第七章現(xiàn)代譜估計電子教案

1、第七章 現(xiàn)代譜估計經(jīng)典譜估計以傅立葉變換為基礎(chǔ)，具有計算效率高的優(yōu)點，但是由于將未觀測數(shù)據(jù)認為0和數(shù)據(jù)加窗，具有頻率分辨率低、旁瓣泄漏等嚴重的缺陷。為此，近幾年來，在提高功率譜估計的分辨率方面提出了很多新的方法。以1967年burg提出的最大熵譜分析法為代表的現(xiàn)代譜估計法，以參數(shù)模型為基礎(chǔ)，不認為在觀察到的n個數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)全為零。因此克服了經(jīng)典譜估計法的缺點，提高了譜估計的分辨率。后來發(fā)現(xiàn)線性預(yù)測自回歸模型法(簡稱ar模型法)與burg的最大熵譜分析法是等價的，它們都可歸結(jié)為通過yule-walker方程求解自回歸模型的系數(shù)問題。目前常用的求自回歸模型系數(shù)的算法有三種：為levinson遞推

2、算法；為burg遞推算法；為正反向線性預(yù)測最小二乘算法。除了最大熵譜分析法(包括線性預(yù)測ar模型法)外近年來出現(xiàn)了許多適用于不同情況的提高譜估計分辨率的新方法，如模型法中還有滑動平均(ma)模型法與自回歸滑動平均(arma)模型法，另外還有pisarenko諧波分解法，prony提取極點法，prony譜線分解法以及capon最大似然法等等。本章主要討論最大熵譜分析法(包括線性預(yù)測ar模型法)，它是目前用得最多的一種高分辨率的譜估計方法。參數(shù)模型估計法就是根據(jù)已觀察到的數(shù)據(jù)，選擇一個正確的模型，認為x(n)是白噪聲通過此模型產(chǎn)生的，這樣就不必認為n個以外的數(shù)據(jù)全為零了。這就有可能得到比較好的估計

3、。這種方法分以下三個步驟進行。三個處理步驟為1 確定或選擇一個合適的模型依賴于對所研究隨機過程進行理論分析和實驗研究；2 根據(jù)觀測數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)涉及各種算法的研究；3 由模型參數(shù)計算功率譜。參數(shù)模型譜估計法的關(guān)鍵問題是 ：模型選擇問題（ar， ma ，arma）和參數(shù)確定方法（導(dǎo)致產(chǎn)生了各種算法）7.1 自回歸模型譜估計 7.1.1 建立模型 在實際中我們所遇到的隨機過程，常?？偸强梢杂靡粋€具有有理分式的傳遞函數(shù)的模型來很好地表示它，因此可以用一個線性差分方程作為產(chǎn)生隨機序列x(n)的系統(tǒng)的模型： （7.1）這里表示白色噪聲，下圖所示為離散隨機信號x(n)的有理傳輸函數(shù)模型，輸入為零均值、方

4、差為的白噪聲序列。w(n)x(n)將上式(7.1)變換到z域則有該模型的傳遞函數(shù)為：(7.2)其中 (7.3)式中ak為自回歸系數(shù)，稱為ar系數(shù)；bk為滑動平均系數(shù)，稱為ma系數(shù)。當輸入的白噪聲的功率譜密度為時，輸出的功率譜密度為(7.4)將代入上式得(7.5)如果能研究各ak及bl就可求得，于是，求功率譜的實質(zhì)變?yōu)榇_定系統(tǒng)參數(shù)的問題。 7.1.2 三種模型ar模型設(shè)，并不會影響式(7.1)與式(7.2)的一般性。如果除b0=1外的所有bl均為零。則式(7.1)成為：(7.6)式(7.6)的形式被稱為p階自回歸模型簡稱ar(autoregressive)模型。將式(7.6)進行z變換，可得ar

5、模型的傳遞函數(shù)為 (7.7)自回歸模型的h(z)只有極點，沒有除原點以外的零點，如圖7.1所示。因此又稱為全極點模型。當我們采用自回歸模型時，式(7.5)成為(7.8)此時，只要我們能求得所有ak參量，就可求得。圖7.1 自回歸模型ma模型如果式(7.1)中除a0=1的所有ak均為零，則式(7.1)成為(7.9)式(7.9)的形式稱為q階滑動平均模型，簡稱ma(moving average)模型。ma模型的傳遞函數(shù)為（b0=1）(7.10)ma模型的h(z)只有零點沒有除原點以外的極點，因此又稱為全零點模型。當我們用ma模型時，式(7.5)成為(7.11)此時，只要我們能求得與所有的bl參量，

