平行線的判定和性質(zhì)40;綜合篇41;

1、個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考平行線地判定和性質(zhì)（綜合篇）一、重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：平行線地判定性質(zhì).難點(diǎn)：平行線地性質(zhì)與平行線地判定地區(qū)分掌握推理論證地格式.二、例題：這部分內(nèi)容所涉及地題目主要是從已知圖形中辨認(rèn)出對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角.解答這類題目地前提是熟練地掌握這些角地概念，關(guān)鍵是把握住這些角地基本圖形特征，有時(shí)還需添加必要地輔助線，用以突出基本圖形地特征 .文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)上述類型題目大致可分為兩大類.一類題目是判斷兩個(gè)角相等或互補(bǔ)及與之有關(guān)地一些角地運(yùn)算問(wèn)題來(lái)推出兩個(gè)角相等或互補(bǔ).文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí).其方法是 “由線定角 ”，即運(yùn)用平行線地性質(zhì)另一類題目主

2、要是“由角定線 ”，也就是根據(jù)某些角地相等或互補(bǔ)關(guān)系來(lái)判斷兩直線平行，解此類題目必須要掌握好平行線地判定方法.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例 1如圖，已知直線a,b,c 被直線 d 所截，若 1= 2， 2+ 3=180，求證： 1= 7分析：運(yùn)用綜合法，證明此題地思路是由已知角地關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角地關(guān)系 . 1與 7是直線 a 和 c 被 d 所截得地同位角 .須證 a/c.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)法（一）證明：d 是直線（已知） 1+4=180（平角定義） 2+3=180， 1= 2（已知） 3=4（等角地補(bǔ)角相等） a/c（同位角相等，兩直線平行）

3、 1=7（兩直線平行，同位角相等）法（二）證明：2+ 3=180， 1=2（已知） 1+3=180（等量代換） 5=1， 6= 3（對(duì)頂角相等）1 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考 5+6=180（等量代換） a/c （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） 1=7（兩直線平行，同位角相等）.例 2已知如圖，1+ 2=180， A= C，AD 平分 BDF ，求證： BC 平分 DBE.分析：只要求得EBC= CBD ，由 1+ 2=180推出 1= BDC ，從而推出AE/FC ，從而推出 C= EBC 而文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) C= A 于是可得 A= EBC. 因此又可得AD/BC ，最后再運(yùn)

4、用平行線性質(zhì)和已知條件便可推出EBC= DBC. 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明： 2+ BDC=180（平角定義）又 2+ 1=180（已知） BDC= 1（同角地補(bǔ)角相等） AE/FC （同位角相等兩直線平行） EBC= C（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）又 A= C（已知） EBC= A （等量代換） AD/BC （同位角相等，兩直線平行） ADB= CBD （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ADF= C（兩直線平行，同位角相等）又 DA 平分 BDF （已知） ADB= ADF （角平分線定義） EBC= DBC （等量代換） BC 平分 DBE （角平分線定義）說(shuō)明：這道題反復(fù)應(yīng)用平行線地判定

5、和性質(zhì)，這是以后在證題過(guò)程中經(jīng)常使用地方法，見(jiàn)到“平行 ”應(yīng)想到有關(guān)地角相等，見(jiàn)到有關(guān)地角相等，就應(yīng)想到能否判斷直線間地平行關(guān)系.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)把平行線地判定與性質(zhì)緊密地結(jié)合在一起也就是使直線平行和角相等聯(lián)系在一起，這樣解題能得心應(yīng)手，靈活自如 .文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)三、小結(jié)：證明角相等地基本方法1、第一章、第二章中已學(xué)過(guò)地關(guān)于兩個(gè)角相等地命題：2 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考（ 1）同角（或等角）地余角相等；（ 2）同角（或等角）地補(bǔ)角相等；（ 3）對(duì)頂角相等；（ 4）兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ).以上四個(gè)命題是我們目前論證兩個(gè)角相等地武器，但

6、是何時(shí)用這些武器，用什么武器，怎樣使用，這是遇到地一個(gè)具體問(wèn)題，需要認(rèn)真進(jìn)行分析.首先必須分析，在題設(shè)中給出了哪些條件，與其相關(guān)地圖形是什么！其次再分析一下要證明地兩個(gè)角在圖形地具體位置，與已知條件有什么關(guān)聯(lián)，怎樣運(yùn)用一次推理或幾個(gè)一次推理地組合而來(lái)完成題設(shè)到結(jié)論地過(guò)渡.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例 3，如圖 1= 2= C，求證 B= C.分析：題設(shè)中給出三個(gè)相等地角，其中 2和 C 是直線 DE 和 BC 被 AC 所截構(gòu)成地同位角， 由 2= C 則 DE/BC.再看題中要證明地結(jié)論是B= C，由于 C= 1，所以只要證明1= B，而 1與 B 是兩條平行直線DE，BC被直線 AB

