2020年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及運算

1、 2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念及運算第 1 講 導(dǎo)數(shù)的概念及運算1導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù) yf(x)在 xx 處的導(dǎo)數(shù)0f（x x）f（x ） y x一般地，稱函數(shù)yf(x)在 xx 處的瞬時變化率_ lim00 lim x0x0x0 y x為函數(shù) yf(x)在 xx 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f(x )或 y|xx ，即 f(x ) lim lim0000x0x0f（x x）f（x ）_00 x提醒 f(x )代表函數(shù) f(x)在 xx 處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x )是函數(shù)值 f(x )的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值0000f(x )是一個常量，其導(dǎo)數(shù)一定為 0，即(f(x )0.00(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2、函數(shù) f(x)在點 x 處的導(dǎo)數(shù) f(x )的幾何意義是在曲線 yf(x)上點 p(x ，y )處的切線的斜0000率(瞬時速度就是位移函數(shù) s(t)對時間 t 的導(dǎo)數(shù))相應(yīng)地，切線方程為 yy f(x )(xx )000(3)函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)f（x x）f（x） x稱函數(shù) f(x) lim _為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)x02基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)f(x)0n*f(x)cos_xf(x)sin_xxx1f(x)log x (x0，a0 且 a1)f(x)xln aaf(x)ln x (x0)f(x)1x3.導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總

3、復(fù)習(xí)第 1 頁 共 11 頁 (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) （ ）x g x f x g x（ ） （ ） （ ） （ ）f xg（x）f(3)(g(x)0)g（x）2提醒 求導(dǎo)常見易錯點： 公式(x )與(a ) ln a 相互混淆； 公式中nnxn1xax （ ）（ ） （ ） （ ） （ ）f x g xf xg（x）f x g x“”“”號記混，如出現(xiàn)如下錯誤：，(cos x)g（x）2sin x.判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)f(x )是函數(shù) yf(x)在 xx 附近的平均變化率()00(2)求 f(x )時，可先求 f(x )，再求 f(x

4、)()000(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線(5)曲線 yf(x)在點 p(x ，y )處的切線與過點 p(x ，y )的切線相同()0000答案：(1) (2) (3) (4) (5)(教材習(xí)題改編)函數(shù) yxcos xsin x 的導(dǎo)數(shù)為(axsin xcxcos x)bxsin xdxcos x解析：選 b.yxcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.f(x)ax33x22，若 f(1)4，則 a 的值等于(19)163a.b.3133103c.d.10解析：選 d.因為 f(x)3a

5、x26x，所以 f(1)3a64，解得 a .故選 d.3(2018高考天津卷)已知函數(shù) f(x)e ln x，f(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則 f(1)的值為x_1解析：由題意得 f(x)e ln xe ，則 f(1)e.xxx答案：e(2018高考全國卷)曲線 y2ln x 在點(1，0)處的切線方程為_2解析：由題意知，y ，所以曲線在點(1，0)處的切線斜率 ky| 2，故所求切線x方程為 y02(x1)，即 y2x2.答案：y2x2x12020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 2 頁 共 11 頁 導(dǎo)數(shù)的運算(師生共研)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx sin x；21(2)yln x .x

6、【解】 (1)y(x2)sin 2(sin x)2xsin xx2cos x.x x11 x1 1x x2 (2)y ln x (ln ) .xx注意 求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則先化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量1已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，且滿足 f(x)3x 2xf(2)，則 f(5)()2a2b4d8c6解析：選 c.由已知得，f(x)6x2f(2)，令 x2，得 f(2)12.再令 x5，得 f(5)652f(2)30246.2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1

7、)yx e ；(2)ycos x.n xsin x解：(1)ynxn1e x e x 1e (nx)xn xnxsin2xcos2x1(2)y.sin xsin x222020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 3 頁 共 11 頁 導(dǎo)數(shù)的幾何意義(多維探究)角度一 求切線方程(一題多解)(2018高考全國卷)設(shè)函數(shù) f(x)x (a1)x ax.若 f(x)為奇函數(shù)，32則曲線 yf(x)在點(0，0)處的切線方程為()ay2xcy2xbyxdyx【解析】 法一：因為函數(shù) f(x)x3(a1)x2ax 為奇函數(shù)，所以 f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以

8、 2(a1)x20，因為 xr ，所以 a1，所以 f(x)x3x，所以 f(x)3x21，所以 f(0)1，所以曲線 yf(x)在點(0，0)處的切線方程為 yx.故選 d.法二：因為函數(shù) f(x)x3(a1)x2ax 為奇函數(shù)，所以 f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得 a1，所以 f(x)x x，所以 f(x)3x 1，所以 f(0)1，32所以曲線 yf(x)在點(0，0)處的切線方程為 yx.故選 d.【答案】 d求曲線切線方程的步驟(1)求出函數(shù) yf(x)在點 xx 處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 yf(x)在點 p(x ，f(x )處切線的斜率000(2)由點斜式方程求得切線

