理學灰色預測方法

1、第7章灰色預測方法預測就是借助于對過去的探討去推測、了解未來?；疑A測通過原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立，發(fā)現(xiàn)、 掌握系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律， 對系統(tǒng)的未來狀態(tài)做出科學的定量預測。對于一個具體的問題，究竟選擇什么樣的預測模型應以充分的定性分析結論為依據(jù)。模型的選擇不是一成不變的。一個模型要經(jīng)過多種檢驗才能判定其是否合適，是否合格。只有通過檢驗的模型才能用來進行預測。本章將簡要介紹灰數(shù)、灰色預測的概念，灰色預測模型的構造、檢驗、 應用，最后對災變預測的原理作了介紹。7.1灰數(shù)簡介7.1.1灰數(shù)灰色系統(tǒng)理論中的一個重要概念是灰數(shù)?；覕?shù)是指未明確指定的數(shù)，即處在某一范圍內(nèi)的數(shù)，灰數(shù)是區(qū)間數(shù)的一種推廣?；疑到y(tǒng)

2、用灰數(shù)、灰色方程、灰色矩陣等來描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本“單元” 或“細胞”。我們把只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)稱為灰數(shù)。在應用中，灰數(shù)實際上指在某一個區(qū)間或某個一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)，通常用記號“”表示灰數(shù)。灰數(shù)有以下幾類：1. 僅有下界的灰數(shù)有下界而無上界的灰數(shù)記為：.a，：或：a，其中為灰數(shù)的下確界，它是一個確定 的數(shù)，我們稱 a，二為的取數(shù)域，簡稱的灰域。一棵生長著的大樹，其重量便是有下界的灰數(shù)，因為大樹的重量必大于零，但不可能用 一般手段知道其準確的重量，若用表示大樹的重量，便有-0。2. 僅有上界的灰數(shù)有上界而無下界的灰數(shù)記為一(：，a或：(a)，其中為灰數(shù)的上確界，是

3、一個確定的數(shù)。一項投資工程，要有個最高投資限額， 一件電器設備要有個承受電壓或通過電流的最高 臨界值。工程投資、電器設備的電壓、電流容許值都是有上界的灰數(shù)。3. 區(qū)間灰數(shù)既有下界又有上界的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為- a.a1。海豹的重量在2025公斤之間，某人的身高在 1.81.9米之間，可分別記為20,251, ： 21.8,1.9】4. 連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值或可數(shù)個值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)。某人的年齡在30到35之間，此人的年齡可能是 30, 31, 32, 33, 34, 35這幾個數(shù)， 因此年齡是離散灰數(shù)。人的身高、體重等是連續(xù)灰

4、數(shù)。5. 黑數(shù)與白數(shù)當 HU：或、：M- 2，即當?shù)纳稀⑾陆缃詾闊o窮或上、下界都是灰數(shù)時， 稱為黑數(shù)。當:a,a且a = a時，稱為白數(shù)。為討論方便，我們將黑數(shù)與白數(shù)看成特殊的灰數(shù)。6. 本征灰數(shù)與非本征灰數(shù)本征灰數(shù)是指不能或暫時還不能找到一個白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)，比如一般的事前預測值、宇宙的總能量、準確到秒或微妙的“年齡”等都是本征灰數(shù)。非本征灰數(shù)是指憑先驗信息或某種手段，可以找到一個白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)。我們稱此白數(shù)為相應灰數(shù)的白化值，記為，并用-a表示以為白化值的灰數(shù)。如托人代買一件價格100元左右的衣服，可將100作為預購衣服價格：100的白化數(shù)，記為 100 =100。從本質(zhì)

