大一上學(xué)期(第一學(xué)期)高數(shù)期末考試題(有答案)詳解

1、3.若F f (x) (A) (B) (C) 大一上學(xué)期高數(shù)期末考試 、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1 設(shè) f ( x) cos x (x sin x ),則在 x 0處有( ). (A) f(0) 2(B) f(0)1 (C) f(0)0(D) f(X)不可導(dǎo). c 設(shè)(x)1 2. 1 X，(x) 3 33 x，則當(dāng) x1時(shí)( X ) (A)(x)與 (x)是同階無窮小，但不是等價(jià)無窮小； (B )(X)與(X) 是等價(jià)無窮??； (C)(X)是比(x)高階的無窮??；(D)(X)是比(x)高階的 無窮小. X (X)0 (2t x)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(

2、1,1) 二階可導(dǎo)且 0，則(). 函數(shù)F(x)必在x 0處取得極大值； 函數(shù)F(x)必在x 0處取得極小值； (D) 函數(shù)F(x)在x 0處沒有極值，點(diǎn)(,F(0)也不是曲線y F(x)的拐點(diǎn)。 4 設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 2 2 XX (A) 2( B) 2 f (X) 1 2 0 f(t)dt ,則 f (x)( 5. 1 、填空題(本大題有4小題，每小題 2 lim (13x)辦 x 0 / (D)x 2. 4分，共16分) 6. 已知co空是f(X)的一個(gè)原函數(shù) X I rcosx 則 f(x) d x x 7. lim n 1 2 (cos2 n n cos3 ) n 2 x

3、arcsin x 1 v1 2 二、解答題 9. 設(shè)函數(shù)y 求1 10. 1 dx x2 8. (本大題有 y(x)由方程 7 X 亍dx. x(1 x7) 5小題，每小題8分，共40 分) ex y sin(xy) 1 確定，求 y (x)以及 y (0). 函數(shù)F(x)在x 0處沒有極值，但點(diǎn)(0,F(0)為曲線y F(x)的拐點(diǎn)； 11. 12. 13. 設(shè) f (x) xe 2 x ， 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù), g(x)并討論g(x)在x g(x) 0 x 1 1 f (xt)dt 0 3 f(x)dx. 求微分方程xy 2 y ，且x 0處的連續(xù)性. xlnx 滿足 y(1) lim 0

4、 空A x ，A為常數(shù).求 1 9的解. 四、解答題(本大題10分) 14. 已知上半平面內(nèi)一曲線 y y(x) (x 0)，過點(diǎn)(01)，且曲線上任一點(diǎn) M(X0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線x X。所圍成 面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程. 五、解答題(本大題10分) 15. 過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y ln x的切線，該切線與曲線y ln x及x軸圍 成平面圖形D. (1)求D的面積A ； (2)求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V. 六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分) 16. 設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的q 0，

5、1， q1 f (x) d x q f (x)dx 00 f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0 17. 設(shè)函數(shù)f(x)在0，上連續(xù)，且0 證明：在0，內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1，2，使f( 1) f ( 2)0. (提 x F(x) f(x)dx 示：設(shè)0 解答 一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 5. 1 ,COSX2 .6.2(COS) c .7. 三、解答題(本大題有5小題，每小題 2.8.3 8分，共40分) 9.解：方程兩邊求導(dǎo) x y e (1 y) cos(xy

6、)(xy y) 0 y(x) ex y ycos(xy) ex y x cos(xy) 0y(0) 10.解： u 7 x 6 7x dx 原式 1 (1 u). du 7 u(1 u) 1 7仲 |u| 2ln |u 1 , |x7 ,2,- ln I ln |1 1|) du 7 x7 x 0, y 1 0 3 11.解: 3 f(x)dx 0 3xd( xe xdx x2 dx 12.解: x xe 0 1 (x 1)2dx 0 0 3- cos2 d (令 x 2 1 sin ) -2e3 4 由 f() g(0) x xt g(x) f (xt )dt (u)du (x 0) g(x

7、) g(0) x xf (x) f (u)du 0 2 x x f(u)du 0 (x 0) lim x 0 f(x) 2x xf(x) 100 g(x) xm0 lim x 0 x f (u)du 0 2 x A 2 , g(x)在 x 0處連續(xù)。 dy 13.解:dx 2 -y x -dx x In y e xln 3 1 y(1)-,c 9 -dx e x In xdx Cx 2 xln 3 四、解答題（本大題10分） C) 9 14解：由已知且y 將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得 特征方程：r2 r 2 x x 2 yd x y y 2y y 解出特征根: 1, 2. 其通解為y C1e C2e2

8、x 代入初始條件y() 故所求曲線方程為： 五、解答題(本大題1分) ()1，得 2 x y 3e C1 2x 15解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為 (x,ln x) 由于切線過原點(diǎn)，解出x 1 (ey A 則平面圖形面積 e，從而切線方程為: 1 ey)dy -e 1 y ，切線方程： 1 y x e In x 1 (x x) x (2)三角形繞直線 曲線y 為V In x D繞直線 六、證明題 x=e一周所得圓錐體體積記為 與x軸及直線 1 V2 (e 16.證明： q (1 q) f(x)d x 1 , q 2 q,1 q(1 V1,則 x = e所圍成的圖形繞直線x= e一周所得旋轉(zhuǎn)體體

9、積 ey)2dy V V1 V2 x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 (本大題有 q f(x)dx 2小題，每小題4分，共12 分) 1 q f (x)dx 2 嚴(yán) 12e 3) q f (x) d x q( f (x) d x 1 f (x)dx) q 1 q f(x)dx q q) f( i) q(1 q) f( 2) 1) f ( 2) 故有： q f (x) d x f(x)dx 證畢。 F(x) , 證：構(gòu)造輔助函數(shù): 上可導(dǎo)。F (x) 。其滿足在，上連續(xù)，在(，) f(x)，且 F() F() 17. x 0 f(x)cosxdx cosxdF (x) F(x)cosx|sinx F(x)dx 由題設(shè)，有 0000, F (x)