6、就可求得。arma模型 當均不完全為零時的模型稱為arma模型，即極點零點模型。式(7.1)和式(7.2)分別表示了arma模型的差分方程與傳遞函數(shù)。由以上的討論可見，用模型法作功率譜估計，實際上要解決的是模型的參數(shù)估計問題。7.1.3 word分解定理wold分解定理為我們對模型的選擇以及以上三種模型之間的關(guān)系提供了理論基礎(chǔ)。 wold分解定理告訴我們：任何一個有限方差的平穩(wěn)arma過程可以分為完全隨機的部分和確定的部分。推論：任何有限方差的arma或ma平移過程可以用可以是無限階的ar模型表達；同樣，任何arma或ar模型可以用可能是無限階的ma模型表示。因此，如果在這三個模型中選了一個與

7、信號不匹配的模型，利用高的階數(shù)仍然可以得到好的逼近。由于對ar模型參數(shù)的估計，如下面將要看到的，得到的是線性方程。故ar模型比arma以及ma模型有在計算上的優(yōu)點，arma或ma模型一般需要解一組非線性方程。同時，實際的物理系統(tǒng)往往是全極點系統(tǒng)。所以，ar模型得到了深入的研究和廣泛的應(yīng)用。研究有理分式傳遞函數(shù)的模型，主要研究ar模型。本節(jié)也只討論ar模型。7.2 ar模型的yule-walker方程下面我們就集中討論ar模型的譜估計法。已知自相關(guān)函數(shù)yule-walker方程求解： ar模型的階數(shù)p，以及p個ar參數(shù)a(i)和激勵源方差。7.2.1 yule-walker方程的推導(dǎo) 由上面的討

8、論已經(jīng)得到有關(guān)ar模型的如下幾個方程：(7.12)（7.12a）為了得到必須求得參數(shù)a1, a2, a3, , ap及。為此，讓我們來推導(dǎo)這些ar參數(shù)與之間的關(guān)系。 按定義將式(7.12)的關(guān)系代入上式，得 (7.13)按式(7.12)，x(n)只與相關(guān)而與無關(guān)，故式(7.13)中的第二項為代入式(7.13)得：或 （7.14）將m=1，p分別代入式(7.14)并寫成矩陣形式，得再利用自相關(guān)函數(shù)的偶對稱性，則有： （7.15）式（7.14）及式（7.15）稱為ar模型的yulewalker方程。yulewalker方程表明：只要已知輸出平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，就能求出ar模型中的參數(shù)ak及，

9、并且需要的觀測數(shù)據(jù)較少。n個樣值x(0),x(1)x(n)ar模型譜估計流程圖：自相關(guān)函數(shù)r(0),r(1).r(n)ar模型參數(shù)和a1,a2，ap激勵源方差功率譜密度7.2.2 yule-walker方程的求解方法由以后的討論可以看到，最大熵譜估計法與線性預(yù)測譜估計法都與ar譜估計法等價，它們都可歸結(jié)為求解yule-walker方程中的各ar系統(tǒng)ak(k =1，2，p)的問題，但是直接從yule-walker方程式求解參數(shù)ak(k =1，2，n)需要作求逆矩陣的運算，當n大時，運算量很大（其運算量達到p的三次方），并且每當模型階數(shù)增加一階，矩陣增大一維，需要全部重新計算。levinson-d

10、urbin算法對yule-walker方程提供了一個高效率的解法。該算法是按照階次進行遞推，運算量為p的二次方。下面介紹levinsondurbin遞推算法。此算法的關(guān)鍵就是要推導(dǎo)出由第k階ar模型的參數(shù)計算第k+1階ar模型ar(k+1)參數(shù)的迭代計算公式。首先以ar(0)和ar(1)模型參數(shù)作為初始條件，計算ar(2)模型參數(shù)，然后根據(jù)這些參數(shù)計算ar(3)模型參數(shù)，等等，一直到計算出ar(p)模型參數(shù)為止。即：依次求得。注意，附加的a的第一個下標是指ar模型的階數(shù)，最后p階的解即是所要求的解。那么，以一階ar模型(求一階參數(shù)a11及)開始，按式(7.15)一階ar模型的yule-walk

