2011考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)講義

1、2010考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)講義第一章函數(shù)、極限、連續(xù)1.1函數(shù)（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義設(shè)d是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，如果有一個(gè)對應(yīng)規(guī)劃f，對每一個(gè)，都能對應(yīng)惟一的一個(gè)實(shí)數(shù)y，則這個(gè)對應(yīng)規(guī)劃f稱為定義在d上的一個(gè)函數(shù)，記以y=f(x)，稱x為函數(shù)的自變量，y為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，d稱為函數(shù)的定義域，并把實(shí)數(shù)集稱為函數(shù)的值域。2.分段函數(shù)如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個(gè)表達(dá)式表示，而要用兩上或兩個(gè)以上的表達(dá)式來表示。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。例如是一個(gè)分段函數(shù)，它有兩個(gè)分段點(diǎn)，x1和x1，它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不同，因此討論函數(shù)y=f(x)在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問題時(shí)

2、，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。3.隱函數(shù)形如y=f(x)有函數(shù)稱為顯函數(shù)，由方程f（x，y）=0確定的yy(x)稱為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是一個(gè)單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。4.反函數(shù)如果y=f(x)可以解出是一個(gè)函數(shù)（單值），則稱它為f(x)的反函數(shù)，記以。有時(shí)也用表示。二、基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)yc（常數(shù)）2.冪函數(shù) （常數(shù)）3.指數(shù)函數(shù) （a0，a1常數(shù)）（e2.7182，無理數(shù)）4.對數(shù)函數(shù) （a0，a1常數(shù)）常用對數(shù) 自然對數(shù) 5.三角函數(shù) 6.反三角函

3、數(shù) 基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖像非常重要，影響深遠(yuǎn)。例如以后經(jīng)常會(huì)用；等等，就需要對，的圖像很清晰。三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)設(shè)定義域u定義域x，值域u*如果，則是定義在x上的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量。2.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的用一個(gè)分析表達(dá)式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。四、函數(shù)的幾種性質(zhì)1.有界性：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x內(nèi)有定義，若存在正數(shù)m，使都有，則稱f(x)在x上是有界的。2.奇偶性：設(shè)區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對，都有，則稱在上是奇函數(shù)；若對，都有，則稱在上是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱。3.單調(diào)性：設(shè)在上有定義，若

4、對任意都有，則稱在上是單調(diào)增加的；若對任意都有，則稱在上是單調(diào)不減。（注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。）4.周期性：設(shè)在上有定義，如果存在常數(shù)，使得任意，都有，則稱是周期函數(shù)，稱為的周期。由此可見，周期函數(shù)有無窮多個(gè)周期，一般我們把其中的最小正周期稱為周期。（乙）典型例題一、求函數(shù)的定義域【例1】 求函數(shù)的定義域。解 要有定義，要有定義，因此，的定義域?yàn)椤纠?】 求的定義域。解 要有定義，和要有定義，因此，定義域?yàn)椤纠?】 設(shè)的定義域?yàn)?，求的定義域。解 要求，則， 當(dāng)時(shí)，則 當(dāng)時(shí)， 也即或【例4】 設(shè) 求的定義域，并求.解 的定義域?yàn)?，要求，則；要求，

5、則，于是的定義域?yàn)椤Ｓ侄?、求函?shù)的值域【例1】 求的值域。解 我們先求出反函數(shù)，它的定義域就是原來函數(shù)的值域。它的定義域，且所以原來函數(shù)的值域?yàn)?。三、求?fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式1.已知f(x)和g(x)，求fg(x).【例1】已知，求.解，（）于是，（）【例2】設(shè)，求.n重復(fù)合解，若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對正整數(shù)n，2.已知g(x)和fg(x)，求f(x).【例1】設(shè)，求f(x).解令，于是【例2】已知，且，求f(x).解令，因此，四、有關(guān)四種性質(zhì)【例1】設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）.（a）若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)為偶函數(shù)（b）若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)為奇函數(shù)（c）若f(x)為周期函數(shù)，