5、上來看，灰數(shù)又可分為信息型、概念型、層次型三類。1. 信息型灰數(shù)，指因暫時缺乏信息而不能肯定其取值的數(shù)，如：預計某地區(qū)今年夏糧 產(chǎn)量在100萬噸以上，：.100,：；估計某儲蓄所年底居民存款總額將達7000萬到9000萬，：7000,9000 1；預計西安地區(qū)5月份最高氣溫不超過36C, 0,361。這些都是 信息型灰數(shù)。由于暫時缺乏信息，不能肯定某數(shù)的確切取值，而到一定的時間，通過信息補充，灰數(shù)可以完全變白。2概念型灰數(shù)，也稱意愿型灰數(shù)。指由人們的某種觀念、意愿形成的灰數(shù)。如某人希 望至少獲得1萬元科研經(jīng)費，并且越多越好，-1000Q：；某工廠廢品率為1%,希望大幅度降低，當然越小越好，：-

6、0,.01 L這些都是概念型灰數(shù)。3層次型灰數(shù)，由層次的改變形成的灰數(shù)。有的數(shù)，從系統(tǒng)的高層次，即宏觀層次、 整體層次或認識的概括層次上看是白的，可到低層次上，即到系統(tǒng)的微觀層次、分部層次或認識的深化層次則可能是灰的。例如，一個人的身高，以厘米度量是白的，若精確到萬分之一毫米就成灰的了。7.1.2灰數(shù)白化與灰度有一類灰數(shù)是在某個基本值附近變動的，這類灰數(shù)白化比較容易，我們可以其基本值為主要白化值。以為基本值的灰數(shù)可記為：a或：a ,a/ ,其中為擾動灰元，此灰數(shù)的白化值為：a =a。如今年的科研經(jīng)費在5萬元左右，可表示為-50000 =50000 ，或：50000-,50000,它的白化值為

7、50000。對于一般的區(qū)間灰數(shù)：.a,b我們將白化值取為：=c(a + (1_a)b，口 e 0,11定義7.1形如 :a (1 -)b ,b,1】的白化稱為等權白化。定義7.2在等權白化中，取一 _ 2而得到的白化值稱為等權均值白化。當區(qū)間灰數(shù)取值的分布信息缺乏時，常采用等權均值白化。定義 7.3 設區(qū)間灰數(shù)- a,b，: 2，C,d 1,1a，(1-)b , 0,1,苑二Pc +仆- P)d，徒0,1 ,當a = B時，稱與取數(shù)一致，當0再時，稱與取數(shù)非 一致。在灰數(shù)的分布信息已知時，往往采取非等權白化。例如某人2000年的年齡可能是 40歲到60歲 40,60】是個灰數(shù)。根據(jù)了解，此人受

8、初、中級教育共12年，并且是在60年代中期考入大學的，故此人的年齡到2000年為58歲左右的可能性較大，或者說在 56歲到60歲的可能性較大。這樣的灰數(shù)，如果再作等權白化，顯然是不合理的。為此，我們用 白化權函數(shù)來描述一個灰數(shù)對其取值范圍內(nèi)不同數(shù)值的“偏愛”程度。對概念型灰數(shù)中表示意愿的灰數(shù)，其白化權函數(shù)一般設計為單調(diào)增函數(shù)。一般來說，一個灰數(shù)的白化權函數(shù)是研究者根據(jù)已知信息設計的，沒有固定的程式。函數(shù)曲線的起點和終點一般應有其含義。如在外貿(mào)談判中，就有一個由灰變白的過程。開始談判時，甲方說我的出口額至少要 5億元，乙方說我的進口額不大于3億。則成交額這一灰數(shù)將在3億與5億間取值，其白化權函數(shù)

9、可將起點定為3億，終點定為5億?；叶燃礊榛覕?shù)的測度?；覕?shù)的灰度在一定程度上反映了人們對灰色系統(tǒng)之行為特征的未知程度。在實際應用中，我們會遇到大量的白化權函數(shù)未知的灰數(shù)，例如由一般灰色系統(tǒng)之行為特征預測值構成的灰數(shù)，就難以給出其白化權函數(shù)。我們認為，灰數(shù)的灰度主要與相應定義信息域的長度及其基本值有關。如果考慮一個4000左右的灰數(shù)，給出其估計值的兩個灰數(shù)- 0累加生成與累減生成之間的關系如下圖所示：1-AGOIAGOX(0) X X (0) 2關聯(lián)度為了定量地研究兩個事物間的關聯(lián)程度，人們提出了各種形式的指數(shù)，如相關系數(shù)和相似系數(shù)等等。這些指數(shù)大多以數(shù)理統(tǒng)計原理為基礎，需要足夠的樣本個數(shù)或者要求