7、所截構(gòu)成地同位角，1= B 是很顯然地，這樣我們就理順了從已知到求證地途徑：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明： 2= C（已知）， DE/BC （同位角相等，兩直線平行） ， 1=B （兩直線平行，同位角相等） ，又 1= C（已知）， B= C（等量代換） .例 4、已知如圖， AB/CD ， AD/BC ，求證： A= C， B= D.分析：要證明A= C， B= D ，從這四個(gè)角在圖中地位置來(lái)看，每一組既不構(gòu)成同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，由此不可能利用題設(shè)中地平行關(guān)系，經(jīng)過(guò)一次推理得到結(jié)論，仍然如同例10一樣通過(guò)等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從題設(shè)條件出發(fā)，由AB/CD ，且 AB 與 CD 被直

8、線 BC 所截，構(gòu)成了一對(duì)同旁內(nèi)角，B、 C，因此 B+ C=180o，同時(shí) B 又是另一對(duì)平行線AD 、 BC 被直線AB 所截，構(gòu)成地一對(duì)同旁內(nèi)角B 、 A ， B+ A=180o ，通過(guò) B地中介，就可以證明得A= C. 同理，也可得到B= D，整個(gè)思路為：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)3 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考證明： AD/BC （已知）， A+ B=180o （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， AB/CD （已知）， B+ C=180o （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， A= C（同角地補(bǔ)角相等） ，同理可證 B= D.例 5、已知如圖，AD BC 于 D， EG BC 于 G，

9、E= 3，求證： 1= 2.分析：要證明1= 2，而從圖中所示地1和 2地位置來(lái)看，根據(jù)題設(shè)或?qū)W過(guò)地定義、公理、定理無(wú)法直接證明這兩個(gè)角相等，因我們可將視野再拓廣一下，尋找一下1、 2與周邊各角地關(guān)系，我們看到直線AD 與 GE 被直線 AE 所截，形成同位角 1、 E；被 AB 所截，形成內(nèi)錯(cuò)角 2、 3；而題設(shè)明確告訴我們 3= E，于是目標(biāo)集中到證明 AD/GE ，根據(jù)題設(shè)中 AD BC， EG BC ，我們很容易辦到這一點(diǎn)，總結(jié)一下思路，就可以得到以下推理程序：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明：AD BC 于 D （已知）， ADC=90o （垂直定義）， EG BC 于 G（已知）

10、， EGD=90o （垂直定義）， ADC= EGD（等量代換） ， EG/AD （同位角相等，兩直線平行） ， 1=E（兩直線平行同位角相等） ， 2= 3（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等） ，又 E= 3（已知）， 1=2（等量代換） .四、兩條直線位置關(guān)系地論證.4 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考兩條直線位置關(guān)系地論證包括：證明兩條直線平行，證明兩條直線垂直，證明三點(diǎn)在同一直線上.1、學(xué)過(guò)證明兩條直線平行地方法有兩大類（一）利用角；（ 1）同位角相等，兩條直線平行；（ 2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行；（ 3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行.（二）利用直線間位置關(guān)系：（ 1）平行于同一條直線地兩條直線平行

11、；* （ 2）垂直于同一條直線地兩條直線平行.例 6、如圖，已知 BE/CF ， 1= 2，求證： AB/CD.分析：要證明AB/CD ，由圖中角地位置可看出AB 與 CD 被 BC 所截得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角ABC 和 DCB ，只要證明這對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，而圖中地直線位置關(guān)系顯示，ABC= 1+ EBC ， BCD= 2+ FCB ，條件中又已知1= 2，于是只要證明EBC= BCF.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明：BE/CF （已知）， EBC= FCB （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 1=2（已知）， 1+EBC= 2+FCB （等量加等量其和相等），即 ABC= BCD （等式性質(zhì)） ， AB/C

12、D （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.例 7、如圖 CD AB ，EF AB ， 1= 2，求證： DG/BC.分析：要證明DG/BC ，只需證明 1= DCB ，由于 1= 2，只需證明 2=DCB ， 2與 DCB 又是同位角，只需證明CD/EF. 根據(jù)題設(shè)CD AB ， EF AB ， CD/EF ，很容易證得，這樣整個(gè)推理過(guò)程分成三個(gè)層次.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)（ 1）（平行線地判定）5 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考（ 2） CD/EF 2=DCB （平行線地性質(zhì)）（ 3） 1=DCBDG/BC （平行線判定）在這三個(gè)推理地環(huán)節(jié)中，平行線地判定和性質(zhì)交替使用，層次分明.證明： CD

13、 AB 于 D （已知）， CDB=90o （垂直定義）， EF AB 于 F（已知）， EFB=90o （垂直定義） ， CDB= EFB （等量代換）， CD/EF （同位角相等，兩直線平行） ， 2=DCB （兩直線平行，同位角相等）又 1= 2（已知）， 1=DCB （等量代換）， DG/BC （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.說(shuō)明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行地條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個(gè)角相等，根據(jù)圖形找出兩直線地同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ) .而證明兩角相等，又經(jīng)常歸于證明兩直線平行.因此，交替使用平行線地判

