中級宏觀經(jīng)濟學 第13章 經(jīng)濟增長理論

1、中級宏觀經(jīng)濟學 第13章 經(jīng)濟增長理論第13章 經(jīng)濟增長理論對經(jīng)濟高速增長的追求是經(jīng)濟學家們的一致理想。人們十分清楚，只有持續(xù)的經(jīng)濟增長才能為不斷增長的人口提供一個不斷提高的生活標準。18世紀后期，以malthus(1798)為代表的悲觀論者認為，由于土地的不可再生性，它對經(jīng)濟增長會帶來制約。如果人口增長超過由土地制約的經(jīng)濟增長潛力，那么人口增長就會被戰(zhàn)爭或者各種自然災害，如饑餓或傳染病所限制。但幸運的是，malthus的預言并沒有出現(xiàn)。在過去的兩個世紀中，世界人口增長明顯，而世界經(jīng)濟增長更為迅速，并且超過了人口增長的速度。但是，各國間經(jīng)濟增長的差距非常懸殊。據(jù)世界銀行統(tǒng)計，在20世紀下半葉的

2、幾十年中，人均gnp的年平均增長率最高的國家達到7%，而最低的國家則為-13.3%。我們知道，福利的增加和生活質(zhì)量的提高靠的是經(jīng)濟增長的累積。人均產(chǎn)量增長率的一個微小差異，在經(jīng)過較長時間的積累后，就會使人均收入水平形成顯著差異。如果人口數(shù)量不變，經(jīng)濟平均年增長率為1%，人均收入翻一番的時間為70年，但如果平均年增長率達到3%，人均收入翻一番的時間就縮短至24年，如果平均年增長率達到10%，翻一番的時間只需要7年。這種差異的顯著影響引起了人們的高度興趣與關注。一個較為典型的國家就是阿根廷。1985年，阿根廷的人均收入與比利時、荷蘭、德國相仿，高于當時的奧地利、意大利、挪威、西班牙、瑞典和瑞士。阿

3、根廷經(jīng)濟的高速增長導致大量移民從歐洲涌向阿根廷。但從20世紀30年代以后，阿根廷經(jīng)濟增長停滯，到20世紀末，它已被那些過去遠不如它的國家遠遠地甩在后面，歐洲國家的人均收入遠遠超過它數(shù)倍至十幾倍。在21實際初的經(jīng)濟危機中，這個過去以糧食高產(chǎn)引以為豪的國家，居然出現(xiàn)了大量的饑民。經(jīng)濟增長如此重要，以及各國經(jīng)濟增長之間存在著的如此差異，引起了經(jīng)濟學家的研究興趣。kuznets(1933)是對經(jīng)濟增長進行數(shù)量分析的開拓者，他認為經(jīng)濟正在與工業(yè)革命有關。在英國、美國、德國等那些工業(yè)革命出現(xiàn)較早的國家中，現(xiàn)代經(jīng)濟增長同資本主義作為主要經(jīng)濟體制的出現(xiàn)是相一致的。這種觀點不僅出現(xiàn)在經(jīng)濟學家中，也出現(xiàn)在社會學家

4、中。例如德國思想家韋伯（weber,1958）認為，宗教和經(jīng)濟之間存在著一種決定性關系，而資本主義特別適合在信奉新教價值觀的國家中產(chǎn)生和發(fā)展。weber認為，新教鼓勵利潤創(chuàng)造，認為這是一項高尚的活動，同時新教強調(diào)節(jié)儉和自律，這對資本積累至關重要。從制度角度研究各國之間經(jīng)濟增長差異的理論成果不斷涌現(xiàn)，最具有代表性之一的north(1973)在一些列具有開創(chuàng)性的分析中，強調(diào)對產(chǎn)權(quán)的法律和制度界定是歐洲出現(xiàn)現(xiàn)代經(jīng)濟的根本。north說“有效率的經(jīng)濟組織是增長的關鍵，西歐有效率的經(jīng)濟組織的發(fā)展是西方興起的原因。有效率的經(jīng)濟組織要求建立一個制度安排和財產(chǎn)權(quán)利，它們能形成激勵，使個人經(jīng)濟努力轉(zhuǎn)化為使私人報

5、酬率接近于社會報酬率的活動?！苯?jīng)濟增長理論被正式納入宏觀經(jīng)濟學研究范圍，并且與經(jīng)濟周期理論一起成為宏觀經(jīng)濟學中兩個最主要的研究方向，起因于harrod(1939)和domer(1947)所作的開創(chuàng)性研究。在harrod-domer模型中，要想獲得經(jīng)濟增長的均衡狀態(tài)，勞動力增長率就必須等于儲蓄率和資本-產(chǎn)出比率的乘積。這個來源于里昂惕夫型生產(chǎn)函數(shù)(leontief,1941)的苛刻條件極大地限制了哈羅德-多馬模型的解釋力。通過假設一個資本和勞動力可以相互替代的新古典生產(chǎn)函數(shù)，solow(1956)和斯旺(swan,1956)構(gòu)建了一個更加一般的經(jīng)濟增長模型(通常被稱為新古典增長模型)。不過，無論

6、是harrod還是solow，他們都是以凱恩斯式的消費理論作為基礎，即假設一個外生給定的儲蓄率。隨后，cass(1965)、koopmans(1965)擴展了ramsey(1928)的研究成果，獲得了內(nèi)生的儲蓄率，從而為新古典增長理論打下了堅實的微觀基礎，該模型后來被稱為拉姆齊-卡斯-庫普曼模型。但就理論而言，新古典增長模型的一個缺陷是只有在假設外生給定的技術(shù)進步前提下才能得到穩(wěn)定的經(jīng)濟增長。但是，技術(shù)進步的源泉在哪里？romer(1986)、lucas(1988)開創(chuàng)的內(nèi)生增長理論為這個關鍵問題提供了一些初步的答案，從而在20世紀80年代末又掀起了一股沉寂多年的研究經(jīng)濟增長理論的熱潮。本章主