11、er矩陣方程應(yīng)為從這個矩陣方程可解a11與，分別為(7.16)(7.17)再從二階ar模型的矩陣方程：解得a22，a21，分別為(7.18) (7.19)(7.20)以此類推得遞推公式：(7.21)(7.22)(7.23)于是，當我們從式(7.16)與式(7.17)得到初始的a11與的數(shù)據(jù)以及各，就可按式(7.21)，(7.22)，(7.23)依次遞推出各階的akk，aki，。從式(7.23)有，一般來講階數(shù)預(yù)先是不知道的，當我們遞推到第k階，滿足所允許的值，就可選階數(shù)p=k。實際上，這里的就是誤差功率（后面章節(jié)有證明）。小代表均方誤差小。如果信號的正確模型是p階的ar模型，則應(yīng)有(7.24)

12、這說明已達最小均方誤差值。 由式(7.23)可見，由于，對于任何k必有(7.25)以上成為反射系數(shù)。將上述估計的模型參數(shù)代入功率譜估計式中，即可計算功率譜估計值為：綜上，利用l-d算法進行ar模型參數(shù)譜估計算法流程如下。給定n個觀測數(shù)據(jù)xn(n),n=0,1,2,n-1，ar模型參數(shù)估計方法為：i) 由xn(n)估計出自相關(guān)函數(shù)值，m=0，1，p；ii) 利用levinson-durbin算法根據(jù)計算ar(p)模型參數(shù)的估計值。具體步驟為：令p=1，計算a11及；接著，令p=p+1，則p=2，計算app，api，；iii) 直到m=p或，滿足終止規(guī)則，流程結(jié)束；iv) 計算估計值。matlab

13、里有專門實現(xiàn)l-d算法的函數(shù)可估計ar模型參數(shù)：a e=aryule(x,p),a為模型參數(shù)，e為噪聲方差。例7.1 已知實數(shù)據(jù)序列的自相關(guān)為：。用levinson-durbin遞推算法求ar模型的參量：。解：7.2.3 ar模型階的確定可以證明式(7.25)正是的所有極點均在單位圓內(nèi)的(即穩(wěn)定性的)充分必要條件，同時它也是自相關(guān)矩陣為正定矩陣的充分必要條件。另外，由7.2.2分析可知，激勵信號的均方誤差隨著階數(shù)的增加而遞減。所以，由于ar模型具有以上性質(zhì)，故具有穩(wěn)定性。關(guān)于ar模型，還需選擇一個合適的階。如果階太低，功率譜平滑的太厲害，平滑后的譜分辨不出真實譜中的兩個峰；階太高，可以提高譜估

14、計的分辨率，但會出現(xiàn)許多虛假譜峰或譜的細節(jié)。圖7.2為階數(shù)太高和太低的譜估計結(jié)果。圖中加粗黑色實線為真實譜，點劃線為虛假譜。圖7.2 階數(shù)太高和太低所得譜估計結(jié)果圖 因此，ar模型譜估計方法，既要估計模型參數(shù)，又要估計模型的階，在這樣復(fù)雜的情況下，如何評價各種譜估計的性能，目前尚無定論。下面討論幾種常見的ar模型階的確定方法。一、確定ar模型的階的方法一： 一般的觀察方法，簡單而直觀u 不斷增加階數(shù)，觀察預(yù)測誤差功率，當它下降到最小時，對應(yīng)的階數(shù)選為模型的階；但是，預(yù)測誤差功率（即ar模型激勵源的方差）是隨著階數(shù)的增加而單調(diào)下降的，很難確定降到什么時候是最?。涣硪环矫?，隨階數(shù)增加，模型參數(shù)數(shù)目

15、增加，譜估計的方差變大，出現(xiàn)了虛假譜峰，故一般不能依靠觀察預(yù)測誤差功率下降來確定模型的階數(shù)。u 不斷增加階數(shù)，觀察各階模型預(yù)測誤差序列的周期圖，最接近平坦（白色譜）時對應(yīng)于最佳的階數(shù)。二、依據(jù)不同的誤差準則來確定模型的階數(shù)。準則1：fpe(最終預(yù)測誤差）n為觀測數(shù)據(jù)長度，為擬合殘差方差，隨階增加而減小，而隨著階數(shù)增大而增大。fpe將有一個最小值。fpe的最小值對應(yīng)的階數(shù)為最后確定的階。 準則2、akaike（aic)信息準則（適用于ar和ma過程）對于arma過程，則aic準則定義為 i為模型的階，為模型誤差，一般隨著階的增加而減小，而式中第二項隨階次增加而增加。aic試圖解決減小模型誤差和保

