矩陣的秩及其應(yīng)用.

1、 學(xué)科分類號 0701 本科生畢業(yè)論文 題目： 矩陣的秩及其應(yīng)用 rank of matrix and its application 學(xué)生姓名： 學(xué)號： 系別：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 起止日期：2013.12-2014.5 2014年 5 月 10 日i懷化學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)誠信聲明作者鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文(設(shè)計)，是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨立進行研究所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權(quán)爭議。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的成果。對論文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確的方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由作者承

2、擔(dān)。本科畢業(yè)論文（設(shè)計）作者簽名： 年 月 日目錄摘要i關(guān)鍵詞iabstractikey wordsi1 前言12 矩陣的秩的定義及性質(zhì)22.1 矩陣的秩的定義22.2 矩陣秩的性質(zhì)22.3關(guān)于矩陣的秩的某些不等式、等式及其應(yīng)用33 矩陣的秩在代數(shù)中的應(yīng)用53.1 解線性方程組53.2 討論向量組的相關(guān)性93.3 討論零特征值的代數(shù)重數(shù)113.4判斷二次型的正定124 矩陣的秩在幾何中的應(yīng)用134.1 判斷平面與平面的位置關(guān)系134.2 判斷平面與直線的位置關(guān)系144.3 判斷直線與直線的位置關(guān)系15參考文獻17致 謝18摘要矩陣的秩幾乎貫穿矩陣?yán)碚摰氖冀K，它是矩陣的一個數(shù)量特征，矩陣的秩有著

3、廣泛的應(yīng)用。本文探討了矩陣秩的不變性，矩陣秩的與不等式及等式成立的條件和應(yīng)用，此外文章重點介紹了矩陣的秩在矩陣運算、矩陣可逆、向量組的線性相關(guān)以及零特征值代數(shù)重數(shù)的關(guān)系等問題中的作用，從而得到了矩陣的秩在線性代數(shù)、解析幾何以及概率論等方面的應(yīng)用關(guān)鍵詞不變性；不等式；線性方程組；齊次線性方程組；代數(shù)重數(shù).rank of matrix and its applicationabstract the rank of a matrix is almost throughout the matrix theory, it is a quantity characteristic matrix, rank

4、 of matrix has a wide range of applications. this paper discusses the invariance of matrix rank, the rank of a matrix is established with inequality and equality conditions and applications, furthermore the article focuses on the rank of matrix valued algebraic multiplicity relations and other issue

5、s in the role of the linear correlation matrix multiplication, matrix, vector group and zero characteristic, which has been applied in the rank of a matrix linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.key wordsinvariance;inequalities;linear equations; homogeneous linear equations;

6、algebraic multiplicity.ii1 前言矩陣的現(xiàn)代概念是在19世紀(jì)逐漸形成的.1801年德國數(shù)學(xué)家高斯，）把一個線性變換的全部系數(shù)作為一個整體1844年,德國數(shù)學(xué)家愛森斯坦討論了“變換”（矩陣）及其乘積1850年,英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特首先使用了矩陣一詞1858年,英國數(shù)學(xué)家凱萊發(fā)表關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄蟾嫠紫葘⒕仃囎鳛橐粋€獨立的數(shù)學(xué)對象加以研究，并在這個主題上首先發(fā)表了一系列的文章，因而被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義，如兩矩陣相等、零矩陣、兩矩陣之和，一個數(shù)與一個矩陣的數(shù)量積、兩矩陣的積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣等并且凱萊還注意到矩陣的乘法是可結(jié)合的，但一般不

7、可交換，且矩陣只能用矩陣去右乘1854年，法國數(shù)學(xué)家埃米爾特使用了“正交矩陣”這一術(shù)語，但他的正式定義直到1878年才由德國數(shù)學(xué)家費羅貝烏斯發(fā)表1879年，費羅貝烏斯引入矩陣秩的概念矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的一個重要的工具而矩陣的秩是一個基本的概念，也是矩陣最重要的數(shù)量特征之一，它在初等變換下是一個不變量矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念，無論是在線性代數(shù)中，還是在解析幾何中，甚至在概率論中，都有不可忽略的作用不管對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)或者非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)來說，學(xué)習(xí)和理解它的含義都是十分必要的.本課題的目的在于討論