7、要研究索洛模型、拉姆齊-卡斯-庫普曼模型、戴蒙德模型，以及由盧卡斯和羅默開創(chuàng)的內(nèi)生經(jīng)濟增長模型。13.1 索洛模型一、索洛模型的假定與框架索洛模型關注四個變量：產(chǎn)出（）、資本（）、勞動（）、以及代表“知識”或“勞動的有效性”（）。在任何時候，經(jīng)濟擁有一定量的資本、勞動和知識，并且對這些要素進行有效的組合，就能夠得到產(chǎn)出。因此，生產(chǎn)函數(shù)一般采用以下的形式： （13.1.1）式中表示時間。在這個生產(chǎn)函數(shù)中，有兩點需要說明：第一：時間并不是直接被引入生產(chǎn)函數(shù)，而是通過、和引入，那是因為只有當生產(chǎn)投入發(fā)生變化時，產(chǎn)出才隨著時間的變化而變化，這種變化最為明顯的是表現(xiàn)在存在技術(shù)進步的時候，這也就是為什么要

8、引入知識變量的緣由。第二，與以乘積的形式引入。在這里，被稱為有效勞動，并且以這種方式引入的技術(shù)進步被視為勞動擴張型或哈羅德中性。界定如何進入的方式與模型的其他假設結(jié)合在一起，將意味著資本-產(chǎn)出比例被最終確定下來。下面我們先討論索洛模型中關于生產(chǎn)函數(shù)的核心假設，然后分別討論這些假設與三種生產(chǎn)投入要素（資本、勞動和知識）在時間演變上的關聯(lián)性。索洛模型有關生產(chǎn)函數(shù)的重要假設是：生產(chǎn)函數(shù)關于兩個自變量（資本與有效勞動）是規(guī)模報酬不變的。這就是說，如果兩個自變量乘以任何非負的常數(shù)c，就會使產(chǎn)出以相同倍數(shù)改變，即： 0 （13.1.2）規(guī)模報酬不變的假設可以被視為兩個假設的結(jié)合：一是假設經(jīng)濟規(guī)模足夠大，以

9、致專業(yè)化的收益已被全部利用。在一個較小的經(jīng)濟中，會存在進一步專業(yè)化的充分可能性，使產(chǎn)出的增長率可能會大于資本與勞動數(shù)量的增長率。二是假設除資本、勞動和知識以外的其他投入相對不重要，那么童謠倍數(shù)的資本和勞動投入就不會生產(chǎn)出同樣倍數(shù)的產(chǎn)出。然而，無數(shù)發(fā)達國家經(jīng)濟增長的實踐證明，自然資源的可利用性顯然并不是增長的主要約束。由于有了規(guī)模報酬不變的假設，就允許我們對生產(chǎn)函數(shù)作如下改變：設式（13.1.2）中的，便得： （13.1.3）在這以公式中，是單位有效勞動的資本量，并且等于（單位有效勞動的產(chǎn)出）。我們定義， embed equation.3 ，以及=。這樣，我們就可以把式（12.1.3）寫成 （1

10、3.1.4）式（13.1.4）表示我們把單位有效勞動的產(chǎn)出寫成單位有效勞動的函數(shù)。這個模型會使我們觀察的注意力集中在的行為上，而不是考慮生產(chǎn)函數(shù)的兩個變量與的行為上。例如，我們可以通過把每個工人的平均產(chǎn)出寫成或 embed equation.3 ，并通過決定與的行為來決定的行為。假設生產(chǎn)函數(shù)滿足，。由于等于alf（k/al），即資本的邊際產(chǎn)量等于正好等于。因此，為正，且為負的假設意味著資本的邊際產(chǎn)量為正，但它隨著資本的增加而下降。此外，f（）被假設滿足稻田條件（inada，1964）。這個條件表明，在資本存量充分小時，資本的邊際產(chǎn)量十分大，而當資本存量變大時，資本的邊際產(chǎn)量會變得十分小。其作用

11、是確保經(jīng)濟的路徑不發(fā)散。一個典型的生產(chǎn)函數(shù)是柯布-道格拉斯函數(shù)。這一生產(chǎn)函數(shù)有如下形式： 01 （13.1.5）由于這個生產(chǎn)函數(shù)是對實際生產(chǎn)函數(shù)的一個良好的近似，并且這個生產(chǎn)函數(shù)易于分析，因此是十分有用的。我們通過檢驗可以證明，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)具有不變的規(guī)模報酬。我們將資本和勞動兩種要素同時乘以可以得到： embed equation.3 embed equation.3 （13.1.6）我們再將兩個投入要素都除以al，得： embed equation.3 embed equation.3 （13.1.7）式（13.1.7）意味著。這就可以直觀地檢驗出這個份額方程為正，當趨于0時，趨于

12、無窮大，并且。接著我們考察索洛模型中關于資本、勞動和知識的存量隨時間變化而變化的假設。如果資本、勞動和知識的初始水平給定，并且勞動和知識以不變的增長率增長，即：= （13.1.8） embed equation.3 （13.1.9）這里，與是外生的參數(shù)，而變量上的一點表示關于時間的一個導數(shù)。變量的增長率是指變化的速率，即x的增長率是指。因此，式（13.1.8）意味著的增長率不變，且等于，而式（13.1.9）則意味著的增長率不變，且等于。我們知道，一個變量的增長率等于自然對數(shù)的變化，即等于。這里是的函數(shù)，且是的函數(shù)。這樣，我們可以利用鏈式法則寫成下式： embed equation.3 （13.

