101-zx121+x122+x123=1.155904*x66+1.1116*x75+1.089108*x84+ 1.06048*x93 +1.036*x102+1.01584*x111-zx131+x132=1.155904*x76+ 1.1116* x85 +1.089108*x94 + 1.06048*x103 +1.036*x112+1.01584*x121-zx141=1.155904*x86+ 1.1116* x95 +1.089108*x104 + 1.06048*x113 +1.036*x122+1.01584*x131-z100=1.155904*x96+

46、 1.1116* x105 +1.089108*x114 + 1.06048*x123 +1.036*x132+1.01584*x141-1.3-z經(jīng)過(guò)lingo軟件計(jì)算出：年份投資方式投資金額（萬(wàn)元）獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)年份投資方式投資金額（萬(wàn)元）獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)第一年x117.9642638.090417第八年x8108.090417x127.809283x820x137.629014x830x1476.59744x840x150x850x160x860第二年x2108.090417第九年x9108.090417x220x920x230x930x240x940x250x950x260x960第三年x3

47、108.090417第十年x10108.090417x320x1020x330x1030x340x1040x350x1050x360x1060第四年x4108.090417第十一年x11108.090417x420x1120x430x1137.629014x440x114101.4753x450x1150x460x1160第五年x5114.854348.090417第十二年x12108.090417x5214.56528x1220x537.629014x1230x547.428480x1240x557.278173x1250x56101.3879x1260第六年x6108.090417第十三年x13108.090417x620x1320x630x1330x640x1340x