一元二次方程知識(shí)點(diǎn)以及考點(diǎn)分析

1、一兀二次方程、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖二、具體內(nèi)容(一) 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為 2，整式方程，可化為一般形式；2 正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)(1) 讓學(xué)生明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a 0時(shí)，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。(2) 各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù) ).(3) 熟練整理方程的過(guò)程3元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解4列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程(二) 、一元二次方程的解法1 明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而 把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一

2、次方程求解；2根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4 值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：2 2(1) 開(kāi)平方法：對(duì)于形如 x n或(ax b) n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解形如x2 n的方程的解法：當(dāng) n 0 時(shí)，x 、一 n ；當(dāng) n 0 時(shí)，xi X20;當(dāng)n 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為（x m）2 n的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟： 移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊

3、，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊； “系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1； 配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為（x m）2 n的形式；求解:若n0時(shí)，方程的解為xmn，若n 0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。（3）公式法：-兀二次方程 axbxc 0(a0)的根 x1Ob .b 4ac2a當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)b24ac0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為X1X2b2a當(dāng)b24ac0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.2公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定a,b, c的值；代入b 4ac中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若 b2 4ac

4、0代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一 元二次方程。）（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即:若 ab 0,則 a 0或b 0 ； 因式分解法的一般步驟：將方程化為一元二次方程的一般形式；把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊等于0；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程 對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，

5、只不過(guò)應(yīng)注意二次 根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。 方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定 不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。（三）、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合 題意的參數(shù)取值范圍。(1)= b2 4ac第3頁(yè)共9頁(yè)2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程2ax bx c 0 （ a 0）當(dāng) a 0 方程有實(shí)數(shù)根

6、；0時(shí)第 5 頁(yè) 共 9 頁(yè)當(dāng) a 0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) 0時(shí)a0a 00時(shí) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； ）當(dāng)00時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見(jiàn)的問(wèn)題類型 （1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況 （2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況 先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）； 用配方法將判別式恒等變形； 判斷判別式的符號(hào)； 總結(jié)出結(jié)論 .例：求證：方程 （a2 1）x2 2ax （a2 4） 0 無(wú)實(shí)數(shù)根。（ 4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是

7、二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方 程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。（ 5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面 分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（ 6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（ 7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題（四）、一元二次方程的應(yīng)用1. 數(shù)字問(wèn)題：解答這類問(wèn)題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2. 幾何問(wèn)題：這類問(wèn)題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來(lái)尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對(duì)結(jié)果

8、要 結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn)。3. 增長(zhǎng)率問(wèn)題（下降率） ：在此類問(wèn)題中，一般有變化前的基數(shù)（ a ），增長(zhǎng)率（ x ），變化的次數(shù)（ n），變化后的基數(shù)（ b） ,這四者之間的關(guān)系可以用公式a（1 x）n b 表示。4. 其它實(shí)際問(wèn)題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（ 1）有 100 米長(zhǎng)的籬笆材料，想圍成一矩形倉(cāng)庫(kù)，要求面積不小于 600 平方米，在場(chǎng)地的北面有一堵 50 米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng) 40 米、寬 10米的倉(cāng)庫(kù)，但面積只有 400 平方米，不合要求，問(wèn)應(yīng) 如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)與寬才能符合要求呢？（ 2）讀詩(shī)詞解題（列出方程，并估算

9、出周瑜去世時(shí)的年齡） ： 大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽 符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？（ 36 歲）（3）已 知 ： a,b,c 分 別 是 ABC 的 三 邊 長(zhǎng) ， 當(dāng) m 0 時(shí) ， 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 方 程c(x2 m) b(x2 m) 2 max 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證:(4)已知：a,b,c分別是 ABC的三邊長(zhǎng)，求證：方程 b2x2 (b2 c2 a2)x c20沒(méi)有實(shí)數(shù)根。ABC是直角三角形。(5)當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程mx2 4x 40與X 4mx 4m2 4m 50的根都

