圓錐曲線背景下的最值問題

1、圓錐曲線背景下的最值問題一、函數(shù)法(一)設(shè)點轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值例 1.在拋物線 y=4x2 上求一點，使它到直線 y=4x-5 的距離 最短。解：設(shè)拋物線上的點 P (t , 4t2 )，點P到直線4x-y-5=0 的距離d=，當t= 時，dmin=，故所求點為(,1)。例2.已知曲線y2=2x， ( 1)設(shè)點A的坐標為(，0)，求 曲線上距點A最近的點P的坐標及相應(yīng)的距離|PA| ； ( 2)設(shè)點 A的坐標為(a, 0) a R求曲線上點到點 A距離最小值d,并 寫出d=f (a)的函數(shù)表達式。解：(1 )設(shè)M(x, y)是曲線上任意一點，則 y2=2x (x0)|MA|2= (x- )

2、2+y2= (x- ) 2+2x= (x+)2+v x0 |MA|2mi n= 所求P點的坐標是(0, 0)，相應(yīng)的距離是|AP|= o(2)設(shè)M(x, y)是曲線上任意一點，同理有|MA|2= (x-a ) 2+y2= (x-a ) 2+2x=x- (a-1 ) 2+ (2a-1 ), x0。綜上所述， 有d=(當a1時)|a| (當a0且x1+x20,解之得12。點評：函數(shù)法求最值其核心是函數(shù)思想。 我們要結(jié)合題目條 件,靈活選取設(shè)點方式,把要求的條件轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函 數(shù)，三角函數(shù)或較簡單的復(fù)合函數(shù)， 利用已熟知的函數(shù)知識解決 最值問題。該類題涉及的知識點多，題型多樣，這就要求學生熟

3、 練掌握各類初等函數(shù)及復(fù)合函數(shù)求值域的方法， 具備較強的解題 的綜合能力。這類題屬于圓錐曲線最值中的最為常見的一種， 涉 獵點很多，難度較大。二、數(shù)形結(jié)合法(一)利用圓錐曲線定義例7.已知橢圓+=1, A (4, 0) , B (2, 2)是橢圓內(nèi)的 兩點，P是橢圓上任一點，求：(1)求|PA|+|PB|=1的最小值； (2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值。解：(1) A為橢圓的右焦點。作 PQL右準線于點 Q則由 橢圓的第二定義=e=， |PA|+|PB|=|PQ|+|PB| 。問題轉(zhuǎn)化 為在橢圓上找一點P,使其到點B和右準線的距離之和最小，很 明顯，點P應(yīng)是過B向右準線作垂線與橢圓的

4、交點，最小值為。(2)由橢圓的第一定義，設(shè) C為橢圓的左焦點，貝V|PA|=2a- |PC| |PA|+|PB|=2a -|PC|+|PB|=10+(|PB|-|PC| )。根據(jù)三角形中，兩邊之差小于第三邊，當P運動到與B、C成一條直線時，便可取得最大和最小值。即-|BC| bo）中心的弦，橢圓的左焦點為F1 （-C，0），則厶F1AB的面積最大為（）A.bc B.ab C.ac D.b2解析：由橢圓對稱性知道 0為AB的中點，則 F1OB的面積 為AF1AB面積的一半。又|0F1|=c， F10B邊0F1上的高為yB， 而yB=b則S最大值為be。點評：抓住 F1AB中|0F1|=c為定值，

5、以及橢圓是中心對稱 圖形解題。點評：數(shù)形結(jié)合的思想方法是解析幾何中最重要的思想方法 之一。在解決求最值問題時，我們應(yīng)先從幾何的直觀圖形出發(fā)， 根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)洞察最值出現(xiàn)的位置，再從代數(shù)運算入手， 建立某種幾何量的代數(shù)表達式， 然后利用解決代數(shù)問題的最值方 法解決問題。三、利用基本不等式 列出最值關(guān)系式，利用均值不等式“等號成立”的條件求解。例9.已知橢圓+y2=1, F1, F2為其兩焦點，P為橢圓上任 一點。求：( 1)|PF1|PF2| 的最大值；( 2)|PF1|2+|PF2|2 的 最小值。解：設(shè) |PF1|=m , |PF2|=n，貝U m+n=2a=4 |PF1|PF2|=mn

6、42-2X4=8。例10.已知圓C: (x-a ) 2+ (y-b ) 2=8 (ab0)過坐標原點，則圓心C到直線L:+ =1距離的最小值為。解：圓C過原點，則a2+b2=8。圓心C (a，b)到直線I : ax+by-ab=O的距離d=,所以圓心到直線L距離的小值 為。點評：利用均值不等式求最值，有時要用“配湊法”，這種 方法是一種技巧。在利用均值不等式時，要注意滿足三個條件：( 1)每一項要取正值；( 2)不等式的一邊為常數(shù)；( 3)等號 能夠成立。 其中正確應(yīng)用 “等號成立”的條件是這種方法關(guān)鍵。圓錐曲線最值問題體現(xiàn)了圓錐曲線與三角、函數(shù)、不等式、 方程、平面向量等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系，