6、則f(x)為周期函數(shù)（d）若f(x)為單調(diào)函數(shù)，則f(x)為單調(diào)函數(shù)解 (b)不成立，反例(c)不成立，反例(d)不成立，反例(a)成立。證明 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)?！纠?】 求解 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， 因此是奇函數(shù)。于是 。【例3】 兩個(gè)周期函數(shù)之和是否仍是周期函數(shù)？解不一定（1）周期為4周期為64和6的最小公倍數(shù)為12是以12為周期的函數(shù)（2）周期為周期為2和2沒有最小公倍數(shù)不是周期函數(shù)（3） 周期為周期為雖然，不但都是周期函數(shù)，而且它們的周期有最小公倍數(shù)。但是，卻不是周期函數(shù)。（因?yàn)闆]有最小正周期。）【例4】 設(shè)，是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是（）(a) (b)(c)

7、 (d)解 ，單調(diào)減少于是xn時(shí)，就有.（2）任給，存在正整數(shù)x，當(dāng)xx時(shí)，就有.（3）任給，存在正整數(shù)x，當(dāng)xx時(shí)，就有.（4）任給，存在正整數(shù)x，當(dāng)|x|x時(shí)，就有.（5）任給，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，就有。（6）（用表示）任給，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，就有（7）（用表示）任給，存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，就有。其中稱為在處右極限值，稱為在處左極限值。有時(shí)我們用表示上述六類函數(shù)的極限，它具有的性質(zhì)，上述六類函數(shù)極限皆具有這種性質(zhì)。有時(shí)我們把，即數(shù)列極限也看作這種抽象的變量的極限的特例，以便于討論。2.極限的基本性質(zhì)定理1（極限的惟一性）設(shè)，則。定理2（極限的不等式性質(zhì)）設(shè)，若變化一定以后，總有，則反之，則變化一定以后

8、，有（注：當(dāng)情形也稱為極限的保號性）定理3（極限的局部有界性）設(shè)，則當(dāng)變化一定以后，有界的。定理4設(shè)，則（1）（2）（3）（4）（5）二、無窮小量1.無窮小量定義：若，則稱為無窮小量（注：無窮小量與的變化過程有關(guān)，當(dāng)時(shí)為無窮小量，而或其他時(shí)，不是無窮小量）2.無窮大量定義：任給，當(dāng)變化一定以后，總有，則稱為無窮大量，記。3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系：在的同一個(gè)變化過程中，若為無窮大量，則為無窮小量，若為無窮小量且，則為無窮大量。4.無窮小量與極限的關(guān)系 其中5.兩個(gè)無窮小量的比較設(shè)，且(1)，稱是比高階的無窮小量，記以稱是比低階的無窮小量，(2) ，稱與是同階無窮小量。(3)，稱與是等價(jià)無窮小

9、量，記以6.常見的等價(jià)無窮小量 當(dāng)時(shí)（為實(shí)常數(shù)）。7.無窮小量的重要性質(zhì)有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。三、求極限的方法1. 利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則2. 兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。（1）若（為正整數(shù)），又（為正整數(shù)）則存在且（2）若（為正整數(shù)），又（為正整數(shù)）則存在且準(zhǔn)則2 （夾逼定理）設(shè)若，則3.兩個(gè)重要公式公式1 公式2 ；4.用無窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小量代換5.用泰勒公式（比用等價(jià)無窮小量更深刻）當(dāng)時(shí)（為實(shí)常數(shù)）6.洛必達(dá)法則法則1設(shè)（1），（2）變化過程中，皆存在（3）（或）則 （或）(注：如果不存在且不是無窮大量情形，則不能得出不存在且不是無窮大量情形