10、是整數(shù)？ ( m 1)(6)已知關(guān)于x的方程x2 2x2m 12x 2x 2m0，其中m為實(shí)數(shù)，(1)當(dāng)m為何值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根?(2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案:(1) m 2 (2) x 1, 12.相關(guān)練習(xí)一元二次方程的概念1一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項(xiàng),(六)(一)(1)5x223x(5x2, 3x, 2)(2)26x215x0(6x2,15x,.2)(3)3y(y1)7( y2) 5(3y2, 4y, 9)(4)(m、m)(m.m) (m 2)27 5m2(2m ,0, 3)(5)(5a1)24

11、(a3)2(3a2,2a, 5)一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng):.次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值2.應(yīng)用一元(1) m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程(m 2) xm (m3)x4m是一元二次方程。(m.2 )(2)若分式x2 T 0,則x3 由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于x的一元二次方程(a1)x(2)已知關(guān)于x的一元二次方程2axbxa210有一個(gè)根為0,則ac 0( a0)有一個(gè)根為1，一個(gè)根為1，則(0, 0)(3)已知c為實(shí)數(shù)，并且關(guān)于兀二次方程 x23x c 0的一個(gè)根的相反數(shù)是方程2x 3x c 0的一個(gè)根，求方程x2 3x c 0的根及c的值。(0,-3,c=0)(二)一元二次方程的解

12、法1.開(kāi)平方法解下列方程：第9頁(yè)共9頁(yè)2(1) 5x 125 0 (Xi5, x25)25622(2) 169(x3)289(捲,x2)1313(4) (1, 3)m20(m1m20)/u、2(3x 1)2(5)8 ( x -12 . 553)2.配方法解方程：(1) x2 2x 50(x1 6)（3） y23610 （原方程無(wú)實(shí)根）2(2) y 5y 10(x(3) 2y2 4y3.公式法解下列方程:(1)3x26x(x(3)7y211y(y13311Y,y2(2) p232、3p ( P1 P2. 3 )2(4) 9n 5n 2 (原方程無(wú)實(shí)數(shù)根)(5) x 2(x 2)(2x 1)3(x

13、、15)2(1)1 2 x49 0(x 6)2(2) y 4y 450(y19,y25)(3)8x210x 310 (洛，X23-)(4)7x2 、21x 0（人0,X2,3 )42(5)6x23 . 3x2 . 2x .6 ( x1、3,X22)2(6) (x 5)2(x5) 1(X1X26)234.因式分解法解下列方程:(7) (x23x)22(x23)80 ( x11, X34n 1 )2, x25解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程）(1)、2(2x 7)2128( x722 )2(2) 2m m222 v 612(m2m)(m2(3)6x(x2) (x 2)( x3)(X12, X2

14、3 -)5(4)y2 3y(3 2y)y(3y1)32 )(y1 -,y23232(5)81(2x5)2144(x3)227(X1,X23-)1026解含有字母系數(shù)的方程（解關(guān)于X的方程）：(1)2 x2mx2 m2 n0(x1m(2)x23a24ax2a1(治(3)(mn)x22nxmn(m n 0)(花(4)a2(x2x1)a(x21)(a21)x(討論a)元二次方程的根的判別式(三)1.不解方程判別方程根的情況:n, x2m n)3a 1, x21,X2(1) 4x2 x 3 7x (有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根)(2) 3(x22) 4x (無(wú)實(shí)數(shù)根)(3) 4x 5 45x(有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

15、)22. k為何值時(shí)，關(guān)于 x的二次方程kx 6x 9(1) 有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根(2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3) 無(wú)實(shí)數(shù)根(k 1且 k 0)(k 1)(k 1)23.已知關(guān)于x的方程 4x (m2)x1 m有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根求m的值和這個(gè)方程的根.4.若方程x25.對(duì)任意實(shí)數(shù)6. k為何值時(shí),(m 2,捲22( a 1)x a1x2或 m 10, x124a 50有實(shí)數(shù)根,m,求證：關(guān)于x的方程(m2方程(k 1)x2(2 k3)xX232)求：正整數(shù) a. (a 1,a2,a3)(當(dāng)k 10時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根,k 10 時(shí),0k解得k121，所以當(dāng)k綜上所述，當(dāng)k21時(shí)，4方程有實(shí)數(shù)根