13、1.10）若將一個變量的增長率等于期對數(shù)的變化率的結(jié)論應運用于式（13.1.8）和（13.1.9），其結(jié)論是和的對數(shù)變化率不變，并且他們分別等于和，就有： （13.1.11） （13.1.12）式中和為0時刻的和的值。給方程兩邊取指數(shù)，則有： （13.1.13） （13.1.14）也就是說和各自以指數(shù)形式增長。在一個封閉的經(jīng)濟中，產(chǎn)出可以分割為消費和投資。投資的產(chǎn)出份額是外生的且不變的，即投資的一單位產(chǎn)出可獲得一單位的新資本。此外，現(xiàn)有資本以速率折舊，因此有： （13.1.15）盡管對、和沒有任何限制，但其和仍假設為正。由上述分析可見，索洛模型也是一個非常簡化的模型，其中許多在現(xiàn)實經(jīng)濟中存在的

14、特征都被簡化了，如果設只存在一種單一的產(chǎn)品，不存在政府的干預，就業(yè)的波動被忽略，生產(chǎn)正好可用具有三種投入要素的生產(chǎn)函數(shù)來描述，并且儲蓄率、折舊、人口增長和技術(shù)進步都保持不變。人們往往會把這些假設視為缺點，但有時，這種簡單的模型反而容易被人理解。二、索洛模型的動態(tài)平衡在索洛模型中，三個投入要素有兩個，即勞動和知識被視為是外生的。也就是說，索洛模型將資本行為作為分析經(jīng)濟行為基本特征的要素。由于經(jīng)濟一邊是隨著時間而增長的，因此分析每單位有效勞動的資本存量比分析那些難以調(diào)整的資本存量會更有意義。由于，我們可以利用鏈式法則得到： （13.1.16）由于就是，由式（13.1.8）和（13.1.9）可知，和

15、分別為和。則由式（13.1.15）給出。將它們代入式（13.1.16），則可得： embed equation.3 （13.1.17）最后，根據(jù)由給定的條件，我們可以得到以下方程： （13.1.18）方程（13.1.18）就是索洛模型基本公式。這一方程表明，每單位有效勞動資本存量的變化率由一下兩項的差組成：第一項是為每單位有效勞動的實際投資，即每單位有效勞動的產(chǎn)出乘以該產(chǎn)出的投資份額。第二項為持平投資，即為使保持在現(xiàn)有水平上所必須進行的投資。為阻止下降而需要進行一定量的投資的理由是：第一，現(xiàn)有資本正在折舊，這些資本一定要不斷地被替代以保持資本存量不至于下降。這個折舊量就是式（13.1.18）中

16、的項。第二，有效勞動的數(shù)量正在上升。正式因為如此，即使進行足夠的投資使資本存量（）保持不變，也不足以使每單位有效勞動的資本存量（）保持不變。相反，由于有效勞動數(shù)量正以的速率增長，資本存量必定也要以的速率穩(wěn)定增加，才能使保持不變。這個資本存量就是式（13.1.18）中的。圖13.1.1表明了實際投資與持平之間的關系。從圖中可以看出，當每單位有效勞動的實際投資大于持平投資時，在上升；而當實際投資小于持平投資時，在下降；當二者相等時，保持不變。圖中表示實際投資與持平投資相等的值。圖13.1.1 實際投資與持平投資同時，索洛模型意味著，無論經(jīng)濟的起點在何處，總會收斂于一個平衡增長路徑。在這一路徑中，模

17、型的每個變量都以一個不變的速率增長，而每個工人的平均產(chǎn)出率只能由技術(shù)進步率惟一地決定。三、儲蓄率變化的影響最有可能影響索洛模型參數(shù)的政策因素是儲蓄率。政府可以通過稅率的變化和政府購買政策的變化來影響產(chǎn)出中用于投資的份額。因此，要理解索洛模型的變化，必須探索儲蓄率變化對模型所產(chǎn)生的效應。圖13.1.2 用于投資的儲蓄率增加的效應從圖13.1.2中可見，的增加把實際投資線向上移動了，從而造成的增加，從增加至。然而，是不會立即從跳躍到的。在水平上，當源于儲蓄增加而導致的投資不斷增加時，實際投資會大于持平投資，這時為正，因此開始持續(xù)上升，直至達到的水平。圖13.1.3的上面三個圖反應了以上的過程。圖中

18、表示儲蓄率增加的時刻。依據(jù)假設，在時刻跳躍，并且在以后保持不變。由于的跳躍使實際投資以一個正的數(shù)量大于持平投資，出現(xiàn)由0開始的跳躍。值逐漸由上升，隨后之間返回至0。圖13.1.3 儲蓄率增長的效率接下來我們討論每個人的平均產(chǎn)出所受的影響。我們知道，等于。當不變時，以的增長率，即以速率增長。當增加時，的增長既起因于的增長，也起因于的增加。這時，的增長率大于。然而，當達到時只有的增長對的增長產(chǎn)生作用，因而，的增長率恢復到。這一過程說明，儲蓄率的永久性增長對每個工人平均產(chǎn)出增長的影響只是暫時性的。圖13.1.3的第四和第五部分表明了工人的平均產(chǎn)出是怎樣對儲蓄率做出反應的。每個工人的產(chǎn)出增長率初始為，

19、在時刻向上跳躍，然后返回其初始水平。因而每個工人的平均產(chǎn)出的變化路徑是：開始上升，并且上升至高于其處在平衡路徑上的水平時，開始逐漸返回到一個較高的平衡路徑上?？傊瑑π盥实淖兓邆渌叫?，但不具備增長效應。但這并不影響平衡路徑上每個工人的平均產(chǎn)出增長率。確實，在索洛模型中，只有技術(shù)進步增長率的變化具有增長效應，所有其他變化只會產(chǎn)生水平效應。現(xiàn)在我們把家庭消費引入模型。從前面的分析可知，每單位有效勞動的消費等于每單位有效勞動的產(chǎn)出乘以該產(chǎn)出用于消費的份額。由于在處呈非連續(xù)變化，而并不發(fā)生這種變化，因此每單位有效勞動的消費在初始階段發(fā)生向下跳躍。隨著的上升以及仍處在較高水平上，消費逐漸上升，其情

20、景如圖12.2.3最后一部分所示。下面我們考察消費與之間的關系。設為均衡增長路徑上單位有效勞動的消費，等于單位有效勞動的產(chǎn)出減去單位勞動的投資。在平衡增長路徑上，實際投資等于持平投資。因此，我們可以得到一下方程： （13.1.19）由于由以及模型的其他參數(shù)、和決定，我們可以得出：=，因而從式（13.1.19）可以得到： embed equation.3 （13.1.20）我們知道，增加會提高，因而的增加十分會在長期內(nèi)提高或降低消費則取決于（即資本的邊際產(chǎn)量）是否大于或小于。這是因為，當上升時，每單位有效勞動的投資的增加必定會等于與的乘積。如果小于，那么增加資本所獲得的產(chǎn)出的增加就不足以把資本存