10、)法則2設(shè)（1），（2）變化過程中，皆存在（3）（或）則（或）7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式：8.利用定積分定義求極限基本公式： 9.其他綜合方法10.求極限的反問題有關(guān)方法（乙）典型例題一、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限【例1】設(shè)，求解【例2】設(shè)，求.解特例：（1）求解例2中取，可知原式（2）【例3】求.解分子、分母用3n除之，原式（注：主要用當(dāng)時(shí)，）【例4】設(shè)l是正整數(shù)，求.解因此原式特例：（1）（l1）（2）（l2）【例6】設(shè)d0為常數(shù)，求.解原式特例： 【例7】求下列各極限（1）（2）解（1）解一原式解二原式解三用洛必達(dá)法則1原式（2）解一原式解二類似（1）中解二用等價(jià)無窮小量代換

11、解三類似（1）中解三用洛必達(dá)法則【例8】求下列極限（1）設(shè)，（2）解（1）分子分母都乘1-r，則原式（2）原式二、用兩個(gè)重要公式【例1】求。解 當(dāng)x=0時(shí)，原式=1當(dāng)x0時(shí)，原式=【例2】求下列極限（1）（2）解（1）（2）解一解二【例3】求下列極限（1）（2）（3）解（1）令則，當(dāng)時(shí)于是（2）令則，當(dāng)時(shí)，于是（3）三、用夾逼定理求極限【例1】 求.解令，則0xnyn，于是由夾逼定理可知，于是原極限為0.【例2】 求下列極限（1）（2）解（1）而由夾逼定理可知（2）而則夾逼定理可知四、用定積分定義求數(shù)列的極限【例1】求.分析如果還想用夾逼定理中方法來考慮而，由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們

12、改用定積分定義來考慮.解【例2】設(shè)，求.解原式五、用洛必達(dá)法則求極限1.“”型和“”型.【例1】求.解離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮原式.【例2】求.解若直接用“”型洛必達(dá)法則1，則得（不好辦了，分母x的次數(shù)反而增加），為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令，于是(“”型)2. “-”型和“0”型.【例1】求.解（“”型）【例2】求.解原式【例3】求.解原式(“”型)3. “1”型，“00”型和“0”型這類都是形式，可化為，而都是“0”型，按2的情形處理.【例1】求.解令，（見2中例3）【例2】求（前面已用重要公式的方法）.解令，（“”型），【例3】求.解令，六、用無窮小量重要性

13、質(zhì)和等價(jià)無窮小量代換【例1】求.解，根據(jù)有界變量乘無窮小量仍是無窮小量，可知原式0.【例2】求.解用等價(jià)無窮小量代換原式【例3】求.解這個(gè)極限雖是“”型，但分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛必達(dá)法則.原式七、用泰勒公式求極限【例1】求.解（當(dāng)時(shí)）原式八、用導(dǎo)數(shù)定義求極限【例1】設(shè)，求.解原式【例2】設(shè)曲線與在原點(diǎn)相切，求.解由題設(shè)可知，于是九、求遞歸數(shù)列的極限【例1】設(shè)，求.解（算術(shù)平均值幾何平均值）又，則因此單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準(zhǔn)則1，存在把兩邊取極限，得，a0，取，于是十、求分段函數(shù)的極限【例1】求下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限解【例2】求.解十一、求極限的反問題【例1】設(shè)，求

14、a和b.解 由題設(shè)可知，1+a+b=0再對極限用洛必達(dá)法則 【例2】設(shè)，求a和b.解把極限用洛必達(dá)法則原式左邊，如果，則極限值為0，今極限為1，則因此原式左邊由，得出a=4.1.3 連續(xù)(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量（初值為）趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量也趨近于0，即或則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)也可作如下定義。定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限值存在，且等于處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，此時(shí)有并且有即如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則在點(diǎn)處可以交換極限號和函數(shù)號的順序。定義3設(shè)函數(shù)，如果，則函數(shù)在

15、點(diǎn)處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)。由上述定義2可知，如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則在處既左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類1.函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義如果函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為的間斷點(diǎn)。2.函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（1）第一類間斷點(diǎn)設(shè)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，如果在間斷點(diǎn)處的左、右極限都存在，則稱是的第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。常見的第二類間斷點(diǎn)

