實(shí)數(shù)(實(shí)數(shù)的概念、運(yùn)算、及大小比較

1、實(shí)數(shù)（實(shí)數(shù)的概念、運(yùn)算、及大小比較） 一. 教學(xué)內(nèi)容：第一單元 實(shí)數(shù)（實(shí)數(shù)的概念、運(yùn)算、及大小比較） 二. 教學(xué)目標(biāo)：1. 使學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固有理數(shù)、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念（1）了解有理數(shù)、無理數(shù)以及實(shí)數(shù)的有關(guān)概念；理解數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，了解數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義。（2）會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值，會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小（3）畫數(shù)軸，了解實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，會(huì)利用數(shù)軸比較大小。2. 通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生能熟練進(jìn)行實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算，絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等。（1）了解有理數(shù)的加、減、乘、除的意義，理解乘方、冪的有關(guān)概念、掌握有理數(shù)運(yùn)算法則、運(yùn)算律和運(yùn)算

2、順序，能熟練地進(jìn)行有理數(shù)加、減、乘、除、乘方和簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算。（2）了解有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)運(yùn)算中同樣適用，復(fù)習(xí)鞏固有理數(shù)的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算，能正確進(jìn)行實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算。（3）了解近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)的概念，會(huì)根據(jù)指定的精確度或有效數(shù)字的個(gè)數(shù)，用四舍五入法求有理數(shù)的近似值（在解決某些實(shí)際問題時(shí)也能用進(jìn)一法和去尾法取近似值），會(huì)按所要求的精確度運(yùn)用近似的有限小數(shù)代替無理數(shù)進(jìn)行實(shí)數(shù)的近似運(yùn)算。（4）了解計(jì)算器使用的基本過程。 三. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：1. 有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)、非負(fù)數(shù)概念；2. 相反數(shù)、倒數(shù)、數(shù)的絕對(duì)值概念；3. 在已知中，以非負(fù)數(shù)a2、|a|、（a

3、0）之和為零作為條件，解決有關(guān)問題。4. 使學(xué)生能熟練進(jìn)行實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方的混合運(yùn)算，絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等。 四. 課堂教學(xué)：（一）知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1：實(shí)數(shù)分類方法（1），方法（2）注：有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，可化為分?jǐn)?shù)；無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) 知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)數(shù)的有關(guān)概念（1）數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意1：上述規(guī)定的三要素缺一個(gè)不可，2：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，3：數(shù)軸上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)總大于這個(gè)點(diǎn)左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)）（2）相反數(shù) 實(shí)數(shù)的相反數(shù)是一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零）注意：從數(shù)軸上看，

4、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（3）絕對(duì)值 注意：從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離 （4）倒數(shù) 實(shí)數(shù)a（a0）的倒數(shù)是（乘積為1的兩個(gè)數(shù)，叫做互為倒數(shù)）；注意：零沒有倒數(shù) 知識(shí)點(diǎn)3：平方根、算術(shù)平方根、立方根若x2a，則x叫做a的平方根。記作，而正的平方根叫做算術(shù)平方根 知識(shí)點(diǎn)4：零指數(shù)、負(fù)整指數(shù)冪a01（a0）；（a0） 知識(shí)點(diǎn)5：科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)、有效數(shù)字把一個(gè)數(shù)寫成a10n（1a10，n是整數(shù)）的形式一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位，四舍五入得到的數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字 知識(shí)點(diǎn)6：

5、三種重要的非負(fù)數(shù)（絕對(duì)值、偶次方、算術(shù)平方根） 知識(shí)點(diǎn)7：常見的幾種無理數(shù)（開方開不盡的數(shù)、含圓周率的數(shù)、無限不循環(huán)的數(shù)） 知識(shí)點(diǎn)8：實(shí)數(shù)的運(yùn)算 實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則（1）加法同號(hào)兩數(shù)相加，取原來的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加； 異號(hào)兩數(shù)相加。取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值； 任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。 （2）減法 （3）乘法兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；零乘以任何數(shù)都得零即 （4）除法 （5）乘方 （6）開方 如果x2a且x0，那么；如果x3a，那么在同一個(gè)式子里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)里面的實(shí)數(shù)的運(yùn)算律： （1）加法交換律 abba