9、方程為 yf(x )f(x ) (xx )000注意 “過”與“在”：曲線 yf(x)“在點 p(x ，y )處的切線”與“過點 p(x ，y )0000的切線”的區(qū)別：前者 p(x ，y )為切點，而后者 p(x ，y )不一定為切點0000角度二 求切點坐標(biāo)若曲線 yxln x 上點 p 處的切線平行于直線 2xy10，則點 p 的坐標(biāo)是_【解析】 設(shè)切點 p 的坐標(biāo)為(x ，y )，因為 yln x1，00所以切線的斜率為 kln x 1，0由題意知 k2，得 x e，代入曲線方程得 y e.00故點 p 的坐標(biāo)是(e，e)【答案】 (e，e)遷移探究 (變條件)若本例變?yōu)椋喝羟€ yx

10、ln x 上點 p 處的切線與直線 xy10垂直，則該切線的方程為_解析：設(shè)切點為(x ，y )，00因為 yln x1，由題意，得 ln x 11，0所以 ln x 0，x 1，即點 p(1，0)，002020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 4 頁 共 11 頁 所以切線方程為 yx1，即 xy10.答案：xy10求切點的坐標(biāo)的思路已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標(biāo)角度三 已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值(2018高考全國卷)曲線 y(ax1)e 在點(0，1)處的切線的斜率為2，則 ax_

11、.【解析】 y(ax1a)e ，由曲線在點(0，1)處的切線的斜率為2，得 y| (axxx 01a)e | 1a2，所以 a3.xx 0【答案】 3處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：切點處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上1函數(shù) f(x)e ln x 在點(1，f(1)處的切線方程是()xay2e(x1)cye(x1)byex1dyxe1解析：選 c.f(1)0，因為 f(x)e ln x ，所以 f(1)e，所以切線方程是 ye(x1)故xx選 c.2(2019河北石家莊一中模擬)已知直線 ykx 是曲線 ye 的切線，則 k

12、 的值是()xaebe1d1c.ee解析：選 a.設(shè)切點的坐標(biāo)為(x ，y )，對 于 ye ，ye ，所以 e 0k，y kx ，y e 0，xxxx00000所以 kx e 0k，易知 x 0，k0，所以 x 1，所以 ke.x0003(2019西安八校聯(lián)考)曲線 y2ln x 在點(e ，4)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的2面積為_2x2解析：因為 y ，所以曲線 y2ln x 在點(e2，4)處的切線斜率為 ，所以切線方程為ye222x4 (xe2)，即 y20.令 x0，則 y2；令 y0，則 xe2，所以切線與坐標(biāo)軸e2e212所圍成的三角形的面積 s e22e2.2020 年高

13、考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 5 頁 共 11 頁 答案：e2數(shù)學(xué)運算求曲線的切線方程數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等1383已知曲線 y x3 上一點 p 2， ，則過點 的切線方程為_p1 【解析】 (1)當(dāng) p 為切點時，由 y得 y| 4，x3x2， 3x 2即過點 p 的切線方程的斜率為 4.83則所求的切線方程是 y 4(x2)，即 12x3y160.(2)當(dāng) p 點不是切點時，設(shè)切點為 q(x ，y )，001則切線方程為 y x3x2(xx )，30008因

14、為切線過點 p 2， ，把 點的坐標(biāo)代入以上切線方程，p3求得 x 1 或 x 2(即點 p，舍去)，001所以切點為 q 1， ，3即所求切線方程為 3x3y20.綜上所述，過點 p 的切線方程為 12x3y160 或 3x3y20.【答案】 12x3y160 或 3x3y20求曲線的切線問題時，要明晰所運算的對象(切線)涉及的點是“在”還是“過”，然后利用求切線方程的方法進行求解(1)“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數(shù)求導(dǎo)，代入點的橫坐標(biāo)得到斜率(2)“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，故應(yīng)先設(shè)切點，求切點坐標(biāo)曲線 f(x)e 在 x0 處的切線與曲線 g(x)ax2a(a

15、0)相切，則過切點且與該切線垂x直的直線方程為_解析：曲線 f(x)在 x0 處的切線方程為 yx1.設(shè)其與曲線 g(x)ax2a 相切于點(x ，ax2a)002020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 6 頁 共 11 頁 則 g(x )2ax 1，且 ax2ax 1.00001解得 x 1，a ，即切點坐標(biāo)為(1，0)20所以過切點且與該切線垂直的直線方程為y1 (x1)，即 xy10.答案：xy10基礎(chǔ)題組練1已知函數(shù) f(x)(x 2)(ax b)，且 f(1)2，則 f(1)()22a1c2b2d0解析：選 b.f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(