16、有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。例如是的可去間斷點(diǎn)，是的跳躍間斷點(diǎn)，是的無窮間斷點(diǎn)，是的振蕩間斷點(diǎn)。三、初等函數(shù)的連續(xù)性1在區(qū)間連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零)，在區(qū)間仍是連續(xù)的。2由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。3在區(qū)間連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。4基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。5初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1（有界定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必在上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最

17、大值和最小值。其中最大值和最小值的定義如下：定義設(shè)是區(qū)間上某點(diǎn)處的函數(shù)值，如果對于區(qū)間上的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)在上的最大值，同樣可以定義最小值。定理3（介值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為和，則對于介于和之間的任何實(shí)數(shù)，在上至少存在一個(gè)，使得推論如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，則在內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理。思考題：什么情況下能保證推論中的是惟一的？(乙)典型例題一、討論函數(shù)的連續(xù)性由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的，所以，函數(shù)的連續(xù)性討論多是指分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函

18、數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。【例1】 討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。解因即有，故在點(diǎn)連續(xù).【例2】 討論函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.解因，因而不存在，故在點(diǎn)不連續(xù).二、已知函數(shù)的連續(xù)性求未知參數(shù)【例1】 設(shè)在處連續(xù)，求常數(shù)k.解，由連續(xù)性可知【例2】如果函數(shù)，在處連續(xù)，求常數(shù)p和q.解由在處連續(xù)性可知又由在處連續(xù)性可知.三、求函數(shù)的間斷點(diǎn)并確定其類型【例1】 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并確定其類型.解顯然是間斷點(diǎn)，由于所以是的可去間斷點(diǎn).【例2】 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并確定其類型.解所給函數(shù)在點(diǎn)，-2，2沒有定義，因此，-2，2是所給函數(shù)的間斷點(diǎn).下面確定它們的類型.對于，由于，故是第一類間斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn).對于，

19、由于故是第二類間斷點(diǎn)，且為無窮間斷點(diǎn).對于，由于故是第一類間斷點(diǎn)，且為可去間斷點(diǎn).若補(bǔ)充定義，則在連續(xù).【例3】設(shè)在內(nèi)有定義，且則下列結(jié)論中正確的是（）(a) 必是的第一類間斷點(diǎn)(b) 必是的第二類間斷點(diǎn)(c) 必是的連續(xù)點(diǎn)(d) 在處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)解時(shí)是的連續(xù)點(diǎn)，時(shí)，是的可去間斷點(diǎn)故選d.【例4】設(shè)，在內(nèi)有定義，為連續(xù)，且，有間斷點(diǎn)，則下列函數(shù)中必有間斷點(diǎn)為（）(a) (b) (c) (d)解(a) 不一定有間斷點(diǎn)例，則為連續(xù)(b) 不一定有間斷點(diǎn)例同上，則連續(xù)(c) 不一定有間斷點(diǎn)，如(a)中和，則連續(xù)(d) 一定有間斷點(diǎn)，反證法，若連續(xù)，則連續(xù)，與假設(shè)矛盾一定有間斷點(diǎn)四、求連續(xù)函

20、數(shù)的極限分兩種情形：1.如果是初等函數(shù)，是定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，則，即只需在函數(shù)的表達(dá)式中把自變量x換成它的極限值就行了.【例1】 求.解因，而函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，所以【例2】設(shè)在處連續(xù)，且，求.解由于在處連續(xù)，且，所以則五、利用介值定理的推論判斷方程的根【例1】設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少有一個(gè)根.證令，可知在上連續(xù)，由介值定理的推論，可知在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)至少有一個(gè)根.【例2】求證：方程在內(nèi)恰有兩個(gè)根.證令，它是偶函數(shù)，所以只需討論在內(nèi)恰有一個(gè)根.，在上連續(xù)，根據(jù)介值定理推論，至少有一個(gè)，使.又因?yàn)?，所以在?nèi)單調(diào)增加，因此，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，于是在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，由偶函數(shù)的對稱性，在內(nèi)