10、數(shù)據(jù)服從一定的概率分布。在客觀世界中，有許多因素之間的關系是灰色的，分不清哪些因素之間關系密切，哪些不密切，這樣就難以找到主要矛盾和主要特性?；乙蛩仃P聯(lián)分析，目的是定量地表征諸因素之間的關聯(lián)程度，從而揭示灰色系統(tǒng)的主要特性。關聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)分析和預測的基礎。關聯(lián)分析是一種相對性的排序分析。從思路上來看，源于幾何直觀。如圖7.1所示的A、B、C、D四個時間序列，曲線 A與B比較平行，我們就認為 A與B的關聯(lián)程度大。曲線 C 與A隨時間變化的方向很不一致，認為A與C的關聯(lián)程度較小。曲線 A與D相差最大，則認為兩者的關聯(lián)程度最小。將曲線A與B、C、D的關聯(lián)程度分別記為ab , %, Ud，則它們之

11、間有如下排序關系：發(fā)展變化趨勢越接近，關聯(lián)程度越大；反之亦然。關聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關聯(lián)程度的方法。計算關聯(lián)度需先計算關聯(lián)系數(shù)。 (1)關聯(lián)系數(shù)的計算設參考序列為X。=x(1),x(2)，X0(n)比較序列為Xi 二Xi(1),xi(2)，必(n)關聯(lián)系數(shù)定義為:1 nr i(k)n k 呂 (7.2.2)另外，定量地表征灰色系統(tǒng)諸因子之間關聯(lián)程度的指數(shù)有兩種，按其計算方法的差異， 分別稱為絕對值關聯(lián)度和速率關聯(lián)度。 以上我們所介紹的是絕對值關聯(lián)度的概念和計算 關速率關聯(lián)度的問題，在此不作詳述。7.3灰色預測模型7.3.1 GM( 1,1)模型1. GM(1,1)模型 令X(0)為GM(

12、1,1)建模序列，X =(x(1),x(0 )(2) ,.,x(0)( n)X為X(0)的1-AGO序列，X =(x(1),x(2),x(1)(n),k(1)(0兒X (k)二 X (i)i(k)mjn mjn x0(l) _Xj (I) + P max max x0(l)_Xj(l)x0(k) - 人(k) ： P max maxx(I)-Xj(I)(7.2.1)式中,min/i、 /i、min min x0(I) Xi(I)Xo(k)Xi(k)為第k點與的絕對差；j丨j為兩級最小差，其中x(l) -Xj(l)是第一級最小差，表示在序列上找各點與的最小差；n | m x(n I-x(j I)

13、為第二級最小差，表示在各序列中找出的最小差基礎上尋求所有 max max x0(I) Xi(I)序列中的最小差； j 丨j分辨率，0 ： P : 1，一般采用P =0.5。對單位不一，初值不同的序列，在計算關聯(lián)系數(shù)之前應首先進行初值化， 所有數(shù)據(jù)分別除以第一數(shù)據(jù)，將變量化為無單位的相對數(shù)值。(2)關聯(lián)度的計算 關聯(lián)系數(shù)只表示了各個時刻參考序列和比較序列之間的關聯(lián)程度， 列之間的關聯(lián)程度，必須求出它們的時間平均值，即關聯(lián)度。因此，計算關聯(lián)度的公式為：是兩級最大差，其含義與最小差相似。P稱為即將該序列的為了從總體上了解序g , k = 1,2,，n(732)令Z為X(1)的緊鄰均值(MEAN )生