6、 （2）加法結(jié)合律 （ab）ca（bc） （3）乘法交換律 abba （4）乘法結(jié)合律 （ab）ca（bc） （5）分配律 a（bc）abac其中a、b、c表示任意實(shí)數(shù)運(yùn)用運(yùn)算律有時(shí)可使運(yùn)算簡(jiǎn)便 知識(shí)點(diǎn)9：實(shí)數(shù)的大小比較（常見的方法數(shù)軸比較法；差值比較法；商值比較法；絕對(duì)值比較法） 【典型例題】例1 判斷題：（1）兩有理數(shù)的和、差、積、商是有理數(shù)；（2）有理數(shù)與無理數(shù)的積是無理數(shù)；（3）有理數(shù)與無理數(shù)的和、差是無理數(shù)；（4）小數(shù)都是有理數(shù)；（5）零是整數(shù)，是有理數(shù)，是實(shí)數(shù)，是自然數(shù)；（6）任何數(shù)的平方是正數(shù)；（7）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；（8）兩無理數(shù)的和是無理數(shù)。解：（1）對(duì)（2）不對(duì)（3

7、）對(duì)（4）不對(duì)（5）對(duì)（6）不對(duì)（7）對(duì)（8）不對(duì) 例2 選擇題：（1）如果a是實(shí)數(shù)，下列四種說法：和都是正數(shù)，那么一定是負(fù)數(shù)，a的倒數(shù)是，a和的兩個(gè)數(shù)表示的點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，其中正確的說法有（ A ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3（2）下列說法中，正確的是（ B ）A. |m|與m互為相反數(shù) B. 與互為倒數(shù)C. 1998.8用科學(xué)記數(shù)法表示為1.9988102D. 0.4949用四舍五入法保留兩個(gè)有效數(shù)字的近似值為0.50（3）近似數(shù)1.30所表示的準(zhǔn)確數(shù)A的范圍是（ C ）A. 1.25A1.35B. 1.20A1.30C. 1.295A1.305D. 1.300A1.305（

8、4）2006年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值按可比價(jià)格計(jì)算，比上年增長(zhǎng)9.5%，達(dá)到億元，億元用科學(xué)記數(shù)法表示（保留4個(gè)有效數(shù)字）為（ B ）A. 元 B.元C. 元 D.元 例3 填空題：（1）下列各數(shù)中：，0，1.，2，.有理數(shù)集合 ； 正數(shù)集合 ；整數(shù)集合 ； 自然數(shù)集合 ；分?jǐn)?shù)集合 ； 無理數(shù)集合 ；絕對(duì)值最小的數(shù)的集合 ；解：略（2）無理數(shù)a滿足不等式，請(qǐng)寫出兩個(gè)符合條件的無理數(shù)_、_（3）觀察下列數(shù)表： 1 2 3 4 第一行 2 3 4 5 第二行 3 4 5 6 第三行 4 5 6 7 第四行 第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列 根據(jù)表中所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點(diǎn)上

9、的數(shù)應(yīng)為_11_，第n行（n為正整數(shù)）與第n列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為_2n1_（4）已知：，若（a、b都是正整數(shù)），則ab的最小值是_ 19_ 例4 有條件化簡(jiǎn)：當(dāng)1a2時(shí)，化簡(jiǎn)；a，b，c為三角形的三邊，化簡(jiǎn)；如圖，化簡(jiǎn)。解：因?yàn)?a2所以 原式因?yàn)閨abc|abc |abc|bca所以原式abcbca2b 例5 無條件化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)解：步驟找零點(diǎn)；分段；討論。當(dāng)m2時(shí)m23m2m1當(dāng)2m3時(shí)m23m5當(dāng)m3時(shí)m2m32m1 例6 閱讀下面材料并完成填空：你能比較兩個(gè)數(shù)和的大小嗎？為了解決這個(gè)問題先把問題一般化，要比較nn1和（n1）n的大?。ǖ恼麛?shù)），先從分析n1，2，3，這些簡(jiǎn)單的情況入手，從中

10、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論。通過計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小（在橫線上填“、”號(hào)12 21 ；23 32；34 43；45 54；56 65；67 76；78 87（2）對(duì)第（1）小題的結(jié)果進(jìn)行歸納,猜想出nn1和（n1）n的大小關(guān)系是 （3）根據(jù)上面的歸納結(jié)果猜想得到的一般結(jié)論是： 解：（1） （2）當(dāng)n3時(shí)，nn1（n1）n當(dāng)n3時(shí)，nn1（n1）n（3） 例7 計(jì)算：（1）（2）解：（1）原式3144（2）0.31（）24331（3）0tg23036641分析：本題運(yùn)用方根的概念，零指數(shù)冪的法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則，特殊三角函數(shù)值，分母有理化等知識(shí)加以計(jì)算。 例8 化簡(jiǎn)：分析：這