21、恰有兩個(gè)零點(diǎn)，也即所給方程在內(nèi)恰有兩個(gè)根.第二章一元函數(shù)微分學(xué)2.1導(dǎo)數(shù)與微分（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)與微分概念1.導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，自變量在處有增量，相應(yīng)地函數(shù)增量，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（也稱微商），記作或等，并稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，如果上面的極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令，則我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。右導(dǎo)數(shù)：左導(dǎo)數(shù)：則有在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義如果函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，則在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。切線方程法線方程：設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，如果存在，則表示物體在

22、時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度。3.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn)處可導(dǎo)，例如，在處連續(xù)卻不可導(dǎo)。4.微分的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有增量時(shí)，如果函數(shù)的增量有下面的表達(dá)式其中與無關(guān)，是時(shí)比高階的無窮小，則稱在處可微，并把中的主要線性部分稱為在處的微分，記以或。我們定義自變量的微分就是。5.微分的幾何意義是曲線在點(diǎn)處相應(yīng)于自變量增量的縱坐標(biāo)的增量，微分是與曲線在點(diǎn)處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量（見圖）6.可微與可導(dǎo)的關(guān)系在處可微在處可導(dǎo)，且.一般地，則，所以導(dǎo)數(shù)也稱為微商，就是微分之商的含義。7.高階導(dǎo)數(shù)的概念如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處仍是可導(dǎo)的，則把在

23、點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記以或或等，也稱在點(diǎn)處二階可導(dǎo)。如果的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為的階導(dǎo)數(shù)，記以等，這時(shí)也稱是階可導(dǎo)。二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算1.導(dǎo)數(shù)與微分表2.四則運(yùn)算法則3.復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)，如果在處可導(dǎo)，在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo)，且有對應(yīng)地 由于公式不管是自變量或中間變量都成立，因此稱為一階微分形式不變性。4.由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)確定函數(shù)存在，則二階導(dǎo)數(shù)5.反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)的反函數(shù)，兩者皆可導(dǎo)，且則二階導(dǎo)數(shù)6.隱函數(shù)運(yùn)算法則設(shè)是由方程所確定，求的方法如下：把兩邊的各項(xiàng)對求導(dǎo)，把看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再解出的表達(dá)式（允許出現(xiàn)變量）。例7.對數(shù)求導(dǎo)法

24、則先對所給函數(shù)式的兩邊取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù)。對數(shù)求導(dǎo)法主要用于：冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 多個(gè)函數(shù)連乘除或開方求導(dǎo)數(shù)利用冪指函數(shù)常用的一種方法，這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。關(guān)于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，常常要先討論它的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)。（乙）典型例題一、用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)【例1】設(shè)，其中在點(diǎn)處連續(xù)，求。解沒有假設(shè)可導(dǎo)，所以不能用導(dǎo)數(shù)的乘法公式，我們就用導(dǎo)數(shù)的定義?！纠?】設(shè)（n為正整數(shù)），求。解在點(diǎn)處連續(xù)而不可導(dǎo)，二、 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性【例1】討論函數(shù)在處連續(xù)性與可導(dǎo)性。解函數(shù)在處連續(xù)，因?yàn)閯t但是，在處沒有導(dǎo)數(shù)，因?yàn)榍€在原點(diǎn)的切線不存在（見上圖）?！纠?】設(shè)函數(shù)試確定的

25、值，使在點(diǎn)處可導(dǎo)。解可導(dǎo)一定連續(xù)，在處也是連續(xù)的，由要使在點(diǎn)處連續(xù)，必須有或又要使在點(diǎn)處可導(dǎo)，必須，即故當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處可導(dǎo)。三、用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1.運(yùn)用四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）解（1）（2）【例2】求下列函數(shù)的微分（1）（2）解（1）（2）【例3】設(shè)，求.解令則因此【例4】設(shè)可微，求dy.解2.運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則【例1】設(shè)由方程所確定，求和.解一對方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，y看作x的函數(shù)，按中間變量處理.于是，解二對方程兩邊求微分，根據(jù)一階微分形式不變性.于是3.運(yùn)用對數(shù)求導(dǎo)法則【例1】求的導(dǎo)數(shù).解對x求導(dǎo)，得因此，4.運(yùn)用參數(shù)方程求導(dǎo)法則【例1】設(shè)，求.解