16、持較少的模型參數(shù)數(shù)目之間的矛盾。aic定義式有一個最小值，這個最小值對應(yīng)的階就是要選擇的階。此外，還有cat等準則 。通過實驗發(fā)現(xiàn)：在將這些準則用于估計ar模型的階，對于實際數(shù)據(jù)，所得到的譜估計結(jié)果常常無太大區(qū)別。對于短數(shù)據(jù)，以上準則都不理想。在實際應(yīng)用中，應(yīng)該參照實驗結(jié)果對模型的階加以適當調(diào)整。7.3 線性預(yù)測譜估計假設(shè)x(n)是一個n階ar過程，現(xiàn)在時刻x(n)的值可以由過去n個時刻的取樣值的加權(quán)來預(yù)測，加權(quán)系數(shù)為-ak，那么n階線性預(yù)測器：可看作用序列x(n-n),x(n-n-1) , ,x(n-1)激勵一個沖擊響應(yīng)為-ak的線性時不變系統(tǒng)的輸出值。x(n-n),x(n-n-1) , ,

17、x(n-1)-ak 線性預(yù)測誤差為(7.26)將上式進行z變換，得于是(7.27)由式(7.27)可見，是以x(n)作為輸入信號，誤差e(n)作為輸出信號的濾波器的傳遞函數(shù)，該濾波器稱為預(yù)測誤差濾波器。將式(7.27)與式(7.12a)比較，當apk按最小均方誤差準則求得時，有apk=ak ，故有同時，預(yù)測誤差功率為，確定系數(shù)apk的一個原則是使預(yù)測誤差功率最小。根據(jù)這一原則推導(dǎo)出的預(yù)測器系數(shù)-ak與x(n)的自相關(guān)序列rxx(m)之間的關(guān)系為（證明過程略）：且有：，其中將兩個關(guān)系式寫成矩陣展開式分別為：將(7.281)和(7.282)兩個關(guān)系式合并為一個式子：將(7.283)寫成矩陣展開形式

18、為：可以看出：n階線性預(yù)測器的系數(shù)ak與ar模型中的ar系數(shù)相等，即；預(yù)測誤差概率最小值pmin與ar模型中的輸入噪聲方差相等，即。所以，線性預(yù)測譜估計與ar譜估計是等效的。7.4 最大熵譜估計（mese， maximum entropy spectral estimation）最大熵譜估計法簡稱為mese(maximun entropy spectral estimation)法。 7.4.1 按最大熵外推自相關(guān)函數(shù)在前面一章中我們已經(jīng)討論到經(jīng)典法用已知的有限個(n個)自相關(guān)函數(shù)序列的估計求功率譜估計時，是將此有限個估值以外的自相關(guān)序列的數(shù)據(jù)認為是零，因而得不到好的分辨率。j.p.burg于

19、1967年提出的mese法與此不同，它是基于將已知的有限長度的自相關(guān)序列以外的數(shù)據(jù)用外推法求得，而不是把它們當作是零。如果假設(shè)已知問題在于按什么原則外推。在保證自相關(guān)函數(shù)的toeplitz矩陣是正定的情況下有無窮多種外推法，burg認為外推的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)使時間序列表現(xiàn)出最大熵，因此把burg提出的這種方法稱之為最大熵譜估計法。我們知道所謂熵是代表一種不確定性的度量，最大熵為最大不確定度，其平均信息量最大，事件越不容易發(fā)生，即它的時間序列最具隨機性，而它的psd應(yīng)是最平滑(最白色)。按shannon對熵的定義，當x的取值為離散時，熵h定義為(7.29)這里pi為出現(xiàn)狀態(tài)i的概率。當x的取值為連續(xù)

20、時，熵被定義為(7.30)這里p(x)為概率密度函數(shù)。當我們處理用時間序列傳遞信息的問題時，概率密度應(yīng)由聯(lián)合概率密度函數(shù)代替。設(shè)為零均值，高斯分布的隨機過程。一維高斯分布為(7.31)其中(7.32)n維高斯分布為(7.33)其中 (7.34)這里(7.35)下面我們先求一維高斯分布的信號的熵，然后推廣到n維。為此將式(5.78)及式(5.79)代入式(5.77)得 因為代入上式得到一維高斯分布的熵為(7.36)同理可求得n維高斯分布信號的熵為(7.37)式中代表矩陣的行列式，要使熵h最大，就要求最大。 如果已知現(xiàn)欲求得。由于自相關(guān)函數(shù)的矩陣必是正定的，故矩陣的行列必大于零，即(7.38)為了