8、和總結(jié)兩個矩陣和的秩及兩個矩陣積的秩，矩陣的和與乘積是矩陣的兩種基本運算，關(guān)于他們的秩可以用相關(guān)矩陣秩的不等式表示，進一步給出有條件的等式表示，本文利用矩陣的秩的幾個結(jié)論，講述矩陣的秩在線性代數(shù)，解析幾何以及向量中的利用. 現(xiàn)如今，矩陣?yán)碚撛谠S多領(lǐng)域都有很廣泛地應(yīng)用, 例如矩陣分析法在企業(yè)戰(zhàn)略管理、營銷活動、供應(yīng)鏈管理技術(shù)、教學(xué)效率評價、射擊訓(xùn)練效果評價等方面都起到舉足輕重的作用. 在解析幾何中,矩陣的秩可用來判斷空間中兩直線、兩平面及直線和平面之間的關(guān)系. 在控制論中, 矩陣的秩可用來確定線性系統(tǒng)是否為可控制的, 或可觀察的. 此外, 矩陣的秩也可用來判定向量組的線性相關(guān)性、兩個向量組之間的

9、等價、求向量組的極大無關(guān)組、向量組的線性表示、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、求解非齊次線性方程組等等.分塊矩陣是矩陣論中一個比較重要的內(nèi)容，它的應(yīng)用研究非常廣泛和深刻，特別是在高等代數(shù)和線性代數(shù)中分塊矩陣的應(yīng)用更加廣闊，例如在計算行列式、求逆矩陣及矩陣的秩等方面，都有著很重要的應(yīng)用.但國內(nèi)一些專家對其研究主要是在證明和計算等方面.但在分塊矩陣的推廣方面很少有研究，難以創(chuàng)新，但分塊矩陣的應(yīng)用的研究不能僅僅停留于現(xiàn)在這個程度，應(yīng)該使其推廣和應(yīng)用到其它領(lǐng)域之中，使之能夠成為我們學(xué)習(xí)和研究便利的工具.2 矩陣的秩的定義及性質(zhì)2.1 矩陣的秩的定義 定義1 一個向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個

10、向量組的秩. 定義 2所謂矩陣的行秩就是矩陣的行向量組的秩, 矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩. 矩陣的行秩等于矩陣的列秩, 并統(tǒng)稱為矩陣的秩. 另外, 矩陣的秩等于它的不為零的子式的最高階數(shù), 這是矩陣的秩的行列式定義.2.2 矩陣秩的性質(zhì) (1) ，當(dāng)且僅當(dāng)是零矩陣; (2) , 當(dāng)且僅當(dāng); (3) 設(shè)是矩陣, 則; (4);(5); (6) 設(shè)分別為與矩陣, 則; (7) 轉(zhuǎn)置矩陣的秩相等，即; (8) 初等變換不改變矩陣的秩; (9) (10) 對于任意一個階矩陣，以下三種說法等價; 1.矩陣可逆； 2.； 3. (11) 矩陣的行秩、列秩、秩相等; (12) 設(shè)為階矩陣，為階可逆矩陣

11、，為階矩陣，則; (13) ; (14) ;(15) 特別地，若可逆，則2.3關(guān)于矩陣的秩的某些不等式、等式及其應(yīng)用定理 1（）設(shè)為矩陣，為矩陣，則.推論1 若矩陣與為矩陣，且，. 定理2 設(shè)依次為、型矩陣，則 性質(zhì)1 設(shè)矩陣為階矩陣，則.性質(zhì)2 若是階矩陣，則.定理3 設(shè)，則=，其中：，為與的最大公因式.定理4 設(shè)，則.推論2 設(shè)則.推論3 設(shè)，且，則.例1 設(shè)為階矩陣，且，證明：,為階矩陣.證明 令，則，而,則，所以應(yīng)用定理4，可得到 .例2 設(shè)為階矩陣，且,證明.證明 令，則，應(yīng)用定理4，可得到 .例3 設(shè)，為正整數(shù)，則對任意的正整數(shù),有：，如果;,如果.證明(1) 令，則，應(yīng)用定理4，