21、量維持在一個較高的水平上。在這種情況下，消費就會下降以便保持較高的資本存量水平。如果大于，就可以有相當多的產(chǎn)出將保持在一個較高的水平上，消費就會下升。圖13.1.4 平衡增長路徑上的產(chǎn)出、投資與消費圖13.1.4展示了以上的分析。我們知道，消費等于產(chǎn)出減去持平投資，因此等于與之間的距離。在圖12.1.4a中，小于（），因此即使當經(jīng)濟已達到新的平衡增長路徑時，儲蓄率的增加也會降低消費。在圖12.1.4b中，大于（），因而的增長會在長期內(nèi)提高消費。在圖12.1.4c中，正好等于（），即在k= k*處的斜率與線平行。在這種情況下，的邊際變動在長期內(nèi)不會對消費產(chǎn)生影響，并且在各種平衡增長路徑上，消費式

22、中處在其最大的可能水平上。這里，的值就是這名的資本存量的黃金律水平。我們至今所討論的問題交點就是探討何處是黃金律資本存量的最佳位置。在索洛模型中，儲蓄率是外生的，人們沒有更多理由去預期處在平衡增長路徑上的資本存量會等于黃金律水平。四、經(jīng)濟增長因素分析在索洛模型中，每個工人平均產(chǎn)出的長期增長只依賴于技術(shù)進步。就短期來說，增長則可能來源于技術(shù)進步，也可能來源于資本積累。因此，就短期來說，我們就須區(qū)分導致增長的不同因素。由埃伯默維茨（abramovitz，1956）和solow（1957）開創(chuàng)的增長因素分析法為處理這一問題提供了一種分析方式。我們?nèi)匀灰鍪剑?3.1.1）的生產(chǎn)函數(shù)。同樣，從這一生產(chǎn)

23、函數(shù)中我們可以得到下面公式： （13.1.21）式（13.1.21）中和分別表示和。將該式兩邊同時除以y(t),并改寫右邊的項，則可得到： （13.1.22）上式中，是在t時刻產(chǎn)出對勞動的彈性；是t時刻產(chǎn)出對資本的彈性；。兩邊同時減去，并約定，我們就可以得到每個工人平均產(chǎn)出增長率公式： （13.1.23）式（13.1.23）把每個工人平均產(chǎn)出的增長分解成每個工人平均資本增長的貢獻和殘值項r(t)，我們稱這殘值項為索洛剩余，它被解釋為是對技術(shù)進步貢獻的度量，但實際上，它反應了除資本積累貢獻之外的所有增長來源。上述有關增長因素分析的基本框架可用多種方式擴展（如denison,1967）。最普遍的擴

24、展是考慮各類不同的資本與勞動，并對投入質(zhì)量的變化進行調(diào)整。增長因素分析已被應用在許多問題的研究上，最為廣泛的是用于研究生產(chǎn)力增長為什么趨慢。不少研究表明，自20世紀70年代以來發(fā)達國家生產(chǎn)力增長放慢的原因可以歸結(jié)為：工人技能的緩慢增長，石油危機的影響，以及創(chuàng)新活動的放慢和政府管制的影響等。13.2 無限期界模型與代際交替模型（宏觀經(jīng)濟學微觀基礎的兩個重要模型）我們在討論了索洛增長模型后，有必要繼續(xù)介紹兩個與索洛模型有密切關系的模型，一是ramsey(1928)、cass(1965)與koopmans(1965)發(fā)展的以他們的名字命名的無限期界模型；另一個是由diamond(1965)發(fā)展的代際

25、交替模型。索洛模型將儲蓄看成是一種外生變量，并且模型對技術(shù)進步不予解釋。拉姆齊-卡斯-庫普曼模型與索洛模型的最大區(qū)別在于將經(jīng)濟總量的動態(tài)分析建立在微觀層次上。在模型中，資本存量的變動是從競爭性市場中家庭效果最大化和廠商利潤最大化之間的相互作用中推導出來，這樣，儲蓄就不是外生的了。將儲蓄看成是內(nèi)生的變化有兩個好處，一是可以直接表明索洛模型中有關經(jīng)濟增長理論的核心問題并不依賴于儲蓄不變的假定；二是建立在微觀層次上的模型可以使我們對福利水平進行評價。一、無限期界模型（一）拉姆齊問題拉姆齊提出的問題是一個國家應當儲蓄多少，并用模型去求解，此模型就是現(xiàn)在研究資源的跨期最優(yōu)配置的原型。我們下面討論的模型基

26、本上是拉姆齊模型。模型的假設條件如下：（1）存在著大量相同的廠商，每個廠商的生產(chǎn)函數(shù)為。廠商在競爭性要素市場上雇傭工人、租借資本，并在競爭性產(chǎn)出市場出售產(chǎn)品。與索洛模型相同，廠商將取做給定的，以速率外生地增長。廠商以利潤最大化為目標。由于企業(yè)由家庭所有，因此企業(yè)利潤歸于家庭。（2）同樣存在著大量相同的家庭。家庭的規(guī)模以速率增長。家庭的每個成員在每個時點供給一單位的勞動。家庭將擁有的資本租借給廠商。家庭擁有數(shù)量為的初始資本其中是經(jīng)濟中的資本初始量，為家庭數(shù)量。假設沒有折舊。在每個時點上，家庭將其收入在消費與儲蓄之間進行分配，以服從其終生效用最大化的目標。設家庭具有以下效用函數(shù)： （13.2.1）

27、上式中，是在t時刻家庭每個成員的消費。是瞬時效用函數(shù)。是經(jīng)濟的總?cè)丝冢敲總€家庭成員人數(shù)。是時刻家庭的總瞬時效用。是貼現(xiàn)率，越大，則家庭對未來消費的估價就越小。瞬時效用函數(shù)可以采用如下的形式： （13.2.2）式（13.2.2）表現(xiàn)了使經(jīng)濟收斂于平衡的增長路徑，其是著名的相對風險厭惡不變的效用函數(shù)，這是因為該函數(shù)的相對風險厭惡系數(shù)（）是，因此獨立于。由于在這個模型中不存在不確定性，因此與家庭的風險態(tài)度并不直接相關，但也決定了家庭將消費在不同時期的轉(zhuǎn)移意愿：越小，隨著消費的上升，邊際效用的下降速度越慢，導致家庭越愿意允許其消費隨時間變動而變動。如果接近于零，這樣，效用對于來說幾乎是線性的，這樣家

