江蘇省南京市、鹽城市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試(1月)試題(附加題)

1、 南京市、鹽城市 2020 屆高三年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)附加題部分（本部分滿分 40 分，考試時(shí)間 30 分鐘）21選做題（在 a、b、c 三個(gè)小題中只能選做 2 題，每小題 10 分，計(jì) 20 分請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）a.（選修 4-2：矩陣與變換）3a=: + =13變換后得到圓c x2 y2 ，求實(shí)數(shù)a 的值.已知圓 經(jīng)矩陣 mc3 -2b（選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）r cosq 2rsinqr 4sin q=截得的弦為+= mab在極坐標(biāo)系中，直線被曲線，當(dāng) ab 是最長(zhǎng)弦時(shí)，求實(shí)數(shù)m 的值.c(選修 4-5：不等式選講）1 2 3已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足+ + =1a

2、 b ca + 2b + 3c，求 的最小值.1 必做題（第 22、23 題，每小題 10 分，計(jì) 20 分請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）22（本小題滿分 10 分）如圖，、aa bb是圓柱的兩條母線，、 分別經(jīng)過上下底面圓的圓心 、 ，a b ab o o11111是下底面與ab垂直的直徑，cdcd= 2 .（1）若= 3，求異面直線與 所成角的余弦值；aaac b d111p（2）若二面角 - 的大小為 ，求母線的長(zhǎng).aaa cd b113123（本小題滿分 10 分）2n (1- 2 ) = +a a x a x+ += + + + +a x2 ( n n )，記 s a a a設(shè)xa

3、 .ni2n*0122nn0242i=1（1）求 ；sn= -s c + s c - s c + + (-1) s c，求證：|t | 6n3 恒成立.（2）記t123nnn1n2n3nnnn附加題答案21.（a）解：設(shè)圓c 上一點(diǎn)(x, y)mc，經(jīng)矩陣 變換后得到圓 上一點(diǎn)(x, y)，3 xxa =所以，所以 3 -2 yy +ax3y = x，5 分3x - 2y = y: + =13又圓c x2 y2x y ，( + 3 ) + (3 - 2 ) =13，所以圓 的方程為 ax yc222 (a + 9)x + (6a -12)xy +13y =13化簡(jiǎn)得222， + 9 =132a

4、所以，解得6a - =120a = 2.10 分21.（b）解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸（單位長(zhǎng)度相同）建立平面直角坐標(biāo)系，r cosq 2rsinq= m，可得直角坐標(biāo)方程為 x + y - m = 0，2+由直線r 4sin qr 4 r s i qn2 =， 其 直 角 坐 標(biāo) 方 程 為=又 曲 線， 所 以x2 + (y - 2)2 = 4 ， 5 分r 4sin q 是以(0, 2)=所以曲線為圓心，2 為半徑的圓，為使直線被曲線（圓）截得的弦最長(zhǎng)，所以直線過圓心(0, 2)，ab0 +m2-=于m = 4 .是，解得10 分1 2 3+ + =1a b c1 4 9+

5、 + =1a 2b 3c21.（c）解：因，所以，1 4 9+ 2b + 3c = (a + 2b + 3c)( + + ) (1+ 2 + 3)2由柯西不等式得a，a 2b 3c即a + 2b + 3c 36 ， 5分149a 2b 3ca 2b 3c=a = b = c時(shí)取等號(hào)，解得a = b = c = 6，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)= b = c = 6時(shí)，a + 2b + 3c所以當(dāng)且僅當(dāng)a10 分取最小值 36. 22解：（1）以cd ，ab ，oo所在直線建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 -，o xyz1，所以 a(0,-1,0)，a (0,-1,3)，b (0,1,3)，由cd = 2 ，aa

6、= 3b(0,1,0) c(-1,0,0) d(1,0,0)， ， ，1113 ac = (-1,1,-3) b d = (1,-1,-3)從而所以，11-11+1(-1)+(-3)(-3)7cos=，1111(-1) +1 +(-3) 1 +(-1) +(-3)222222所 以 異 面 直 線與所 成 角 的 余 弦 值 為ac1b d17.4 分11(0,-1,m)， (0,1, ) ，b m（2）設(shè)= 0 ，則 aaa m111= (-1,1,-m) b d = (1,-1,-m) cd = (2,0,0)，所以 ac1，1設(shè)平面的一個(gè)法向量 = ( , , ) ，acd1n1x y

7、z111cd = x = 02n所以，11n ac = -x + y - mz = 011111所以 = 0 ，令 =1，則 = ，y mx1z11所以平面的一個(gè)法向量 = (0, ,1)，n macd11同理可得平面的一個(gè)法向量 = (0,- ,1) ，n mb cd12m(-m) +11+1 (- ) +112pcos =因?yàn)槎娼?- 的大小為 ，所以，a cd b31211m2m2223解得 =3或m=，m3p由 圖 形 可 知 當(dāng) 二 面 角m = 3注：用傳統(tǒng)方法也可，請(qǐng)參照評(píng)分.a cd b-的 大 小 為時(shí) ,311.10 分=1+ + + +得 a a aa ，= 02n23

8、解：（1）令 x0123= -1 a - a + a - a + - a + a = 3 + 3 + + 3 = (9 -1)令 x得122，nn201232n-12n4 322 a +(a +2a +n4)+ a( = 9-1兩式相加得，n023s = ( - 9.1 )3 分n4nt = -s c + s c - s c + + (-1) s c（2）123nnn1n2n3nnnn3= -9 c + 9 c -9 c + + (-1) 9 c -c + c -c + + (-1) c 112233nnn123n43nnnnnnnn= 9 c -9 c + 9 c -9 c + + (-1) 9 c -c -c + c -c + + (-1) c 00112233nnn0123nn43nnnnnnnnnn= 9 c -9 c + 9 c -9 c + + (-1) 9 c 00112233nnn43nnnnn= c (-9) + c (-9) + c (-9) + + c (-9) 001122nn43nnnn3= 1+ (-9) = (-8)nn447 分34要證|t | 6n3 ，即證8 6n3 ，只需證明8 n3 ，即證2 nn-1，nn-1n=1,22 n顯然成立；當(dāng) n當(dāng) n時(shí)