21、得到最大熵，要求最大，為此用對上式微分，使，求得使最大的，滿足下列方程：(7.39)上式是的一次函數(shù)，由此式可解出。于是又可以此為已知，再用類似方法求得，以此類推。這樣每步都按最大熵的原則外推后一個自相關(guān)序列的值，可以外推到任意多個而不必認為它們是零。這就是最大熵譜估計法的基本思想。7.4.2 mese與ar譜估計等效可以證明這種按最大熵外推自相關(guān)函數(shù)的結(jié)果與ar模型是等價的。所以，上式(7.39)實質(zhì)為yulerwalker方程。為了證明這一點，將式(7.14)，即中的m分別用1, 2, , n+1代入，并利用自相關(guān)的偶對稱性，寫成下列方程組：(7.40)(7.41)如果我們從式(7.40)

22、的n個線性方程中解得的n個ar參數(shù)a1, a2, an值，代入式(7.41)并將其整理成行列式的形式，即可得(7.42)注意，從ar模型得到的式(7.42)與按最大熵外推得到的式(7.39)完全相同，這就證明了當x(n)為高斯分布時最大熵譜估計法與ar模型法是等價的。事實上，當x(n)是高斯分布帶限(為其最高頻率)時間序列，且其功率譜密度滿足時，則可以從式(5.78)出發(fā)證明其熵正比于在必須與已知的自相關(guān)函數(shù)的n+1個值符合的約束條件下，即的約束條件下，可以利用變分法證明使熵最大的功率譜為其中與an由下列矩陣方程確定(7.43)式(7.43)就是yule-walker方程，因此這就直接說明了最

23、大熵譜估計與ar模型等價的。7.5 預(yù)測誤差格型濾波器及伯格(burg)遞推算法 用levinson遞推算法求解yule-walker方程中ar系數(shù)雖然可以簡化計算，但需要知道自相關(guān)序列為階數(shù)）。實際上自相關(guān)序列只能從時間序列x(n)的限個數(shù)據(jù)得到它的估計值。當時間序列短時，的估計誤差很大，這將對ar參數(shù)ak(k =1，2，p)的計算引入很大誤差，導(dǎo)致功率譜估計出現(xiàn)譜線分裂與譜峰頻率偏移等現(xiàn)象。j.b.burg在1967年的“最大熵譜分析”一文中提出最大熵譜估計法時只說明了如何從已知的n個外推n個以外的值從而可得到高分辨率的功率譜，但該文并未涉及如何從有限時間序列來得到這個n個的問題。隨后，b

24、urg又于另一篇文章中提出一種直接由時間序列計算ar模型參數(shù)的方法，被人們稱為burg算法，這種算法與預(yù)測誤差濾波器有密切關(guān)系。它是在levinson關(guān)系式(7.22)的約束下，用使前向與后向預(yù)測誤差能量之和為最小的方法來求得各ak(k =1，2，p)的值。 7.5.1 預(yù)測誤差格型濾波器按線性預(yù)測理論，已知n個觀測數(shù)據(jù)x(1),x(2),x(n-1)，利用p階線性預(yù)測濾波器估計x(n)得 x (n)的估計值，可用x(n)的各過去值的加權(quán)之和表示，即(7.44)誤差e(n)，在這里用ep(n)表示(p為階數(shù))(7.45)ep(n)稱為線性預(yù)測器的前向誤差，因為是由x(n)以前的各數(shù)據(jù)：x(n-

25、1)，x(n-2)，x(n-p)加權(quán)之和得到的。由levinson關(guān)系式(7.22)可得(7.46)又令，這里的kp稱為部分相關(guān)系數(shù)(parcor)或反射系數(shù)。將這些關(guān)系代入式(7.45)得 (7.47)這里 所以(7.48)這里 (7.49)是由x(n-p)以后的各數(shù)據(jù)：加權(quán)之和得到的，故bp(n)稱為后向預(yù)測誤差。比較前向預(yù)測誤差方程(7.45)與后向預(yù)測誤差方程式(7.48)可見，它們具有相同的系數(shù)。 將式(7.46)代入式(7.48)，用證明式(7.47)：類似的方法，可以證明(7.50)按式(7.45)及式(7.48)，當p=0時有(7.51)式(7.47)與式(7.50)為前向及后