28、庭就更愿意接受大的消費變動，這樣就可以充分利用貼現(xiàn)率與從儲蓄中獲得的報酬率之間的差額。根據(jù)上述假設，接下來我們分析廠商與家庭的行為。1、廠商行為廠商行為相對簡單。在每個時點上，他們租用勞動與資本進行生產(chǎn)，并按這些要素各自的邊際產(chǎn)品支付報酬，并出售所生產(chǎn)的產(chǎn)出。由于生產(chǎn)函數(shù)具有不變的規(guī)模報酬，經(jīng)濟是競爭性的，廠商因此獲得正常利潤。我們知道，資本的邊際產(chǎn)品為。由于市場是競爭性的，資本只能獲得其邊際產(chǎn)品。由于不存在折舊，資本的真實報酬率等于其每單位時間的收入，因此，在時刻，真實利率為： （13.2.3）勞動的邊際產(chǎn)品為，它也等于。根據(jù)上述生產(chǎn)函數(shù)的緊湊形式，它可寫成。因此在時刻，真實工資是： （13

29、.2.4）這樣，每單位有效勞動的工資是： （13.2.5）2、家庭行為假設家庭對于和的路徑給定，家庭的預算約束是其終生消費的貼現(xiàn)值不能超過其初始的財富與其終生勞動收入的現(xiàn)值之和。設每個家庭有個成員，在時刻其勞動總收入為，其消費支出為。在初始時刻，家庭的初始財富是經(jīng)濟總初始財富的，或等于。因此，家庭預算為： （13.2.6）在許多情況下，對式（5-6）進行求解是困難的。因此，我們可以用家庭的資本持有量的極限行為來表示其預算約束。為此，我們對式（13.2.6）整理如下： （13.2.7）可以寫出從到的積分形式作為一種極限。這樣，式（13.2.7）就等價于：0 （13.2.8）這樣，在時刻，家庭資本

30、持有量為： （12.2.9）上式中，表示在s時刻家庭初始財富對其總財富的貢獻。在時刻，家庭的儲蓄是（以是負值）；則表明從時刻到時刻該儲蓄值的變動狀況。式（12.2.9）表達式是與式（12.2.8）的大括號中的表達式的乘積。因此，我們可以把預算約束寫成：0 （12.2.10）式（12.1.10）就是著名的非蓬齊博弈條件（no-ponzi-game condition）。蓬齊博弈是指這樣一種計劃：一些人發(fā)行債券并永久地滾動這些債務。也就是說，當發(fā)行人通過新債券獲得借款時，他總能夠用所獲得的借款去支付舊債務。這樣，這種計劃就允許發(fā)行人擁有的終生消費現(xiàn)值超過其終生資源現(xiàn)值。從式（12.2.6）或式（1

31、2.2.10）中可以看出，這里的預算是排除這樣一種計劃的。理性家庭總是想在上述預算約束條件下將其終生效用最大化。我們將 定義為每單位有效勞動的消費，因此每個勞動力的消費等于。家庭的瞬間效用等于： （12.2.11） 我們把式（12.2.11）以及我們在前面已提到的代入目標函數(shù)式（12.2.1）和式（12.2.2），得到： （12.2.12）上式中，。我們再來討論式（13.2.6）的預算約束。在時刻，家庭總消費等于每單位有效勞動的消費乘以家庭有效勞動數(shù)量。同理，在時刻家庭的總勞動收入等于每單位有效勞動的工資乘以，其初始資本持有量等于0時刻每單位有效勞動的資本量乘以。因此，我們可以把式（13.2.

32、6）家庭預算約束改寫成下式： （13.2.13）由于等于，將這一結(jié)果代入上式，同時兩邊除以，我們可以得到下式： （13.2.14）最后，由于與成比例，我們就可以把式（12.2.10）預算約束的非蓬齊博弈條件表達式改寫成:0 （13.2.15）我們研究家庭的基本問題就是在式（13.2.14）的預算約束條件下，如何選擇的路徑去實現(xiàn)如式（13.2.12）所表達的終生效用最大化。由于消費的邊際效用總是為正，家庭將以等式滿足其預算約束。因此，我們可以利用目標函數(shù)式（12.2.12）和預算約束式（13.2.14）來構(gòu)造拉格朗日函數(shù)： （13.2.16）在每個時點家庭選擇，這樣就會形成無限多個。對每一單個，

33、其一階條件是： （13.2.17）家庭行為的特征實際上就是由式（13.2.17）和預算約束式（13.2.14）來刻畫的。為了理解式（13.2.17）對消費行為的含義，我們可以對這一公式展開進一步的分析。首先給公式兩邊取對數(shù)： （13.2.18）式（13.2.18）中利用了的定義。我們注意到，對于每個，式（13.2.18）兩邊相等，因此給兩邊求關于的導數(shù)后也相等。這個條件就是： （13.2.19）這里我們利用了一個變量的對數(shù)關于時間的導數(shù)等于其增長率的概念。由式（13.2.19）我們可以求解出，從而得到： （13.2.20）式（13.2.20）利用了的定義。由于（指每個工人的消費，而不是每單位有

34、效勞動的消費）等于，因此的增長率等于的增長率加的增長率。從式（13.2.20）中可以看出，式中隱含著每個工人的消費以的速率增長。因此，式（13.2.20）表明：如果實際報酬超過了家庭用于貼現(xiàn)未來消費的速率，每個工人的消費將上升。如果相反的情況出現(xiàn)，則每個工人的消費將下降。越小，隨著消費的變化，其邊際效用的變化越少，從而為對實際利率與貼現(xiàn)率之間的差異作出反應，消費變動就越大。方程（13.2.20）就是求解這類最大化問題的著名的歐拉方程（euler equation），也就是連續(xù)時間的隨機形式。這一方程描述了在任何最優(yōu)路徑上都必須被滿足的必要條件，因此這一條件也叫做凱恩斯-拉姆齊規(guī)則（keynes