16、)7 .設(shè)m為整數(shù),40時(shí)，方程x21)x2(k3)2mx m240無(wú)實(shí)數(shù)根.0有實(shí)數(shù)根.21且k 1時(shí)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。42(2m 3)x 4m214m80有兩個(gè)相異整數(shù)根，求的值及方程的根。(當(dāng)m=12時(shí)，方程的根為x1 16, x2 26 ；當(dāng)m=24時(shí)，方程的根為x1 38, x2(四)一元二次方程的應(yīng)用1. 已知直角三角形三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長(zhǎng)和面積( 3, 4, 5,面積為6)2. 一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少4,且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)兩位數(shù)小 求這個(gè)兩位數(shù) (84)m52 )4,第11頁(yè)共9頁(yè)3某印刷廠在四年中共印刷1997萬(wàn)冊(cè)書，已知第一年印

17、刷了342萬(wàn)冊(cè)，第二年印刷了 500萬(wàn)冊(cè)，如果以后兩年的增長(zhǎng)率相同，那么這兩年各印刷了多少萬(wàn)冊(cè)?4.某人把5000元存入銀行，定期一年到期后取出 還是一年，且利率不變，到期如果全部取出，正好是5 某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)（550, 605）300元，將剩余部分（包括利息）繼續(xù)存入銀行，定期275元，求存款的年利率？（不計(jì)利息稅）（10 %）20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售增加盈利，盡快1元，商場(chǎng)每天可多售出2第15頁(yè)共9頁(yè)件，若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（ 20元）6. 已知甲乙兩人

18、分別從正方形廣場(chǎng)ABCD的頂點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，甲由C向D運(yùn)動(dòng)，乙由B向C運(yùn)動(dòng),40千米，問(wèn)幾分鐘后，兩人相甲的速度為每分鐘 1千米，乙的速度每分鐘 2千米，若正方形廣場(chǎng)周長(zhǎng)為距2,10千米？（2分鐘后）7. 某科技公司研制一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬(wàn)元資金，用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩年到期時(shí)一次性還本付息，利息為本金的8%,該產(chǎn)品投放市場(chǎng)后由于產(chǎn)銷對(duì)路，使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息夕卜,還盈余72萬(wàn)元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個(gè)百分?jǐn)?shù).（20%）&如圖，東西和南北向兩條街道交于O點(diǎn)，甲沿東西道由西向東走，速度是每秒4米，乙沿南北道由

19、南向北走，速度是每秒3米，當(dāng)乙通過(guò)O點(diǎn)又繼續(xù)前進(jìn)50米時(shí)，甲剛好通過(guò) O點(diǎn)，求這兩人在相距 85米 時(shí)，每個(gè)人的位置。（甲離O84米，乙離O13米）29.已知關(guān)于x的方程（n 1）x mx 10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.2 2 2 2 _（1）求證：關(guān)于y的方程my 2my m 2n 30必有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。2（2）若方程的一根的相反數(shù)恰好是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式mn 12n的值。（14）k10. 一次函數(shù)y x 6和反比例函數(shù) y , （1） k滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖x象有兩個(gè)交點(diǎn)？（ 2）設(shè)（1）中的兩個(gè)公共點(diǎn)為 A、B,AOB是銳角還是鈍角？ （ k 9且k 0 ；鈍角

20、）元二次方程考點(diǎn)分析考點(diǎn)二、一兀二次方程（6分）1、 一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方 程。2、 一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左邊個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中 ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)?？键c(diǎn)三、一元二次方程的解法(10分)1、直接開(kāi)平方法：利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當(dāng)b 0時(shí)，x a b， x

21、 a . b，當(dāng)b0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。2、配方法： 配方法的理論根據(jù)是完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x 代替，則有 x2 2bx b2 (x b)2。配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1,再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2 bx c 0(a0)的求根公式：b22a4aC(b24ac 0)公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a，一次項(xiàng)的系數(shù)為b,常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解