26、向預(yù)測誤差的遞推公式。由式(7.49)、(7.50)及(7.51)可得格型預(yù)測誤差濾波器，如圖5.10所示。圖5.10 格型預(yù)測誤差濾波器如果將式(7.45)進行z變換，得于是有(7.52)它是預(yù)測誤差濾波器的傳遞函數(shù)。因此線性預(yù)測誤差濾波器可以用格型結(jié)構(gòu)的fir濾波器實現(xiàn)(如圖5.10所示)。將式(7.45)與式(7.48)分別寫成展開形式，有(7.45)(7.48)比較上二式可見，后向預(yù)測誤差bp(n)的系數(shù)正九是前向預(yù)測誤差ep(n)的系數(shù)在次序上的逆轉(zhuǎn)。因此，如果我們將橫向結(jié)構(gòu)的預(yù)測誤差濾波器的輸入不是從第一級(最左端)，而是從末級(最右端)送入，如圖5.11所示，則輸出將不是前向誤差

27、，而是后向誤差，有圖5.11 后向預(yù)測誤差(7.49a) (7.49b) (7.49c)這里(7.50)如果我們令，于是，式(7.49c)成為(7.49d)而其中(7.51)將式(7.51)與式(7.44)比較可更清楚的看到，后向預(yù)測不是像前向預(yù)測那樣，用它以前的p個值的線性組合來預(yù)測它，而是用它以后的p個值的線性組合來預(yù)測它(即式(7.51)右邊k前的符號與式(7.44)右邊k前的符號相反)。前向預(yù)測誤差濾波器的傳遞函數(shù)為 (7.52)這里，它與he(z)是一對z變換對，因此，如果輸入序列，則輸出序列。 由式(7.49)可得后向預(yù)測誤差濾波器的傳遞函數(shù)(用hb(n)表示)(7.53)這里，它

28、與hb(z)是一對z變換對。將式(7.53)與式(7.52)比較顯然有(7.54)由式(7.54)可見，當z=z1是hb(z)的一個零點(或極點)時，則它也將是he(z-1)的一個零點(或極點)。因此1/z1將是he(z)的一個零點(或極點)。于是，如果he(z)是一個最小相移網(wǎng)絡(luò)，其零極點全部在單位圓內(nèi)，則hb(z)將是一個最大相移網(wǎng)絡(luò)，其零極點將全部在單位圓外。當時，he(z)將是穩(wěn)定的和最小相移的，而hb(z)將是穩(wěn)定的和最大相移的。全零點的格型預(yù)測誤差濾波器是itakura和saita于1971年首先提出的。burg雖然在1967年就提出了有關(guān)的方法，但他并沒有具體地把格型網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)和

29、他的最大熵技術(shù)等同起來，現(xiàn)在已經(jīng)知道itakura和burg的方法是更一般的格型概念的特例。格型結(jié)構(gòu)的fir濾波器與橫向結(jié)構(gòu)的比較有很多優(yōu)點。在數(shù)字濾波器中有二個重要問題：有限字長效應(yīng)的影響和參數(shù)值擾動對濾波器性能的敏感性。在這二點上格型結(jié)構(gòu)的濾波器都優(yōu)于橫向結(jié)構(gòu)的濾波器。由圖5.10可見，一個p階的格型預(yù)測誤差濾波器是由p級組成，而前面各級的輸出，正好依次是各低于p階的預(yù)測誤差濾波器的輸出。當濾波器各階輸出信號都滿足最小均方誤差時，并在輸入信號是平穩(wěn)的情況下，可以證明，格型預(yù)測誤差濾波器前后各級的輸出誤差之間的正交的。這種正交性導(dǎo)致前后各級之間的無耦性能(decoupleing proper