35、-ramsey rule or condition）。直覺上，歐拉方程描述了給定時，必須隨時間變化而變化。如果不按照式（13.2.20）演化，那么家庭就會在不改變終生費用現(xiàn)值的條件下，用提高終生效用的方式重新安排其消費。這樣，的選擇就由如下條件決定：在所形成的路徑上，終生消費的現(xiàn)值等于初始財富與未來收入現(xiàn)值之和。當被選擇得太低，沿滿足式（13.2.20）路徑上的消費支出并不會用盡其終生財富，因此，較高的路徑是可能的。當確定得太高，消費支出大于其可用盡的終生財富，這種路徑反而成為不可行。（二）拉姆齊模型的動態(tài)分析在對模型進行了靜態(tài)分析后，我們進一步對模型進行動態(tài)分析。在進行動態(tài)分析時，一個簡便的

36、方法是分析模型中的兩個重要變量和的動態(tài)演化過程。1、的動態(tài)變化由于假定全部家庭相同，因此式（13.2.20）中所描述的的演化不僅適合單個家庭，也適合于整個經(jīng)濟。由于，我們可以把式（13.2.20）改寫成： （13.2.21）當?shù)扔跁r，等于零。設代表在時的的水平。當 時， ，這時是負的，當小于時，為正的。圖13.2.1 的動態(tài)變化圖12.2.1展現(xiàn)了這一過程。箭頭表示的運動方向。如果，上升；如果，則下降。在時， ，表明對于這個值，不變。2、的動態(tài)變化與索洛模型一樣，等于實際投資減去持平投資。由于假設不存在折舊，持平投資就是。實際投資就是產(chǎn)出減去消費，即。因此就有： （13.2.22）對于既定的，

37、的的水平是由給出的。當消費等于實際產(chǎn)出與持平投資線的差額時，等于零。這個值關于是遞增的，一直可以增至，（即的黃金律水平），接著關于則會下降。當超過或獲得的水平時，開始下降；當小于該水平時，則開始上升。對于充分大的，持平投資超過總產(chǎn)出，在此條件下，對于一切的正值，是負的。這些信息歸納在圖12.2.2中，箭頭表明了的運動方向。我們可以把圖13.2.1和圖13.2.2的信息結(jié)合在圖12.2.3中，箭頭表明了與的運動方向。在軌跡的左邊與軌跡的上方，為正，為負。因為如果在上升，則下降，因而箭頭指向上方與左邊。圖的其他部分的箭頭依據(jù)同樣的推理推出。在與曲線上，與中只有其中一個正在變化。假如，在處在的軌跡上

38、，同時又處在軌跡上方，不變，而下降，這樣，箭頭就指向左方。最后，在點處，與等于零，在這里不存在由這點開始的變動。 圖13.2.2 的動態(tài)變化 圖13.2.3 和同時運行的動態(tài)變化緊接著上述問題，我們自然會提出另一個更為重要的問題，那就是這種經(jīng)濟的均衡是否代表著一個可期望的結(jié)果。微觀經(jīng)濟學和第一福利定理告訴我們，如果市場是完全競爭的，并且不存在外部性，那么分散化的均衡是帕累托最優(yōu)的，也就是說，在不使其他人不惡化的條件下，使任何人得到改善是不可能的。由于第一福利定理在上述模型中成立，均衡就可視為是帕累托有效的。并且，由于所以家庭擁有相同的效用，意味著分散化均衡在對所以家庭采用相同方式的配置中會產(chǎn)生

39、最高的可能效用。為了更清楚地理解這點，假設存在下面這面這種情況：一個社會計劃者可對每個時點的產(chǎn)出在消費和投資之間進行分配，并且其目標也想使代表性家庭的最終效用最大化。除了不把與的路徑取為固定值外，計劃者考慮的問題都由的路徑?jīng)Q定，反過來后者則由式（13.2.22）決定。這個問題等同于單個家庭所面臨的問題。式（13.2.20）和式（13.2.21）的連續(xù)時刻消費同樣適用于社會計劃者。在 時減少數(shù)量為的，并把該收入進行投資，這便可允許計劃者在時刻將增加。因此，沿著由計劃者選擇的路徑，必須滿足式（13.2.21）。最后，像家庭的最優(yōu)化問題一樣，那些要求資本存量為負的路徑必定會以他們不可行的理由被排除，

40、并且那些引致消費傾向于零的路徑也會以它們無法使家庭效用最大化而被排除在外。3、資本積累的黃金律水平索洛模型與拉姆齊-卡斯-庫普曼模型的平衡增長路徑之間的惟一顯著差異是，擁有資本存量大于黃金律資本水平的平衡路徑在拉姆齊模型中是不可能的。我們知道，資本積累的黃金律可由以下條件描述： （13.2.23）這是可最大化穩(wěn)定狀態(tài)每單位資本消費量的條件。它首先由費爾普斯（phelps,1961）引入。黃金律的主要福利含義是，它是界定資本/勞動比率的一個值，超過該值，則資本積累并不是帕累托最優(yōu)的值。這樣，從通過減少資本存量從而最大化穩(wěn)定狀態(tài)消費的角度考察，每個人都可獲得福利改善。這是由于資本存量已變得如此之大

41、，以致其邊際生產(chǎn)力小于那個為日益增長的人口提供現(xiàn)存資本/勞動比率所必需的產(chǎn)出量的邊際生產(chǎn)力。這樣一個經(jīng)濟具有過度積累的資本，并且被認為是動態(tài)無效率的?，F(xiàn)在我們引入修正的黃金律資本存量概念。修正的黃金律被定義為： （13.2.24）這個關系表明，長期資本/勞動比率，由此而形成的資本邊際物質(zhì)產(chǎn)品與真實利率，由時間偏好率與人口增長率之和決定。很顯然，這時的收斂于一個低于黃金律水平的資本量。二、代際交替模型（一）代際交替中的兩期壽命戴蒙德模型也稱為代際交疊模型，它與拉姆齊模型一起被稱為是以微觀為基礎的宏觀經(jīng)濟學基本模型。這是diamond(1965)在阿萊(allais,1947)、sanuelson

