轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理

1、由上節(jié)的定義可知，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩（或回轉(zhuǎn)半徑）與慣性積和連體基及其基點(diǎn)的定義有關(guān)。從例5.1-1可以看到。對(duì)于同一個(gè)基點(diǎn)不同方位的兩個(gè)連體基，一般情況下剛體關(guān)于兩基的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣性積各不相同，但它們有一定的關(guān)系（詳見6.4節(jié)）。本節(jié)討論當(dāng)基點(diǎn)改變，連體基的方向不變時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量間的關(guān)系。在剛體的質(zhì)心 C上建立另一個(gè)與l平行的連體基。質(zhì)心C相對(duì)于0的矢徑為I。質(zhì)點(diǎn)R相對(duì)于點(diǎn)0與C的矢徑分別為與二。由圖5-2可見，這些矢徑有如下關(guān)系圖5-2不同基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系(5.1-5)由于兩基平行，該矢量式在基l上的坐標(biāo)表達(dá)式為(5.1-5)其中匸；i 為質(zhì)心C矢徑I在基J上的坐標(biāo)陣,為Pk的矢徑在基上

2、的坐標(biāo)陣。將式（5.1-5） 代入（5.1-2C），有Jg =叫也十曲十Sf*=叫瑁*：丹斗+處迄叫W刀叫丿；亠磯刀叫Vkji1Jl(5.1-6)考慮到矢徑二由質(zhì)心C岀發(fā)，由質(zhì)心的矢徑與質(zhì)點(diǎn)矢徑間的關(guān)系式（2.3-24），有在連體基！J的坐標(biāo)式為(5.1-7)因此式(5.1 -6)右邊的后兩項(xiàng)為零。根據(jù)定義，該式右邊第一項(xiàng)為剛體相對(duì)于Jcz,即人=飩肚十屈Cz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(5.1-8)同理可得右邊第二項(xiàng)中的為Oz軸與Cz軸的垂直距離，記為hz。這樣式(5.1-6)變?yōu)?5.1-9)(5.1-10)式(5.1-9)與(5.1-10)描述的是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理：剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于它對(duì)

3、 過質(zhì)心的平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸垂直距離平方的乘積。利用同樣的方法可得到剛體關(guān)于O慣性積與關(guān)于C慣性積間的關(guān)系式心-十幗匚耳(5.1-11a)(5.1-11b) (5.1-11C)例 5.1-2計(jì)算該擺對(duì)圖示一擺由長為I均質(zhì)桿與一半徑為 r的均質(zhì)圓球剛連而成。質(zhì)量分別為 m與m 過O且垂直桿的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例5.1-2圖由附錄A令過點(diǎn)0桿繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ；，球?qū)^質(zhì)心 C2的平行z軸的Z2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為知,(1)Amdt令球?qū)^點(diǎn) 0繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:L，由式（5.1-9），考慮到式（1），有+ 叫(j 4-r)1令整個(gè)擺對(duì)過點(diǎn)0繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，由定義式（5.1-2C），考

4、慮到式（1）與2丿廣厶盧幾飛叫苛用F+叫Q + F）質(zhì)點(diǎn)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣量積的定義一質(zhì)點(diǎn)慣性的度量為該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。考慮有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。令質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任意一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m。對(duì)于該質(zhì)點(diǎn)系，度量其慣性的物理量之一為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，即(5.1-1)j-i質(zhì)量在國際單位制中單位為千克（kg）。對(duì)于剛體，如果將上式的求和號(hào)對(duì)剛體的所有質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行，得到剛體的質(zhì)量。它是剛體平移運(yùn)動(dòng)慣性的度量?，F(xiàn)考察質(zhì)量相同的兩個(gè)圓環(huán)，用同樣的力偶繞圓環(huán)的軸線驅(qū)動(dòng)它們，發(fā)現(xiàn)直徑大的圓環(huán)啟動(dòng)比較困難，表現(xiàn)岀較大的慣性。說明剛體在作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的慣性將與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量的分布有關(guān)。為此需引入描述質(zhì)點(diǎn)系慣量的另一個(gè)物理量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在剛

5、體上過點(diǎn) 0建立一連體基l （見圖5-1），質(zhì)點(diǎn)Pk相對(duì)于0的矢徑為，其在該基上的坐標(biāo)陣(5.1-2a)(5.1-2b)(5.1-2c)(5.1-3)圖5-1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與回轉(zhuǎn)半徑心：S叫悄吃）=叫此tAtki.t其中匚、與也分別為質(zhì)點(diǎn) Pk到OX、Oy與0Z軸的距離。稱 Jox、Joy與Joz分別為剛體關(guān)于 OX、Oy與Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在國際單位制中單位為千克平方米（-7）。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的另一種表達(dá)方法為其中，m為剛體的質(zhì)量， 、:；與&分別稱為剛體對(duì) Ox Oy與Oz軸的回轉(zhuǎn)半徑。一些常見的規(guī) 則外形均質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與回轉(zhuǎn)半徑見附錄A。描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的另一個(gè)量為剛體的慣性積。對(duì)于過剛體

6、上點(diǎn) 0的連體基，定義如下與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有相同量綱的量：(5.1-4a)ft(5.1-4b)(5.1-4c)稱J6y與Jw為剛體關(guān)于Oxy平面的慣性積；稱 Joyz與Jozy為剛體關(guān)于Oyz平面的慣性積；Jozx與 Joxz為剛體關(guān)于Oxz平面的慣性積。例 5.1-1考慮一均質(zhì)圓盤的轉(zhuǎn)子，質(zhì)心為G轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)軸 Cz與圓盤中心軸一1有如圖所示一小偏角 二。試計(jì)算慣性積Jczx例5.1-1圖如圖所示過c建立兩個(gè)連體基l與r?；鵯相對(duì)于基l，的方向余弦陣為對(duì)于圓盤上的任意點(diǎn)R在兩個(gè)基上的坐標(biāo)陣間的關(guān)系為:令亠與th. ，展開上式有rt = X； cos-z； sinr 人= r； sin + r* cost?將式 與 代入定義式（5.1-4C），考慮到式（5.1-2C） 與（5.1-2a），有三另叫(ij1 -z；1) sm cos(9+叫 劭(cos1 fl-si