14、成序列Z=(z(2), z(3),.,z(n)Z(k)=0.5X(k)+0.5X(k1)則GM(1,1)的定義型，即GM(1,1)的灰微分方程模型為x(0)(k) + az(k) = b模型符號含義為GMGfy式中稱為發(fā)展系數(shù)，為灰色作用量。 的最小二乘估計參數(shù)列滿足:=(BT B)BTYn其中MOdel(1,11)1個變量設為待估參數(shù)向量，即=(a,b)T ,則灰微分方程(7.3.2)-z(1)(2)-z(1)11丁x(0)(3)(1)=3(0)( n)_dxdtax 二 b(7.3.3)為灰色微分方程 x(0)(k) az(1)(kb的白化方程，也叫影子方程。 如上所述，則有dx(1) b

15、ax b的解也稱時間響應函數(shù)為a aGM(1,1)灰色微分方程x(k) az(k) =b的時間響應序列為bbaka e + a , k =1,2,., n1)2)3)白化方程dt(1),(k 1) T (0)取 x(0)二 x(0)(1)，則4)還原值(0),(k 1)bbaka e + a , k =1,2,., n列)(k 1) = 4(k 1) -0)(k)上式即為預測方程。有關建模的問題說明如下：1. 定原始序列X(0)中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來建模，對原始數(shù)據(jù)的取舍不同，可得 模型不同，即和不同。2. 模的數(shù)據(jù)取舍應保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍出現(xiàn)。可采3. 一般建模數(shù)據(jù)序列應

16、當由最新的數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構成，當再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，用兩種方法處理：一是將新信息加入原始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的一個數(shù)據(jù)，再加上最新的數(shù)據(jù)，所形成的序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。7.3.2 GM (1,1)模型檢驗GM(1,1)模型的檢驗分為三個方面：殘差檢驗；關聯(lián)度檢驗；后驗差檢驗。1 .殘差檢驗殘差大小檢驗，即對模型值和實際值的殘差進行逐點檢驗。首先按模型計算 X(1(1),將0)(i 1)累減生成X (i)，最后計算原始序列x(0)(i)與G0)(i)的絕對殘差序列(0) =/(i),i=1,2,.,n，也(0)(i)=x(0)一爐(i)及相對殘差序列-%0 =,i

17、= 1,2,.,n, x()(i)并計算平均相對殘差給定，當：，且n 0.950.800.700.65勉強合格0.65不合格若相對殘差、關聯(lián)度、后驗差檢驗在允許的范圍內(nèi)，則可以用所建的模型進行預測，否 則應進行殘差修正。7.3.3 GM( 1,1)模型應用實例解：設 X(k)=2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72第1步構造累加生成序列X)(k)=2.67，5.80，9.05，第2步構造數(shù)據(jù)矩陣和數(shù)據(jù)向量2_丄21 _x(1)(3)XX(1 )(2)x(1)(2)x(1)(3)x(1 4)12.41，15.97,1-4.2357.425-10.7319.6911例7.1某大

18、型企業(yè)1999年至2004年的產(chǎn)品銷售額如下表，試建立 GM(1,1)預測模型, 并預測2005年的產(chǎn)品銷售額。年份199920002001200220032004銷售額(億元)2.673.133.253.363.563.72-14.19x(1 *4)x(5).-17.83x(5)x(1 )(6)_x(0) (2)3.131x(0) (3)3.25x(0)3.36x(0)3.56:x(0)一1 i3.72 一Yn 二fl第 3 步計算=b_=(BTB)，BTY707.46375 - 54.41Btb-54.415-0.008667 0.094319(BtB) J= 1(0.094319 1.2

19、26382-0.043879= (BTB)-*BTYn= 2.925663 一第4步得出預測模型dx(1)dt 0.043879=2.9256630.043879 k? (k 1) =69.3457 e- 66.6757bv(0) /(x(I 丿=2.67; a = 66.6757)第5步殘差檢驗(1) 根據(jù)預測公式，計算化)，得刃(k) = 2.67, 5.78, 9.03, 12.43, 15.97, 19.68, 19.69 (=0,1,，6)(2) 累減生成 妙(k)序列，=1,2, - ,6?)(k) = 2.67, 3.11, 3.25, 3.40, 3.54, 3.71原始序列：