42、(1958)早期研究成果基礎上建立的。戴蒙德模型與拉姆齊-卡斯-庫普曼模型之間的主要差異是存在著人口的新老交替，而不是一個數(shù)量固定的永久性生存的家庭。在這一模型中，新的人口不斷出生，老的人口不斷消亡。為了簡化分析，模型假設每個人只活兩期，即年青期和老年期。代表時期出生的人。如果人口以速率增長，則。由于個人只生活兩個時期，因此在時期，存在個正處于他們生命第一時期的個人，并且存在個正處在其生命第二時期的個人。每個人在其年輕時供給一單位的勞動，并且將其所得到的勞動收入在第一時期的消費與儲蓄之間進行分配。在第二時期，個人只是簡單的消費其獲得的儲蓄與利息。設與代表年輕與年老年代人在時期的消費。這樣，在時

43、期出生的人的效用依存于與。因此，我們再次假設不變相對風險厭惡效用函數(shù)為：+ 0，-1 （13.2.25）我們知道，這個函數(shù)是為了增長所需要的。由于生命是有限的，我們不再假設以確保終生效用不再發(fā)散。如果0，則個人給第一時期的權(quán)重大于第二消費時期，如果0，則情形相反。同時我們假設-1，以確保第二消費時期的權(quán)數(shù)為正。廠商的生產(chǎn)假設與前面相同。一個社會中存在著眾多廠商，每個廠商具有生產(chǎn)函數(shù)，具有不變的規(guī)模報酬并滿足稻田條件，并且再次以外生速率增長。市場是競爭性的，因此勞動與資本可獲得其邊際產(chǎn)出，廠商獲得零利潤。不存在折舊。真實利率與單位有效勞動的工資由和確定。最后，存在一些初始的資本存量，它們由一切老

44、年個人均等地持有。這樣，在初始時期內(nèi)，由老年人擁有的資本與年輕人供給的勞動被結(jié)合起來生產(chǎn)產(chǎn)出。老年人消費其資本收入與現(xiàn)存財富，然后他們死亡并在模型中消失。年輕人則把他們的勞動收入分配在消費和儲蓄上。他們把其消費帶入下一時期，因此在時期內(nèi)資本存量等于時期年輕人的數(shù)量乘以這些個人的儲蓄-。這種資本與下一代的年輕人供給的勞動相結(jié)合，并且這個過程不斷延續(xù)。根據(jù)上述假設，我們來分析戴蒙德模型中的家庭行為。我們知道，在時刻出生的人的第二期消費如下公式： （13.2.26）當上式的兩邊同時除以并且把移到左邊，我們可以得到如下的預算約束： （13.2.27）這個條件表明，終生消費的現(xiàn)值等于其初始財富（為零）加

45、上終生勞動收入的現(xiàn)值（即）。在式（13.2.27）的預算約束下，個人按式（13.2.25）最大化其效用。求解這個最大化問題用兩種方式：第一種方式是沿用拉姆齊模型中的歐拉方程進行推導。由于戴蒙德模型是關于離散時間的，因此歐拉方程的推導較之拉姆齊模型更為容易。設想如果個人將消費減小了較小的數(shù)量，接著利用新增的儲蓄與資本收入把提高了。這種改變并不影響個人終生消費流的現(xiàn)值。因此，如果個人正在進行最優(yōu)化，效用生效用；如果成本大于收益，個人則通過作出相反的改變而增加效用。與對終生效用的邊際貢獻分別是與。我們假設趨于零，變動的邊際成本就趨于 embed equation.3 ，并且效用收益接近。正如我們剛才

46、所描述的，當個人正在進行最大化時，它們是相等的。因此，最大化要求： embed equation.3 = （13.2.28）同時兩邊消去并同時乘以，得： （13.2.29） （13.2.30）這個條件與預算約束描述了家庭中個人的行為。式（12.2.30）與拉姆齊模型中的歐拉方程類似，它意味著個人消費是否隨著時間的變化遞增或遞減，這種遞增或遞減取決于實際報酬大于還是小于貼現(xiàn)率。公式中的決定了個人如何對和之間的差異作出反應，這種反應直接造成了消費行為的變化。第二種方式是構(gòu)造拉格朗日函數(shù)去求解這個最大化問題： （13.2.31）上式中與的一階條件是： （13.2.32） （13.2.33）把（13.

47、2.32）代入式（13.2.33），得： （13.2.34）我們將式（13.2.34）整理后也就可以得到式（12.2.30）相同的結(jié)果。我們可以利用歐拉方程與預算約束寫出用勞動收入與實際利率表達的。將式（13.2.30）兩邊乘以，并帶入預算方程可以得到下式：+= （13.2.35）將上式變型后，我們得到：= （13.2.36）方程（13.2.36）表明利率決定了第一時期的單個消費者的收入份額。設表示收入被儲蓄的部分，那么式（13.2.36）則意味著： （13.2.37）式（13.2.37）意味著，年輕人的儲蓄是隨著的遞增而遞增的。由于關于的導數(shù)是，因此如果，關于是你遞增的；如果，關于是遞減的。

48、的上升具有收入與替代雙重效應。兩個時期消費之間的替代對第二時期的消費是有利的，這個事實使人們趨向于增加儲蓄（替代效用）。如果既定的儲蓄量會帶來第二時期的更大消費，這將使人們趨向于減少儲蓄（收入效應）。因此，當人們十分樂于在兩個時期進行消費替代以利用報酬率激勵，替代效應占優(yōu)。當個人對兩個時期內(nèi)的相似消費水平又強有力的偏好時，收入效應占優(yōu)。（二）戴蒙德模型的動態(tài)分析從動態(tài)的角度看，戴蒙德模型中的的運動和演化可以說明很多問題。我們知道，時期的資本存量等于時刻年輕人的儲蓄量，因此有： （13.2.38）這里，時期的和時期的進入時期的資本存量的表達式。將式（13.2.38）兩邊除以，我們就得到一個關于每