11、道題隱含著a0是解此題的關(guān)鍵，而a0時(shí)，|a|a，這一點(diǎn)是該題錯(cuò)誤的根本原因，另外，在化簡(jiǎn)時(shí)，注意計(jì)算步驟要嚴(yán)謹(jǐn)。解：原式aa2（）（a）a 例9 若|a|3，ab0，則ab 分析：本題主要是運(yùn)用絕對(duì)值的意義、二次根式成立的條件等數(shù)學(xué)知識(shí)。解：因?yàn)閨a|3 所以 a3 或a3 b4 又因?yàn)閍b0所a3，b4所以ab7拓展：此類命題拓展的思路是將絕對(duì)值、方根、代數(shù)式的化簡(jiǎn)綜合構(gòu)建考題。如計(jì)算：（1）當(dāng)時(shí)， 。（2）若互為相反數(shù)，則a2006a2007 。 例10 已知：值解：因?yàn)閤所以x2 例11 給出下列算式：3212881523216827252248392723284觀察上面一系列等式，你

12、能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？用代數(shù)式來表示這個(gè)規(guī)律。解：（2n1）2（2n1）28n （n取正整數(shù)）預(yù)測(cè)：本題以列代數(shù)式為載體，體現(xiàn)了用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)明性和普遍性，蘊(yùn)含著一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔的美。同時(shí)可考查觀察能力和抽象概括能力，滲透著從特殊到一般的辯證關(guān)系。該題是通過觀察給出的運(yùn)算，找到反映其規(guī)律的表達(dá)式。這是中考中的熱點(diǎn)問題，此類問題不僅考查對(duì)知識(shí)的掌握，同時(shí)考查觀察分析的能力。 【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）一. 選擇題1. 下列說法正確的是（）A. 無限小數(shù)都是無理數(shù)B. 無理數(shù)都是無限小數(shù)C. 帶根號(hào)的數(shù)都是無理數(shù)D. 不帶根號(hào)的數(shù)一定不是無理數(shù)。2. 和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A. 整數(shù) B.

13、 有理數(shù) C. 無理數(shù) D. 實(shí)數(shù)3. 若2a與1a互為相反數(shù)，則a等于（）A. 1 B. 1 C. D.4. 當(dāng)a時(shí)，實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A. 原點(diǎn)右側(cè) B. 原點(diǎn)左側(cè)C. 原點(diǎn)或原點(diǎn)的右側(cè) D. 原點(diǎn)或原點(diǎn)的左側(cè)5. 代數(shù)式的所有可能的值有（）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 無數(shù)個(gè)6. 下列命題中：（1）幾個(gè)有理數(shù)相乘，如果負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則積必為負(fù)；（2）兩數(shù)之積為1，那么這兩數(shù)都是1或都是1；（3）兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，積為負(fù)數(shù)，則兩數(shù)異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值較大；（4）一個(gè)實(shí)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，那么這個(gè)實(shí)數(shù)一定大于零，其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C.

14、 3個(gè) D. 4個(gè) 二. 填空題7. 0的相反數(shù)是，3的相反數(shù)是，的相反數(shù)是；的絕對(duì)值是，0的絕對(duì)值是，的倒數(shù)是8. 把下列語(yǔ)句譯成式子：（1）a是負(fù)數(shù) （2）a、b兩數(shù)異號(hào) （3）a、b互為相反數(shù) （4）a、b互為倒數(shù) （5）x與y的平方和是非負(fù)數(shù) （6）c、d兩數(shù)中至少有一個(gè)為零 （7）a、b兩數(shù)均不為0 9. 數(shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)1，若AB3，則點(diǎn)B所表示的數(shù)為 10. 2006年底國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布我國(guó)總?cè)丝谌f(wàn)人，如果以億為單位保留兩位小數(shù)，可以寫成約為 億人。11. 若（x1）x21，則x的值是 。12. 我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽，是第一個(gè)找到計(jì)算圓周率方法的人，他求出的近似值是3.1416，如果取3.142是精確到位，它有個(gè)有效數(shù)字，分別是。13. 我國(guó)的國(guó)土面積約為平方千米，用科學(xué)記數(shù)法表示為平方千米。14. 若n為自然數(shù)時(shí)，（1）2n1（1）2n .15. 已知：x|4，y2且x0,y0，則xy。16. 若a，b滿足，則的值是 三. 實(shí)驗(yàn)、操作題17. 數(shù)軸上作出表示，的點(diǎn)。 四. 解答題18. 已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為，一邊長(zhǎng)為，且（2）2920 。求它的周長(zhǎng)。19. 若3，5為三角形三邊，化簡(jiǎn)：20. 已知x、y是實(shí)數(shù)【試題答案】1. B 2. D 3. B 4. D 5. A 6. C7