12、 (2)令，則應(yīng)用定理4，可到 以上三道例題如果用零化多項式的知識去解非常繁瑣，但用不等式來就非常簡單且易懂.矩陣秩的不等式在解題中有很好的應(yīng)用，本文就不一一說明了.3 矩陣的秩在代數(shù)中的應(yīng)用3.1 解線性方程組定理1（線性方程組可解的判定方法） 設(shè)元線性方程組，其中設(shè)其增廣矩陣為則有(1)方程組無解當(dāng)且僅當(dāng)；(2)方程組有唯一解當(dāng)且僅當(dāng)；(3)方程組有無窮多解當(dāng)且僅當(dāng)例1 當(dāng), 取何值時, 線性方程組無解? 有解? 有解時, 求出一般解.解 對增廣矩陣作一系列初等變換： .從而有：當(dāng) 或者時, 故方程組無解; 當(dāng), 且時, 0,作齊次線性方程組，該方程組的解空間的維數(shù)為，由知的列向量是的解向

13、量.因此，于是.例6 當(dāng)取不同值時，計算下列齊次線性方程組的通解. (1)解 方程組的系數(shù)矩陣為，,計算系數(shù)矩陣的行列式,當(dāng)時，方程組有非零解.,方程組的系數(shù)矩的秩為2，由定理可得方程組的基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)為1.此時方程組化簡為 （2）方程組（1）與（2）同解，且解為由于線性無關(guān)，則可以作為方程組的基礎(chǔ)解系，表示方程組的通解.因此方程組的通解為 其中.當(dāng)時，,方程組只有零解.3.2 討論向量組的相關(guān)性向量組的線性相關(guān)型理論是貫穿線性代數(shù)始終的理論主線由于線性關(guān)系是變量比較簡單的一種關(guān)系，而線性問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域，并且一些非線性問題在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化或近似轉(zhuǎn)化為線性問題來解決

14、如果稱向量組是線性無關(guān)的，那么等式只有是能成立的否則稱這組向量組是線性相關(guān)的假設(shè)這組向量組為階的列向量這時用矩陣的形式可以將上述的等式寫成，其中，這時判斷向量組線性無關(guān)或相關(guān)的問題，可以轉(zhuǎn)換成求方程組是否有非零解的問題來討論可以得到：定理1 一組列向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的秩等于由此可得到矩陣秩的另一種等價的定義：定義1矩陣的行（列）向量組的極大無關(guān)組的個數(shù)成為該矩陣的秩例7 設(shè)為階方陣, 為個線性無關(guān)的維向量, 證明秩=的充要條件是, , , 線性無關(guān).證明 令=, 那么.先證明必要性 設(shè)秩=, 所以. 令 用左乘（1）式得. 所以.即 , , , 線性無關(guān).再證明充分性 因為, , ,

15、線性無關(guān)，所以=,從而, 即 秩=.定理2 如果方陣的秩為，則以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解向量組中，必有個是線性無關(guān)的例8 設(shè)是非齊次線性方程組的特解，是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，證明 (1) 線性無關(guān)； (2)有個線性無關(guān)的解；(3) 的任意解可唯一表示成，其中. 證明 （1）設(shè).若，則可表示成的線性組合，故是導(dǎo)出組的解，矛盾.于是，故，.（2） 因為，即是的解.設(shè)，即 而線性無關(guān)，則（3）設(shè)是的任意解，則 其中，則3.3 討論零特征值的代數(shù)重數(shù)引理1 設(shè)階方陣的特征值為，則;的特征值的充分必要條件是.例9 設(shè)是階矩陣，且，證明證明 因為，設(shè).由知 ，于是或.又，取的基為，取的基為，令，則，即.