26、四、有關(guān)切線方程和法線方程【例1】證明曲線上任一點(diǎn)處切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形面積恒為2.證所求切線方程為令，得切線截x軸的截距，令，得切線截y軸的截距，直角三角形面積【例2】求曲線在處的切線方程.解，.，故切線方程為即五、高階導(dǎo)數(shù)1.求二階導(dǎo)數(shù)【例1】設(shè)，求.解【例2】設(shè)，求.解【例3】設(shè)由方程所確定，求.解，2. 求n階導(dǎo)數(shù)（n2，正整數(shù)）先求出，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出，最后用歸納法證明.有一些常用的初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式（1）（2）（3）（4）（5）【例1】設(shè)（k正整數(shù)），求（n正整數(shù)）.解【例2】設(shè)，求（n正整數(shù)）.解【例3】設(shè)，求（n正整數(shù)）.解【例4】 設(shè)，求（n正整數(shù)）.解

27、2.2 微分中值定理本節(jié)專門討論考研數(shù)學(xué)中經(jīng)?？嫉乃拇蠖ɡ恚_爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）.這部分有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細(xì).(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、羅爾定理設(shè)函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）.則存在，使得.幾何意義：條件（1）說明曲線在和之間是連續(xù)曲線包括點(diǎn)a和點(diǎn)b.條件（2）說明曲線在a，b之間是光滑曲線，也即每一點(diǎn)都有不垂直于x軸的切線不包括點(diǎn)a和b條件（3）說明曲線在端點(diǎn)a和b處縱坐標(biāo)相等。結(jié)論說明曲線在a點(diǎn)和b點(diǎn)之間不包括點(diǎn)a和b至少有一點(diǎn)，它的切線平行于軸。二、拉格朗日

28、中值定理設(shè)函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。則存在，使得或?qū)懗捎袝r(shí)也寫成這里相當(dāng)或都可以，可正可負(fù)。幾何意義：條件（1）說明曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間包括點(diǎn)a和點(diǎn)b是連續(xù)曲線。條件（2）說明曲線不包括點(diǎn)a和點(diǎn)b是光滑曲線。結(jié)論說明曲線在a、b之間不包括點(diǎn)a和點(diǎn)b至少有一點(diǎn)，它的切線與割線ab是平行的。推論1若在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)為常數(shù)。推論2若在內(nèi)皆可導(dǎo)，且，則在內(nèi)，其中為一個(gè)常數(shù)。（注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當(dāng)時(shí)的特殊情形，就是羅爾定理）三、柯西中值定理設(shè)函數(shù)和滿足：（1）在閉區(qū)間上皆連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)皆可導(dǎo)且。則存在使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特

29、殊情形時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）幾何意義：考慮曲線的參數(shù)方程，點(diǎn)，點(diǎn)曲線上是連續(xù)曲線，除端點(diǎn)處是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于割線。值得注意：在數(shù)學(xué)理論上，拉格朗日中值定理最重要，有時(shí)也稱為微分學(xué)基本定理。羅爾定理看作拉格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值定理雖然更廣，但用得不太多。在考研數(shù)學(xué)命題中，,用羅爾定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亞諾余項(xiàng)的階泰勒公式）設(shè)在處有階導(dǎo)數(shù)，則有公式其中稱為皮亞諾余項(xiàng)。前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當(dāng)?shù)?，所以對常用的初等函?shù)如（為實(shí)常數(shù)）等的

30、階泰勒公式都要熟記。定理2（拉格朗日余項(xiàng)的階泰勒公式）設(shè)在包含的區(qū)間內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對，有公式其中（在與之間）稱為拉格朗日余項(xiàng)上面展開式稱為以為中心的階泰勒公式。當(dāng)時(shí)，也稱為階麥克勞林公式。如果，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級數(shù)，這在后面無窮級數(shù)中再討論。（乙）典型例題一、用羅爾定理的有關(guān)方法【例1】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：必存在，使。證在上連續(xù)，在上連續(xù)，且有最大值和最小值,于是；，故。由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得因此，且在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在，使得?！纠?】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.求證：存在使證由積分中值定理可知，存在，使得得到對在上用羅