49、單位有效勞動的表達式： （13.2.39）我們代換和，就可以獲得： （13.2.40）為了直覺上理解的方便，我們把式（13.2.40）改寫如下： （13.2.41）式（13.2.41）把時期的單位有效勞動的資本表示為四個子項的乘積。從左至右，這四個子項的內(nèi)容如下：在時期單位有效勞動的產(chǎn)出；支付給勞動的產(chǎn)出份額；勞動收入中被儲蓄的部分；以及時期有效勞動量與時期的有效勞動量之比。圖13.2.4表示了與之間的關系的一些可行形式。圖13.2.4a表明了存在的多個值的情形。很顯然，和是穩(wěn)定的，是不穩(wěn)定的。如果產(chǎn)量占勞動收入的比重與勞動收入中儲蓄所占的比重不變，則不可能出現(xiàn)多個。如果服從柯布-道格拉斯生產(chǎn)

50、函數(shù)，則是唯一的。圖13.2.4b表明了一個總是小于的情景。在這種情況下，無論的初始值如何，都會收斂于零。這種情況發(fā)生的必要條件是，隨著趨于零，或者勞動的收入份額或勞動收入中被儲蓄的份額趨于零。圖13.2.4c表明：如果的初始值是充分低的，收斂于零，但如果的初始值充分高，收斂于一個嚴格為正的水平。如果，那么趨于零，如果，則收斂于。圖13.2.4d表明：在并不是唯一由決定的情景：當處在和之間時，總會存在的三個可能值：如果儲蓄是利率的一個減函數(shù)，這種情景就可能發(fā)生。當儲蓄關于是遞減的時候，如果個人預期一個較高的的值，并因此預期是較低的，那么儲蓄將很高。當個人預期一個較低的值時，儲蓄就很低。如果儲蓄

51、對做出充分的反應，并且如果對做出充分的反應，那么必然存在一個以上的同既定水平的相一致的值。因此這時經(jīng)濟的路徑是不確定的，幾時沒有外部沖擊，經(jīng)濟也會波動。因此，假設存在代際交疊而非永久生存的家庭，這對動態(tài)經(jīng)濟具有重要的含義：例如，我們可以認為，可持續(xù)增長可能是不可行的，或者它可能依存于某種初始條件。戴蒙德模型與拉姆齊-卡斯-庫普曼模型的平衡增長路徑之間的主要差異涉及到社會福利最大化問題。我們看到，拉姆齊-卡斯-庫普曼模型的均衡使代表性家庭的福利達到了最大化。而在戴蒙德模型中，不同時間出生的個人獲得的效用水平是不同的，并且估價社會福利的方式也不很清楚。如果我們把福利界定為不同代人效用的加權(quán)和，那么

52、就很難預期分散型經(jīng)濟的均衡會達到福利最大化，因為我們給不同代人的權(quán)重分配是很隨意的。我們對效率的最低標準是均衡的帕累托有效。如果以這個標準衡量，戴蒙德模型很難滿足。對這一現(xiàn)象的解釋是：代際的無限性賦予計劃者給老年人提供消費的工具，而這種行為是市場所不能利用的，如果市場經(jīng)濟種的個人想在年老時消費，他們惟一的選擇是持有資本，即使資本的報酬率很低。但社會計劃并不必擁有由資本存量及其報酬率所決定的老年人的消費。相反，其能用任何方式把可以利用于消費的資源在年輕人與老年人之間進行配置。例如，計劃者只關心把來自每個年輕人的1單位勞動收入轉(zhuǎn)移給老年人。由于對應每個老年人，存在著個年輕人，這便會給每一個老年人增

53、加數(shù)量為單位的消費。計劃者通過要求年輕人的下一代在隨后的時期內(nèi)去做同樣的事，以組織這種使其他人處境惡化的變動，并因此在每個時期繼續(xù)這個過程。如果資本的邊際產(chǎn)品小于，即資本存量大于黃金率水平，則把資源在老一代與新一代之間進行轉(zhuǎn)移的方法比儲蓄更為有效，并且計劃者可以在分散配置的基礎上進行改善。13.3 內(nèi)生增長模型未能把穩(wěn)態(tài)中的經(jīng)濟增長內(nèi)生化是新古典經(jīng)濟增長模型的一個致命缺陷。其主要原因在于，根據(jù)稻田條件，新古典增長理論對生產(chǎn)函數(shù)的性質(zhì)進行了規(guī)定，特別是要求lim k。在索洛模型中，這個條件保證了穩(wěn)態(tài)的存在。而在拉姆齊-卡斯-庫普曼模型中，這個條件保證了目標函數(shù)的收斂性。但根據(jù)這個條件，當資本積累

54、到一定程度時，資本的邊際收益率與時間偏好之差將下降到0。這時，即使勞動力增長率等于0，行為人也不再愿意擁有更多的資本，經(jīng)濟因而也就停止了增長。由此可見，只要克服排除上述規(guī)定后可能造成的問題，就可以獲得內(nèi)生的經(jīng)濟增長。從各國和地區(qū)經(jīng)濟增長的實踐看，一些自然資源缺乏的國家和地區(qū)，如英國、一些北歐國家，以及亞洲的日本和“四小龍”等在經(jīng)濟增長中的作用已不再重要，而人類長期的積累，尤其是知識積累的重要性在經(jīng)濟增長中日益凸現(xiàn)。denison（1985）將美國19291982年這54年分成三個時期，并對每一時期的人均產(chǎn)量做了詳細的剖析和研究，得出如下結(jié)論：人力（即索洛剩余）為負值。正是因為被稱為外生模型的索

55、洛模型不能解決這些問題，因此對增長模型研究的興趣在20世紀70年代逐漸消退。由romer（1986）所進行的原創(chuàng)性工作開始，引致了人們對經(jīng)濟增長理論興趣的復興。如果把索洛模型稱為第一代增長模型的話，20世紀80年代的研究產(chǎn)生了第二代增長模型。當然，這一時期這類研究活動的復興還受到了以下因素的刺激：（1）經(jīng)濟學家試圖解釋長期未被新古典模型討論的重要因素；（2）給經(jīng)濟增長率的國際差異提供一個更有說明力的解釋；（3）將知識積累問題納入增長模型之中；（4）擴大宏觀經(jīng)濟政策工具在解釋增長過程中所發(fā)揮的作用。在romer和lucas(1988) 等人的努力下，經(jīng)濟學家們逐漸建立了人力資本模型和知識積累模型。他們認為，資本的投資不僅會提高被投資企業(yè)生產(chǎn)效率和工人的生產(chǎn)能力，工人之間存在著