16、由，得而相似矩陣有相同的跡，故.引理2 設(shè)是方陣的重特征值（稱為特征值的代數(shù)重數(shù)），對應(yīng)有個線性無關(guān)的特征向量（稱為特征值的幾何重數(shù)），則 定理1 如果方陣的秩為，設(shè)有零特征值，且其重數(shù)為,則必定有：推論1 如果方陣僅有一個零特征值，即，則必有的秩 推論2 如果方陣的秩,的個特征值為，則必有例10 設(shè)為階方陣, ，且，求的一個特征值. 解 因為,所以,從而，故由 得.所以，即-5為的一個特征值.3.4判斷二次型的正定設(shè)二次型=, 其中, 那么有以下的結(jié)論：正定的正慣性指數(shù)與秩都等于,負(fù)定的負(fù)慣性指數(shù)與秩都等于, 半正定的正慣性指數(shù)與秩相等.例11 設(shè)為階滿秩矩陣, 試證明: ()是一個正定二次

17、型, 這里=.證明 設(shè)是滿秩矩陣, 令=, 其中=, 則=是非退化線性替換, 且()=由上式看出, 此二次型的正慣性指數(shù)與秩都等于. 所以()是正定二次型.例12 設(shè)為階實對稱矩陣, 且正定. 為實矩陣. 為的轉(zhuǎn)置矩陣.試證明：為正定矩陣的充分必要條件是=.證明 先證明充分性. 首先，.由秩=, 知, 而為正定矩陣, 故0此即為正定矩陣.再證明必要性. 用反證法. 若, 則有非零實數(shù)解存在, 即,但, 由為正定矩陣, 知 = (1)另一方面, 因為, 所以 (2)由于矛盾, 故=,所以為正定矩陣的充分必要條件是=.4 矩陣的秩在幾何中的應(yīng)用4.1 判斷平面與平面的位置關(guān)系定理1 已知平面與平面

18、.設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為增廣矩陣為，則：若，平面與相交于一條直線;若，平面與重合；若，但，平面與平行定理2 設(shè)空間三個平面的方程分別為：系數(shù)構(gòu)成的矩陣為則：三平面重合的充要條件為;三平面平行的充要條件為，且的任意兩行不成比例;三平面兩兩相異且有唯一公共點的充要條，且的任意兩行不成比例;三平面中有兩平面平行，第三個平面與它們相交的充要條件是并且，且的任意兩行不成比例;兩平面重合，且第三平面與它們平行的充要條件是：，且的兩行不成比例;三平面有唯一的公共點的充要條件是 例1 設(shè)有個平面. 則 (1)這個平面只有一個公共點 (2)這個個平面相交于一條直線. 證明 （1）考慮方程組 （）則由方程組理論

19、可知，這個平面只有一個公共點方程組（）有唯一解. （2）充分性 若，則由線性方程組理論知，方程組（）有無窮多個解，其基礎(chǔ)解系含有個向量全部解為，因此，這個平面相交于一條直線，該直線的方向向量為.必要性 若這個平面相交于一條直線，則方程組（）有無窮多個解，從而又因為這個平面不重合，,故.4.2 判斷平面與直線的位置關(guān)系定理3 設(shè)空間平面與直線的一般方程為：.系數(shù)構(gòu)成的矩陣為則： 直線與平面相交的充要條件為：; 直線與平面沒有公共點的充要條件為; 直線屬于已知平面的充要條件為例2 判斷直線:與平面: 的位置關(guān)系.解 將系數(shù)矩陣,.進行初等變換得.則故直線平行于平面4.3 判斷直線與直線的位置關(guān)系定

20、理4 設(shè)空間兩直線的一般方程分別為： 系數(shù)構(gòu)成的矩陣為.則：(1) 兩直線異面的充要條件為；(2) 兩直線相交的充要條件為；(3) 兩直線平行的充要條件為；(4) 兩直線重合的充要條件為例3 判斷兩直線和的位置關(guān)系.解 將系數(shù)矩陣.進行初等變換得=.的秩, 的秩, 故兩直線平行.例4 證明直線和直線平行，其中：，： 證 由以上結(jié)論來證明.一方面,所以 另一方面，所以,由定理4可以得出直線和直線平行. 例5 設(shè)有空間四個點, ，矩陣的秩，則 時，四點異面； 時，四點共面；時，四點共線；時，四點重合. 證明 因為，故. ()當(dāng)時，,向量組線性無關(guān)，由張成整個三維空間知四點異面； 當(dāng)時，不妨設(shè)的前兩行線性無關(guān)，即向量線性無關(guān)，于是該向量組可以將線性表示，故四點共面，但不共線； 當(dāng)時，與前面類似