蒙特卡洛方法與定積分計(jì)算

1、蒙特卡洛方法與定積分計(jì)算By 鄧一碩 2010/03/08關(guān)鍵詞：Monte-Carlo ,定積分，模擬，蒙特卡洛 分類：統(tǒng)計(jì)計(jì)算作者信息：來自中央財(cái)經(jīng)大學(xué)；統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)。版權(quán)聲明：本文版權(quán)歸原作者所有，未經(jīng)許可不得轉(zhuǎn)載。原文可能隨時(shí)需要修改 紕漏，全文復(fù)制轉(zhuǎn)載會(huì)帶來不必要的誤導(dǎo)， 若您想推薦給朋友閱讀，敬請(qǐng)以負(fù)責(zé) 的態(tài)度提供原文鏈接；點(diǎn)此查看如何在學(xué)術(shù)刊物中引用本文本文講述一下蒙特卡洛模擬方法與定積分計(jì)算，首先從一個(gè)題目開始：設(shè)- _，用蒙特卡洛模擬法求定積分的值。隨機(jī)投點(diǎn)法設(shè)服從正方形.上的均勻分布，則可知一分別服從0,1上的均勻分布，且、相互獨(dú)立。記事件 I ，則心的概率為P二PX E二幾

2、R何旳血二J A（咖（二j即定積分：的值 就是事件出出現(xiàn)的頻率。同時(shí)，由伯努利大數(shù)定律，我們可 以用重復(fù)試驗(yàn)中心出現(xiàn)的頻率作為$的估計(jì)值。即將.看成是正方形/內(nèi)的隨機(jī)投點(diǎn)，用隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域：一 1中的頻率作為定積分的近似值。這種方法就叫隨機(jī)投點(diǎn)法，具體做法如下：圖1隨機(jī)投點(diǎn)法示意圖1、 首先產(chǎn)生服從.上的均勻分布的 二個(gè)隨機(jī)數(shù)（2為隨機(jī)投點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以 取很大，如十）并將其配對(duì)。2、對(duì)這對(duì)數(shù)據(jù) ;，7. - - -，記錄滿足不等式：-的個(gè)數(shù)，這就是事件發(fā)生的頻數(shù) ，由此可得事件以 發(fā)生的頻率；，貝U/。舉一實(shí)例，譬如要計(jì)算模擬次數(shù)時(shí)，R代碼如下：n=10A4;x=r unif(n);y=r un

3、if(n);f=fun ctio n(x)exp(-xA2/2)/sqrt(2*pi) mu_n=sum(yvf(x); J=mu_n/n;J模擬次數(shù)！ J.時(shí)，令！ J.,其余不變。 定積分的精確值和模擬值如下:表1精確值 1_2L0510e00.3413447 0.342 10.344 0.34187L J 0.34153910.341302注：精確值用integrate（f,0,1） 求得擴(kuò)展如果你很細(xì)心，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè) 方法目前只適用于積分區(qū)間，且積分函數(shù) 丿一.在區(qū)間上的取值也位于內(nèi)的情況。那么，對(duì)于一般區(qū)間上的定積分F 點(diǎn)用丄呢？ 一個(gè)很明顯的思路，如果我們可以將 與.建立 代數(shù)關(guān)系

4、就可以了。首先，做線性變換，令 -7-二此時(shí)，t二（一咖+（!,=卩_切討咖十訕旳。進(jìn)一步如果在區(qū)間上有：二,令/（蚩）二亡機(jī)己=亡弓+（&攻）切一亡，則_0此時(shí)，可以得到-btr 140廠# p* * - * * - .v.v-vv-v.其中.一：j 。這說明，用隨機(jī)投點(diǎn)法計(jì)算定積分方法具有普遍意義。舉一個(gè)實(shí)例，求定積分:_ 顯然住=2花=冠，二揪懷盤(刃|牡乞蘭5二咖t會(huì)|牡才5，由于- _ ； 在.；二上時(shí)單調(diào)減函數(shù)，所以 -J. . - J.，. - ：-: o R中代碼為 a=2;b=5;g=function(x) exp(-xA2/2)/sqrt(2*pi);f=fun ctio

5、n(y)(g(a+(b-a)*y)-c)/(d-c); c=g(5);d=g(2);s_0=(b-a)*(d-c); n=10八4;x=ru nif(n);y=ru nif(n); mu_n=sum(y=f(x); J=mu_n/n;J_0=s_0*J+c*(b-a);定積分：，1的精確值和模擬值如下:表2真實(shí)值103104105|10eiFFF-r-F-FFFF-=. FXF 八扌彳-FFFFF-* -F.-F-=*XFXF* 蒙特卡洛模擬法計(jì)算定積分時(shí)還有另一種方法，叫平均值法。這個(gè)原理也很簡單： 設(shè)隨機(jī)變量服從I/上的均勻分布，則的數(shù)學(xué)期望為所以估計(jì)：的值就是估計(jì)廠.的數(shù)學(xué)期望值。由辛欽大數(shù)定律，可以用.:. 的觀察值的均值取估計(jì)；，的數(shù)學(xué)期望。具體做法：先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生二個(gè)服從V上均勻分布的隨機(jī)數(shù)0對(duì)每一個(gè)I ,計(jì)算J ,：1 0計(jì)算：.-_： 0譬如，計(jì)算 I：, R中的代碼為n=10A4;x=r unif(n);f=fun ctio n(x)exp(-xA2/2)/sqrt(2*pi)J=mea n(f(x);其精確值和模擬值如下:表3真實(shí)值10310410510e0 |0.341344710.34058310.3410739 0.3414443 0.3414066 0.3413366平均值法與隨機(jī)投點(diǎn)法類似可以進(jìn)行擴(kuò)展，這里