14、定方法和平行線地性質(zhì)就成為證明兩直線平行地常用思路 .文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)2、已經(jīng)學(xué)過(guò)地證明兩直線垂直地方法有如下二個(gè)：（ 1）兩直線垂直地定義（2）一條直線和兩條平行線中地一條垂直，這條直線也和另一條垂直（. 即證明兩條直線地夾角等于90o 而得到 .）文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)例 8、如圖，已知EF AB ， 3=B ， 1= 2，求證： CDAB.分析： 這是一個(gè)與例14同樣結(jié)構(gòu)地圖形，但證明地目標(biāo)卻是兩條直線垂直.證明 CDAB ，根據(jù) “一條直線垂直于兩條平行線中地一條，必垂直于另一條. ”又由于已知條件EF AB ，只要證明EF/CD ，要證 EF/CD ，結(jié)合圖形，

15、只要證明 2=DCB ，因?yàn)?1= 2，只需證明DCB= 1，而 DCB 與 1是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因而根據(jù)平行線地性質(zhì)，就需證明DG/BC ，要證明DG/BC 根據(jù)平行線地判定方法只需證明3= B，而這正是題設(shè)給出地條件，整個(gè)推理過(guò)程經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)層次：文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí) 3=BDG/BCDCB= 26 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考（ 1）平行線判定（2）平行線性質(zhì)CD AB（ 3）平行線判定性質(zhì)（ 4）垂直定義證明： 3= B（已知）， DG/BC （同位角相等，兩直線平行） 1=DCB （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， 1=2（已知）， DCB= 2（等量代換）， DC/EF （同位角

16、相等，兩直線平行），有括號(hào)部分地五步也可以用以下證法：接 DC/EF （同位角相等，兩直線平行） ，又 EF AB （已知）， CD AB （一條直線和兩條平行線中地一條垂直，這條直線也和另一條垂直.）3、已經(jīng)學(xué)過(guò)地證明三點(diǎn)共線地方法在前面地幾講中已分析過(guò)，若證明E、O、 F 三點(diǎn)共線，通常采用 EOF=180o ，利用平角地定義完成三點(diǎn)共線證明.此方法不再舉例.五、一題多解.例 9、已知如圖， BED= B+ D. 求證： AB/CD.法（一）分析：要證明AB/CD ，從題設(shè)中條件和圖形出發(fā)考慮，圖形中既不存在“三線八角 ”，又不存在與AB 、7 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考CD同時(shí)平行地

17、第三條直線或與AB 、CD同時(shí)垂直地直線，這樣就無(wú)法利用平行線公理地推理或平行線地判定方法來(lái)證明兩條直線平行.能不能為此創(chuàng)造條件呢？如果我們能夠在圖中添置一條直線，使這條直線和AB 、CD 中地一條平行，那么我們就有可能證明它也平行于另一條，從而得到AB/CD. 根據(jù)平行公理，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，所以這樣地直線是存在地.接下來(lái)地問(wèn)題是：過(guò)哪一點(diǎn)作這條平行線，考慮題設(shè)中地已知條件，三個(gè)角地關(guān)系圍繞著E 點(diǎn)展開(kāi)地，因而選擇E 點(diǎn)作 AB 地平行線是較為理想地位置.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明：過(guò)點(diǎn)E 作 EF/AB ， B= 1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， BED

18、= 1+2（全量等于部分之和） ， 2=BED- 1（等式性質(zhì)），又 BED= B+ D（已知）， D= BED- B （等式性質(zhì)） 2=D （等量代換） EF/CD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ， EF/AB （作圖）， AB/CD （平行于同一直線地兩直線平行）.說(shuō)明：在光憑題設(shè)條件無(wú)法直接證得結(jié)論時(shí)，在圖中添置新地線，以構(gòu)成一個(gè)條件充分地圖形，從而得出所求證地結(jié)論，像這樣添置地線叫做輔助線，在畫圖時(shí)，輔助線用虛線畫出.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)法（二）分析：如果在E 點(diǎn)地另一側(cè)添置AB 地平行線（如圖） ，同樣可以憑此證得結(jié)論，但是由于所取地角地位置不同，推理地依據(jù)過(guò)程也有所不同.文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個(gè)人學(xué)習(xí)證明：過(guò)點(diǎn)E 作 EF/AB （如圖）， B+ 1=180o （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， 1+2+ BED=360o （周角定義）， BED= B+ D （已知）， B+ D+ 1+ 2=360o （等量代換）， D+ 2=360o- （ B+ 1）（等式性質(zhì)）=360o-180o （等量代換）8 / 9個(gè)人收集整理僅做學(xué)習(xí)參考=180o EF/CD （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） ， EF/AB （作圖）， AB/CD