20、X(0)(k) = 2.67, 3.13, 3.25, 3.36, 3.56, 3.72(3) 計算絕對殘差和相對殘差序列絕對殘差序列：= 0, 0.02, 0, 0.04, 0.02 , 0.01相對殘差序列：=0, 0.64%, 0, 1.19%, 0.56% , 0.27%相對殘差不超過1.19%，模型精確度高。第6步進行關聯(lián)度檢驗(1) 計算序列x(0)與好0)的絕對殘差序列.-：(0) (k)A (0)、= 0,0.02,0,0.04,0.02,0.01A (0)min ：(k) = min 0,0.02,0,0.04,0.02,0.01 = 0max (k) = max 0,0.0

21、2,0,0.04,0.02,0.01 = 0.04(2) 計算關聯(lián)系數(shù)由于只有兩個序列(即一個參考序列，一個被比較序列)故不再尋求第二級最小差和最大差。(k)二(k =1,.,6, P =0.5)min (k) P max ：(k) 也(k) + P maxA(k) 求得 (k) = 1,0.5, 1,0.33, 0.5, 0.67(3) 計算關聯(lián)度1 nn心)n 心=0.67r=0.67是滿足P=0.5時的檢驗準則r0.6的。第7步后驗差檢驗1(0)(1)計算：X化=6 2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3.72=3.28計算X(0)序列的均方差：(0) (0) 2)1/2=

22、0.3671n -1計算殘差的均值： 計算殘差的均方差:1=6 (k) =0.015( X (k)-x ( ：(k) - J-=0.0152計算 c :S2 =0.0152/0.3671=0.0414計算小殘差概率：=0.67450.3671=0.27466k A(k) =丿0.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005所有都小于，故小殘差概率 6 ：: So =1 ,而同時C=0.04140.35 ,故模型 0.043879 kX (k 1) =69.3457e- 66.6757 合格。第8步預測：k=7, X(0)(8)=(8) X(7)=4.23即2005年的產(chǎn)品銷

23、售額預測值為4.23億元。7.3.4 GM (1,1)殘差模型當原始數(shù)據(jù)序列 X(0)建立的GM(1,1)模型檢驗不合格時，可以用GM(1,1)殘差模型來修 正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不夠精確，也可以用GM(1,1)殘差模型來提高精度。若用原始序列X(0)建立的GM(1,1)模型(0)X(1)(i 1)=可獲得生成序列X的預測值，定義殘差序列 則對應的殘差序列為：(1) b b蔦e-i aa e + ae(0)(j) =x(1)(j) - ?(1)(j)。若取戸，i+ 1,n.計算其生成序列e(0) (k)=e(0)(1),(1)e (k)，并據(jù)此建立相應的GM(1,1)模型:山

24、J|e(0)(1)-Le0)(i+1)ae(0)(2),，e(0)( n)ek. _beae得修正模型x(1)(k 1) = x(0)-ak eb；mo)-aeke e(7.3.4)1 k _iQ k蘭i為修正參數(shù)。6(k _i)=丿其中應用此模型時要考慮：1. 一般不是使用全部殘差數(shù)據(jù)來建立模型，而只是利用了部分殘差。2. 修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用與(k i)中的i的取值有關。X (O)x(o)x(o)x()XI = Xl(1), N ，0(n)7.3.5 GM (1,N)模型如果考慮的系統(tǒng)由若干個相互影響的因素組成, 為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，而(o)2=(i),(0)x2 )