30、ty)，這種性能十分有用，它使全局最優(yōu)可以用各級局部最優(yōu)來實現(xiàn)。當用作自適應(yīng)濾波器時，各級可選擇不同的自適應(yīng)步長，使其收斂速度提高。7.5.1 burg遞推算法kp的確定 在實際應(yīng)用中，根據(jù)信號的有限個取樣值估計ar模型參數(shù)的方法，通常有自相關(guān)法、協(xié)方差法和burg遞推法。自相關(guān)法和協(xié)方差法都是直接估計ar參數(shù)，而burg法是先估計反射系數(shù)，然后利用levinson-durbin遞推算法由反射系數(shù)求得ar參數(shù)。burg遞推算法的優(yōu)點是不需要估計自相關(guān)函數(shù)，可以直接從已知的x(n)序列求得參數(shù)kp0另外，這種算法可保證滿足穩(wěn)定性的充要條件：。算法準則是前向均方誤差和后向均方誤差之和最小。 如果k

31、p按前向均方誤差最小的準則確定并用kep表示，則按式(7.47)令即所以(7.55) 如果kp按后向均方誤差最小的準則確定并用kbp表示，則按式(7.50)即所以(7.56)burg算法是以前向均方誤差與后向均方誤差之和最小為準則求得kp0令即所以(7.57)對于平穩(wěn)隨機過程，集合平均可用時間平均代替，因此上式可寫成：(7.58)由式(7.52)、(7.53)、(7.54)不難看出(7.59)如果已知x(n)為有限長序列x0，x1，xn-1，(即x(0)，x(1)，x(n-1)，當p=1時，則按式(7.58)可得待添加的隱藏文字內(nèi)容2(7.60)而按式(7.47)及(7.50)可得(7.61)

32、 (7.62)將e1(n)及b1(n)代入式(7.58)，又可得(7.63)再代入式(7.47)及(7.50)又可得e2(n)及b2(n)： 這里(見式(7.46) 再將e2(n)與b2(n)代入式(7.58)又可求得k3，將k3與e2(n)及b2(n)代入式(7.47)與(7.50)又可求得e3(n)與b3(n)以此類推，可直接從時間序列x(n)求得各階的kp以及前向與后向誤差ep(n)與bp(n)。將各kp(=app)代入式(7.46)又可求得各apk。于是將這些求得的ar系數(shù)代入式(7.8)(其中)即可求得功率譜的估計值。注意，為了使式(7.58)求和的x(n)值不超出已知的n個x(n)

33、(x0，x1，xn-1)的范圍，在p=1時求和的上下限應(yīng)為n=1到n-1(見式(7.60)，在p=2時求和的上下限應(yīng)從n=2開始到n-1(見式(7.63)，p階時的n應(yīng)取(5.128)burg遞推算法，對于短的時間序列x(n)仍能得到較正確的估計，因此得到普遍應(yīng)用。但burg算法受levinson關(guān)系式(7.46)的約束，(仍應(yīng)用了自相關(guān)矩陣的toeplitz性質(zhì)，實際上只有開始無終的平穩(wěn)隨機序列才有這種性質(zhì))，因此不能完全克服levinson算法中的缺點，仍存在某些譜線分裂與頻率偏移現(xiàn)象。綜上，burg法估計ar(p)模型參數(shù)的具體步驟為：1、確定初始條件：2、按照公式 ， 計算kp。3、按

34、照公式和，計算ep(n)和bp(n)。4、計算均方誤差：。5、p=p+1。6、重復(fù)第25步，直至滿足條件為止。例7-2、設(shè)n=5的數(shù)據(jù)記錄為x(0)=1,x(1)=2,x(2)=3,x(3)=4,x(4)=5,ar模型的階次p=3,試用相關(guān)函數(shù)法確定ar參量及預(yù)測值。 .解：先由數(shù)據(jù)求自相關(guān)函數(shù)式： 用levinson-durbin遞推算法求ar模型的參量分別是：根據(jù)所得的ar(3)參量，預(yù)測值：若使用的是二階線性預(yù)測器，有例51所得的結(jié)果，則可分別由前向與后向預(yù)測得到如下： 例7-3、設(shè)仍利用例72中的記錄數(shù)據(jù)，試用伯格法求ar(2)的參量。解：用上述遞推公式，i=1時：e1(n)和b1(n) p=2時： 若使用此二階線性預(yù)測，可得： 算法比較 levinson-durbin burg算法 真實值：前向誤差功率 25.9090 3.0650：后向誤差功率 25.5403 0.17415 1.2700 0.8549 1.0000 2.89834.5825 5.0000從以上比較看出：顯然，伯格算法要比萊文森德賓算法優(yōu)越得多。短數(shù)據(jù)！例子：現(xiàn)代譜估計和經(jīng)典譜估計方法的比較。比較welch方法和bur