31、爾定理（三個(gè)條件都滿足），故存在，使二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有關(guān)方法1. 用拉格朗日中值定理的有關(guān)方法【例1】設(shè)，試證：.證令，它在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此于是成立.【例2】設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.證由題意可知存在使得如果，則在上用拉格朗日中值定理存在，使如果，則在上用拉格朗日中值定理存在，使，因此，必有，使得成立.【例3】設(shè)，證明對任意，恒有證不妨假設(shè)，由拉格朗日中值定理有，從而可知，單調(diào)減少，于是這樣由兩式可知因此，成立.2.用拉格朗日中值定理和柯西中值定理【例1】設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使證考慮柯西中值定理（待定）

32、最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲證的結(jié)論變形，兩式比較，看出令即可.類似地，欲證，則取即可三、用泰勒公式的有關(guān)方法【例1】設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，且，.求證：存在，使得證先把在處展成拉格朗日型余項(xiàng)的一階泰勒公式再把在處展成拉格朗日型余項(xiàng)的一階泰勒公式在上面兩個(gè)公式中皆取則得兩式相減，得，于是因此亦即證明存在，使2.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、判斷函數(shù)的單調(diào)性定理設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，如果恒有，則在內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）；如果恒有，則在內(nèi)單調(diào)不減（單調(diào)不增）。基本應(yīng)用模型：設(shè)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又，則當(dāng)時(shí)，恒有二、函數(shù)的極值1.定義設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的某一點(diǎn)，則如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得

33、對此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值，稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果點(diǎn)存在一個(gè)鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值，稱為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。2.必要條件（可導(dǎo)情形）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且為的一個(gè)極值點(diǎn)，則。我們稱滿足的為的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不然。極值點(diǎn)只能是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，所以只要從這兩種點(diǎn)中進(jìn)一步去判斷。3.第一充分條件設(shè)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，不存在，或。如果在內(nèi)的任一點(diǎn)處，有，而在內(nèi)的任一點(diǎn)處，有，則為極大值，為極大值點(diǎn)；如果在內(nèi)的任一點(diǎn)處，有，而在內(nèi)的任一點(diǎn)處，有，則為極小值，為極小

34、值點(diǎn)；如果在內(nèi)與內(nèi)的任一點(diǎn)處，的符號相同，那么不是極值，不是極值點(diǎn)。4.第二充分條件設(shè)函數(shù)在處有二階導(dǎo)數(shù)且，則當(dāng)時(shí)，為極大值，為極大值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，為極小值，為極小值點(diǎn)三、函數(shù)的最大值和最小值1.求函數(shù)在上的最大值和最小值的方法，首先，求出在內(nèi)所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，其次計(jì)算，, ,。最后，比較，,。其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值m。2.最大（?。┲档膽?yīng)用問題首先要列出應(yīng)用問題的目標(biāo)函數(shù)及考慮的區(qū)間，然后再求出目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲?。四、凹凸性與拐點(diǎn)1. 凹凸的定義設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，若對任意不同的兩點(diǎn)，恒有則稱在上是凸（凹）的。在幾何上，曲線上任意兩點(diǎn)的割線在曲線下（上）面，則是凸（凹）的。如果曲線有切線的話，每一點(diǎn)的切線都在曲線之上（下）則是凸（凹）的。2.拐點(diǎn)的定義曲線上凹與凸的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。3.凹凸性的判別和拐點(diǎn)的求法設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在內(nèi)的每一點(diǎn),恒有，則曲線在內(nèi)是凹的；如果在內(nèi)的每一點(diǎn),恒有，則曲線在內(nèi)是凸的。求曲線的拐點(diǎn)的方法步驟是：第一步：求出二階導(dǎo)數(shù)；第二步：求出使二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，；第三步：對于以上的連接點(diǎn)，檢