25、(0)x2 )(n)(0) x2)(0)X N =x(0)Nx(0)N(n)為相關因素序列。 列，則稱Xi為 Xj 的 1-ago 序列(i =1,2,，N), Z1為Xi的緊鄰生成序Nx(0) (k) az(k)bixi(1)(k)i=2(7.3.5)為GM(1,N)灰色微分方程。定義出=la pm J為GM(1,N)灰色微分方程的參數(shù)列，根據(jù)最小二乘法可以得出： = (BtB)BtY式中_-Z(1 )(2)xy(2)xN)(2)1B-Zxy(3)xN)(3)b =_Z1(1)(n) x( n)xN)( n) _| Y=x1 0) (2)X1( )(3)x10)(n)Tdxjdtax1 二

26、bzxjdxfbNX(1) N為GM(1,N)灰色微分方程 于是，我們有7.3.5)的白化方程，也稱影子方程。(7.3.6)1)白化方程(7.3.6)的解為NNx(t) =e瓦 JbXi(t)eatdt+x(1)(0) 送 Jbx(0)dt2i =2NN十妒(0) -1遲 bXj(0)吃 fbix(1)(t)eatdtN為DXi(k)可視*為灰常量，這樣,GM(1,N)t =2i =22)當Xi (i叫2., N變化幅度很小時,灰色微分方程(7.3.5)的近似時間響應式為11)(k1)= X1(1)(0)-丄 bixi(1)(k 1) eka i=21 Nbx(k 1)a i=2(7.3.7)

27、其中為(0)取為才1)。3)累減還原式為只)(k 十1)=斤)(k+1)斤)(k)(7.3.8)灰色系統(tǒng)建模的基本思路可以概括為以下幾點：(1) 建立模型常用的數(shù)據(jù)有以下幾種：1科學實驗數(shù)據(jù)；2經(jīng)驗數(shù)據(jù)；3生產(chǎn)數(shù)據(jù)；4 決策數(shù)據(jù)。(2) 序列生成數(shù)據(jù)是建立灰色模型的基礎數(shù)據(jù)。(3) 一般非負序列累加生成后，得到準光滑序列，對于滿足光滑條件的序列，即可建 立GM微分模型。(4) 模型精度可以通過不同的灰數(shù)生成方式，數(shù)據(jù)的取舍，序列的調(diào)整、修正以及不同級 別的殘差GM模型補充得到提咼。(5) 灰色系統(tǒng)理論采用殘差大小檢驗、關聯(lián)度檢驗、后驗差檢驗三種方法檢驗、判斷 模型的精度。7.4災變預測灰色災變

28、預測的任務是給出下一個或幾個異常值出現(xiàn)的時刻，以便人們提前防備，采取對策，減少損失。作為灰色預測模型的應用，以下簡要介紹灰色災變預測的原理和方法。定義7.4設原始序列為=(1),，(n)。給定上限異常值(災變值)，稱的子序列X】 xq(1)】, xq(2), .,xiq(m)= xlq(i) xlq(i),=1, 2,， 為上災變序列。定義7.5設原始序列=(1),，(n),給定下限異常值(災變值)，稱的子序列= x q(1) , xq(2) 1,，xh(l)l= xq(i)l xq(i)乜；=1, 2,， 為下災變序列。定義7.6設為原始序列，X = x q(1) 1, xq(2) 1,，x

29、h(m)為災變序列，則稱Q(0)=q(1),q(2)；q(m)為災變?nèi)掌谛蛄?。定義7.7設q(0)= (k1)=(q(1)-P)e環(huán)-(q(1) -匕代皿)a q(1- 亠aa=( 1 一 e )( a )e定義7.8設=(1)，(n)為原始序列，n為現(xiàn)在，給定異常值，相應的災變?nèi)掌?序列Q(0)q(1),q(2)；q(m)其中，q(m)(空n)為最近一次災變發(fā)生的日期，則稱(?(m 1)為下一次災變的預測日期；對任意0,稱0m k)為未來第次災變的預測日期。例7.2某地區(qū)平均降水量(單位：毫米)的原始數(shù)據(jù)為：X 3.X 1 ,x 2 ,., x 24 /=386.6, 514.6, 434.1,48