16、2ab)x 為奇函數(shù)，所以 f(1)f(1)2.2曲線 yexln x 在點(1，e)處的切線方程為()a(1e)xy10b(1e)xy10d(e1)xy10c(e1)xy101解析：選 c.由于 ye ，所以 y| e1，故曲線 yexln x 在點(1，e)處的切線x 1x方程為 ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.3已知 f(x)ax bcos x7x2.若 f(2 018)6，則 f(2 018)()4a6c6b8d8解析：選 d.因為 f(x)4ax3bsin x7.所以 f(x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以 f(x)f(x)14.又 f(2 018

17、)6，所以 f(2 018)1468，故選 d.324(2019陜西西安名校聯(lián)考)若點 p 是曲線 y x 2ln x 上任意一點，則點 p 到直線 y252x 的距離的最小值為()3 32a. 23 2b.c.2d. 532解析：選 c.點 p 是曲線 y x22ln x 上任意一點，所以當(dāng)曲線在點p 處的切線與直線525252yx 平行時，點 p 到直線 yx 的距離最小，又直線 yx 的斜率為 1，所以 y3x2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 7 頁 共 11 頁 22332 1，解得x1 或 x (舍去)，所以曲線與切線的切點為p 1， ，所以點 到直線pyx3 51 2 2523

18、 222x 的距離的最小值是，故選 c.1 （1）25(2019江西南昌一模)設(shè)函數(shù) f(x)在(0，)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，且 f(ln x)xln x，則 f(1)_解析：因為 f(ln x)xln x，所以 f(x)xe ，x所以 f(x)1e ，所以 f(1)1e11e.x答案：1e6若曲線 yax ln x 在點(1，a)處的切線平行于 x 軸，則 a_2112解析：令 f(x)yax2ln x，則 f(x)2ax ，所以 f(1)2a10，得 a .x答案：127求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(3x 4x)(2x1)；2x2x4(2)ysin (12cos )；2ln xx21

19、(3)y.解：(1)因為 y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以 y18x210x4.x2x212(2)因為 ysin (cos ) sin x，121212所以 y( sin x) (sin x) cos x.1（x21）2xln x（ln x）（x21）ln x（x21）（x21）2(3)yx（x21）2x212x2ln x.x（x21）28(2019甘肅會寧一中模擬)已知曲線 yx x2 在點 p 處的切線 l 平行于直線 4x301y10，且點 p 在第三象限0(1)求 p 的坐標(biāo)；0(2)若直線 ll ，且 l 也過切點 p ，求直線 l 的方程10解

20、：(1)由 yx3x2，得 y3x21.令 3x214，解得 x1.2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 8 頁 共 11 頁 當(dāng) x1 時，y0；當(dāng) x1 時，y4.又點 p 在第三象限，所以切點 p 的坐標(biāo)為(1，4)001(2)因為直線 ll ，l 的斜率為 4，所以直線 l 的斜率為 .411因為 l 過切點 p ，點 p 的坐標(biāo)為(1，4)，0014所以直線 l 的方程為 y4 (x1)，即 x4y170.綜合題組練1如圖 ，yf(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線 l：ykx2 是曲線 yf(x)在 x3 處的切線，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則 g(3)()a1c3b

21、0d41313解析：選 b.由題圖可知曲線 yf(x)在 x3 處切線的斜率為 ，即 f(3) ，又 g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由題圖可知 f(3)1，所以 g(3)11 3 0. 32(應(yīng)用型)(2019成都第二次診斷檢測)若曲線 yf(x)ln xax (a 為常數(shù))不存在斜率2為負數(shù)的切線，則實數(shù) a 的取值范圍是()1212a. ，b ，)c(0，)d0，)12ax 12解析：選 d.f(x) 2ax(x0)，根據(jù)題意有 f(x)0(x0)恒成立，所以 2ax2xx1x210(x0)恒成立，即 2a (x0)恒成立，所以 a0，故實數(shù)

22、a 的取值范圍為0，)故選 d.3已知函數(shù) f(x)ax x1 的圖象在點(1，f(1)處的切線過點(2，7)，則 a_3解析：因為 f(x)3ax21，所以 f(1)3a1.又 f(1)a2，所以切線方程為 y(a2)(3a1)(x1)因為切線過點(2，7)，所以 7(a2)3a1，解得 a1.2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 9 頁 共 11 頁 答案：14曲線 yln x 的切線 l：xym0 與曲線 yx a 也相切，則 ma_2解析：設(shè)直線 l：xym0 與曲線 yln x 相切于點(x ，ln x )001由 yln x 得 y ，x1所以 y|xx 1.所以 x 1.0 x00所以切點為(1，0)，則 10m0，所以 m1.因為曲線 yx2a 也與直線 xy10 相切x2ay由y10消去 y，得xx2xa10，所以 (1)24(a